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欧氏空间与双线性函数

基本概念

1. 欧几里得空间

设V 是实数R 上一线性空间，在V 上定义了一个二元函数，称为内积，记作（βα，），它具有以下性质：

（1） （βα，）=（αβ，）； （2） （βα,k ）= k(βα，);

（3） (αβα，+)= (γα，)+(γβ，);

（4） （αα，）≥0，当且仅当α=0时，（αα，）=0。

这里γβα，，是V 中任意的向量，k 是任意实数，这样的线性空间V 称为欧几里得空间。 2. 酉空间

设V 是复数C 上的线性空间，在V 上定义了一个二元复函数，称为内积，记作（βα，），它具有以下性质：

（1）（βα，）=（αβ，）；这里（αβ，）是（αβ，）的共轭复数； （2）（βα,k ）= k(βα，);

（3） (αβα，+)= (γα，)+(γβ，);

（4）（αα，）≥0，当且仅当α=0时，（αα，）=0。

这里γβα，，是V 中任意的向量，k 是任意实数，这样的线性空间称为酉空间。 3. 向量的长度

非负实数），（αα称为向量α的长度，记为α。 4. 向量的夹角

非零向量βα，的夹角

βα，规定为

βα，=arccos

β

αβα）

，（, 0≤

βα，≤π

5. 向量正交

如果向量βα，的内积为零，即（βα，）=0，那么βα，正交，记为βα⊥。 6. 基的度量矩阵

，，21εε.n ε，⋅⋅⋅是n 维欧氏空间的V 一组基,令()j i,εεα=ij ，n j i ，，

⋅⋅⋅=2,1,,称

()nn ij A α=为基n εεε，，，⋅⋅⋅21的度量矩阵。

7. 正交向量组

欧氏空间V 中一组非零的向量，如果它们两两正交，就称为一正交向量组。 8. 正交基、标准正交基

在n 维欧氏空间中，由n 个向量组成的正交向量组称为正交基，由单位向量组成的正交基称为标准正交基。

9. 正交矩阵、酉矩阵

n 级实矩阵称A 为正交矩阵,如果E A A T

=。

n 级复矩阵称A 为酉矩阵,如果

E

A A T

=。

10. 欧氏空间同构

实数域R 上欧式空间V 与V'称为同构的,如果由V 到V'有一个双射σ,满足

（1）σ(）βα+=）；（）（βσασ+

（2））；（）（ασασk k =

（3 ）；

，（））（），（（βαβσασ= 这里βα，∈V ，k ∈R ，这样的映射σ称为V 到V'的同构映射。 11. 正交变换、酉变换

欧氏空间V 的线性变换σ如果满足

），（））（），（（βαβσασ= 则称σ为V 的一个正交变换。

酉空间V 的线性变换σ如果满足

），（））（），（（βαβσασ= 则称σ为酉空间的一个酉变换。

12. 子空间正交、向量与子空间正交

设2,1V V 是 欧氏空间V 的两个子空间，如果对于任意的,2,1V V ∈∈βα 恒有 （βα,）= 0

则称2,1V V 为正交的，记为21V V ⊥。一个向量α，如果对于任意的1V ∈β，恒有 （βα,）= 0

则称α与子空间1V 正交，记为1V ∈α。 13. 子空间的正交补

子空间2V 称为子空间1V 的一个正交补，如果21V V ⊥，并且V V V =+21。 14. 欧氏空间V 的线性变σ换如果满足

))(())((βσαβασ，，=

则称σ为V 的一个对称变换。 15. 向量之间的距离

长度βα-称为向量α和β的距离。

16. 最小二乘解 实系数线性方程

022112222212111212111=-+⋅⋅⋅++=-+⋅⋅⋅++=-+⋅⋅⋅++n s ns n n s s s s b x x x b x x x b x x x αααααααααK

K K K K K

可能无解，即任何一组实数 s x x x ⋅⋅⋅,,21都可能使

)(2

2

1

1

2

1

i

s

is

i i n

i b x x x -⋅+⋅⋅++∑=ααα （1）

不等于零。使等式（1）成立的最小实数组x x x s 0

20

1,,,⋅⋅⋅ 称为方程组的最小二乘解。 17. 对称矩阵，Hermite 矩阵 如果A A T

=

，则称矩阵A 为对称矩阵。如果A A T

=，则称矩阵A 为

Hermite

矩阵。

18. Hermite 二次型 设

A

为Hermite

矩阵，二次齐次函数

X x x a f A

x x x x T

n

i n

j j i ij n =

=

⋅⋅⋅∑∑==11

21),,,( 称为Hermite 二次型。

19. 线性函数 设

v

是数域

p 上的一个线性空间，f

是

v

到

p 的一个映射，如果f

满足

（1）

;)()()(βαβαf f f ++=

（2）

。

)()(ααkf k f = 其中 βα，是

v

中任意元素，k 是

p 中任意元素，则称是v

上的一个线性函数。

20. 对偶空间、对偶基 设

v

是数域

p

上的一个n 维线性空间，v

上全体线性函数组成的集合记作

)v (,p L 。用自然的方法在)

v (,p L 上定义加法和数量乘法，

)

v (,p L 成为