数值分析实验总结

ifabs(x-x1)<ep
break;
end
x0=x1; x1=x;
k=k+1;
end
执行程序：
f=@(x)x^3-x-1;
>> [x,k]=mqnewt(f,1.0,2.0,1e-5)
结果：
x =
1.3247
k =
6
各种方法的优缺点的比较分析
首先，三种方法得出的解是一样的，而二分法的迭代次数最多（17次），而牛顿法的迭代次数最少（3次），割线法的迭代次数也较少（6次）。
b=x;
else
a=x;
end
x=(a+b)/2.0; k=k+1;
end
执行程序：
f=@(x)x^3-x-1;
[x,k]=mbisec(f,1,2,1e-5)
结果：
x =
1.3247
k =
17
牛顿法解非线性方程
Matlab程序：
function[x,k]=mnewton(f,df,x0,ep,N)
割线法的优点是无需计算函数导数，但仍具有超线性收敛速度；其缺点是收敛速度没有牛顿法快。
2．使用列主元高斯消去法和LU分解法解同一个线性方程组，并对所得结果进行数值分析。
题目：求下列方程组的近似解
列主元高斯消去法解线性方程组
Matlab程序：
function[x]=mgauss(A,b,flag)
ifnargin<3, flag=0;end
1. 用二分法、牛顿法和割线法求解同一个非线性方程，对各种方法的优缺点进行比较分析；
题目：求解下列方程
二分法解非线性方程
Matlab程序：
function[x,k]=mbisec(f,a,b,ep)
x=(a+b)/2.0; k=0;
whileabs(feval(f,x))>ep|(b-a>ep)
iffeval(f,x)*feval(f,a)<0
1）领会求非线性方程根的二分法、Aitken加速方法、牛顿法和割线法的思想。会编制上述方法的计算程序，并用来求解有关问题。
2）熟悉求解线性方程组的各种直接法的有关理论。主要是列主元高斯消去法、LU分解法。会编制上述方法的计算程序。
3）针对习题编制程序，并上机计算其所需要的结果。
4）通过对各种求解方法的计算实习，体会各种解法的功能、优缺点及适用场合，会选取适当的算法。
二、设备与环境
Malab软件等。
三、实验内容及要求
1. 用二分法、牛顿法和割线法求解同一个非线性方程，对各种方法的优缺点进行比较分析；
2．使用列主元高斯消去法和LU分解法解同一个线性方程组，并对所得结果进行数值分析。
3. 题目来源：可以是教材上的例题或实验题，也可以其他来源的题目。
四、实验结果及分析
二分法具有计算简单，方法可靠并且有大范围收敛性的优点；缺点是收敛缓慢（只有线性收敛速度），并且不能求重根和复根，其迭代次数较多。
牛顿法具有至少二阶收敛速度的优点；缺点是每次迭代除需计算函数值。。，还需计算其一阶导数的值，如果。。比较复杂，计算其导数就可能十分麻烦，尤其当。。很小时，计算需十分精确，否则会产生较大的误差。
[x,k]=mnewton(f,df,1.5,1e-5)
结果：
x =
1.3247
k =
3
割线法解非线性方程
Matlab程序：
function[x,k]=mqnewt(f,x0,x1,ep,N)
ifnargin<4,ep=1e-4;end
k=0;
whilek<N
x=x1-(x1-x0)*feval(f,x1)/(feval(f,x1)-feval(f,x0));
五、总结
通过这次实验，我对二分法、牛顿法和割线法求解非线性方程以及列主元高斯消去法、LU分解法求解线性方程组的算法思想有了更加深刻的理解，对不同算法的优缺点也有了更好的认识，明白了没有哪一种算法是完美的，所谓人无完人即是如此，所以当我们面对不同的问题时，应该选择合适的解决问题的方法，一个合适的方法，往往能使一个很复杂的问题简单化，且能大量节约时间。
end
x=zeros(n,1); x(n)=y(n)/U(n,n);
fork=n-1:-1:1
x(k)=(y(k)-U(k,k+1:n)*x(k+1:n))/U(k,k);
end
执行程序：
A=[2 2 3;4 7 7;-2 4 5];
>> b=[7 18 1]&#nd
x=zeros(n,1);
x(n)=b(n)/A(n,n);
fork=n-1:-1:1
x(k)=(b(k)-A(k,k+1:n)*x(k+1:n))/A(k,k);
end
执行程序：
A=[2 2 3;4 7 7;-2 4 5];
>> b=[7 18 1]';
>> x=mgauss2(A,b);x=x'
华北科技学院基础部验证性实验
实 验 报 告
课程名称数值分析
实验学期2014至2015学年第一学期
学生所在系部基础部
年级2012级专业班级
学生姓名学号
任课教师张
实验成绩
《数值分析》课程综合性实验报告
开课实验室：数学应用实验室2014年10月17日
实验题目
非线性方程的求根、线性方程组的直接法实验
一、实验目的
n=length(b);
fork=1:(n-1)
m=A(k+1:n,k)/A(k,k);
A(k+1:n,k+1:n)=A(k+1:n,k+1:n)-m*A(k,k+1:n);
b(k+1:n)=b(k+1:n)-m*b(k);
A(k+1:n,k)=zeros(n-k,1);
ifflag~=0, Ab=[A,b],end
U(k,k:n)=A(k,k:n)-L(k,1:k-1)*U(1:k-1,k:n);
L(k+1:n,k)=(A(k+1:n,k)-L(k+1:n,1:k-1)*U(1:k-1,k))/U(k,k);
y=zeros(n,1); y(1)=b(1);
fork=2:n
y(k)=b(k)-L(k,1:k-1)*y(1:k-1);
ifnargin<5,N=500;end
ifnargin<4,ep=1e-4;end
k=0;
whilek<N
x=x0-feval(f,x0)/feval(df,x0);
ifabs(x-x0)<ep
break;
end
x0=x; k=k+1;
end
执行程序：
f=@(x)x^3-x-1;
df=@(x)3*x^2-1;
教 师 评 价
评定项目
A
B
C
D
评定项目
A
B
C
D
问题分析清楚
模型正确
算法正确
运行结果正确
结果解释合理
操作熟练
文字流畅
报告规范
其他：
评价教师签名：
年月日
结果：
x =
2.1667 1.3333 0
LU分解法解线性方程组
Matlab程序：
function[x,L,U]=mlu(A,b)
n=length(b);
U=zeros(n,n); L=eye(n,n);
U(1,:)=A(1,:); L(2:n,1)=A(2:n,1)/U(1,1);
fork=2:n
结果：
x =
2.1667
1.3333
0
L =
1 0 0
2 1 0
-1 2 1
U =
2 2 3
0 3 1
0 0 6
分析
首先，两种方法得出的解是相同的。列主元高斯消去法能保证计算过程是数值稳定的，LU分解法分开了系数矩阵的计算和对右端项的计算，正是这一特点，使得LU分解法特别使用于求解系数矩阵相同而右端项不同的一系列方程组。