2020年广东省深圳市高考数学一模试卷(文科)

2020年广东省深圳市高考数学一模试卷（文科）

一．选择题（共12小题）

1．已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{0，2，4，6}，则集合A∩B的子集共有（）A．2个B．4个C．6个D．8个

2．若复数z＝的实部为0，其中a为实数，则|z|＝（）

A．2B．C．1D．

3．已知向量，，，且实数k＞0，若A、B、C三点共线，则k＝（）

A．0B．1C．2D．3

4．意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的问题：已知一对兔子每个月可以生一对兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子．假如没有发生死亡现象，那么兔子对数依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……，这就是著名的斐波那契数列，它的递推公式是a n＝a n﹣1+a n﹣2（n≥3，n∈N*），其中a1＝1，a2＝1．若从该数列的前100项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为（）

A．B．C．D．

5．设，，c＝log0.3，则下列正确的是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞a＞c

6．如图所示的茎叶图记录了甲，乙两支篮球队各6名队员某场比赛的得分数据（单位：分）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值为（）

A．2和6B．4和6C．2和7D．4和7

7．若双曲线（a＞0，b＞0）的焦距为，且渐近线经过点（1，﹣2），则此双曲线的方程为（）

A．B．

C．D．

8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由一个长方体切割而成的三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（）

A．12B．16C．24D．32

9．已知函数的最大值、最小值分别为3和﹣1，关于函数f （x）有如下四个结论：

①A＝2，b＝1；

②函数f（x）的图象C关于直线对称；

③函数f（x）的图象C关于点对称；

④函数f（x）在区间内是减函数．

其中，正确的结论个数是（）

A．1B．2C．3D．4

10．函数f（x）＝cos x•ln（﹣x）的图象大致为（）

A．

B．

C．

D．

11．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1，∠ABC＝90°，AB＝BC＝AA1＝2，BB1和B1C1的中点分别为E、F，则AE与CF夹角的余弦值为（）

A．B．C．D．

12．函数f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，f'（x）为其导函数，若xf'（x）+f（x）＝（1﹣x）e x，且f（2）＝0，则f（x）＞0的解集为（）

A．（0，1）B．（0，2）C．（1，2）D．（1，4）

二．填空题（共4小题）

13．已知sin（α+）＝，则sin2α＝﹣．

14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a+b）（sin A﹣sin B）＝（a﹣c）sin C，b＝2，则△ABC的外接圆面积为．

15．已知一圆柱内接于一个半径为的球内，则该圆柱的最大体积为4π．

16．设椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，其焦距为2c，O为

坐标原点，点P满足|OP|＝2a，点A是椭圆C上的动点，且|P A|+|AF1|≤3|F1F2|恒成立，则椭圆C离心率的取值范围是[，1）．

三．解答题（共7小题）

17．已知数列{a n}，a1＝4，（n+1）a n+1﹣na n＝4（n+1）（n∈N*）．

（1）求数列{a n}的通项公式；

（2）若b n＝，求数列{b n}前n项和为T n．

18．某公司为了对某种商品进行合理定价，需了解该商品的月销售量y（单位：万件）与月销售单价x（单位：元/件）之间的关系，对近6个月的月销售量y i和月销售单价x i（i＝1，2，3，…，6）数据进行了统计分析，得到一组检测数据如表所示：

月销售单价x（元/件）456789

月销售量y（万件）898382797467

（1）若用线性回归模型拟合y与x之间的关系，现有甲、乙、丙三位实习员工求得回归

直线方程分别为：＝﹣4x+105，＝4x+53和＝﹣3x+104，其中有且仅有一位实习员工的计算结果是正确的．请结合统计学的相关知识，判断哪位实习员工的计算结果是正确的，并说明理由；

（2）若用y＝ax2+bx+c模型拟合y与x之间的关系，可得回归方程为

+0.875x+90.25，经计算该模型和（1）中正确的线性回归模型的相关指数R2分别为0.9702和0.9524，请用R2说明哪个回归模型的拟合效果更好；

（3）已知该商品的月销售额为z（单位：万元），利用（2）中的结果回答问题：当月销售单价为何值时，商品的月销售额预报值最大？（精确到0.01）

参考数据：≈80.91．

19．如图，四边形ABCD为长方形，AB＝2BC＝4，E、F分别为AB、CD的中点，将△ADF 沿AF折到△AD'F的位置，将△BCE沿CE折到△B'CE的位置，使得平面AD'F⊥底面AECF，平面B'CE⊥底面AECF，连接B'D'．

（1）求证：B'D'∥平面AECF；

（2）求三棱锥B'﹣AD'F的体积．

20．在平面直角坐标系xOy中，过点F（2，0）的动圆恒与y轴相切，FP为该圆的直径，设点P的轨迹为曲线C．

（1）求曲线C的方程；

（2）过点A（2，4）的任意直线l与曲线C交于点M，B为AM的中点，过点B作x轴的平行线交曲线C于点D，B关于点D的对称点为N，除M以外，直线MN与C是否有其它公共点？说明理由．

21.已知函数f（x）＝（x﹣1）lnx+ax2+（1﹣a）x﹣1．

（1）当a＝﹣1时，判断函数的单调性；

（2）讨论f（x）零点的个数．

22．在直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为（t为参数，α为倾

斜角），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ．

（1）求C2的直角坐标方程；

（2）直线C1与C2相交于E，F两个不同的点，点P的极坐标为，若2|EF|＝|PE|+|PF|，求直线C1的普通方程．

23．已知a，b，c为正数，且满足a+b+c＝1．证明：

（1）≥9；

（2）ac+bc+ab﹣abc≤．