华南理工大学高等数学PPT课件

定 义 域 :(,)
阶梯曲线
(4) 狄利克雷函数
yD(x)10
当x是有理数时 当x是无理数时
定 义 域 :(,) y
1
• 无理数点
o
有理数点
x
在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的
式子来表示的函数,称为分段函数.
8、反函数
设函数y f(x),定义域为D,值域为E,若对E中每个y,
都可由y f(x)唯一确定D中的x值,则可定义在E上
即 为 所 求 的 反 函 数 .
例 题 ： 见 书 本 P 5 例 6
二、初等函数
1. 常数函数 yc (c是常)数
2.幂函数
yx (是常)数 y
yx
y x2
1
y x
(1,1)
o1
x
y 1 x
3.指数函数 yax (a0 ,a1 ) y ex
y (1)x a
• (0,1)
y ax (a1)
它的两个单值支是: y x , y x.
今后无特别说明时, 函数是指单值函数.
(3) 定义域: 对有实际背景的函数 对一般的函数：自然定义域
分母不为0； 负数不能开偶次方； 对数的真数大于0； 00没有意义.
例: 设f(x) 25x2 1 ,
lg(2x3)
求f(x)的 定 义 域 .
25x2 0 xD1[5,5];
(2) 符号函数
y
1 当x0 ysgnx 0 当x0
1 当x0
1
o
x
-1
定 义 域 :(,)
绝 对 值 函 数 与 符 号 函 数 的 关 系 : |x | x s g n x
(3) 取整函数 y=[x]
y
[x]表示不超过 x的最大整数 4
3
2
-4 -3 -2 -1 1o -11 2 3 4 5 x -2 -3 -4
•
3 2
•
•
O
2
•
2
•
•
•
•
3 2 5 x
2
2
1
定义域为( ,),值域为 [1,1].
正切函数 ytanxsinx
cosx y ytaxn
余切函数
ycotxcosx sinx
y ycoxt
3
2
2
O
3 x
O 3 2 x
2
2
2
2
2
定义域 x2n1,nZ 定义域 xn , n Z
2
值域 (,).
值域 (,).
正割函数
ysecx 1 cosx
ysexc
点 a的 左 邻 域 :(a-,a) 点 a 的 右 邻 域 : (a ,a )
6、函数 设D和Y是两个非空数集,如果存在一个法则f, 使得对D中每一个元素x，按法则f，在Y中有唯一 的确定的元素y与之对应，称f为从D到Y的函数， 记作yf(x):xD
D
f
Y
D
f
Y
yf(x):xD
x: 自变量 D：定义域
y: 因变量
f ( D ) : 函 数 f 的 值 域 ， 记 作 f ( D ) { f ( x ) x D } Y
注
(1) 构成函数的 两个要素: 定义域 与对应法则 f
如 ylgx2、 y2lgx是两个不同的函数. (因为定义域不同).
(2)若xD, 对应的函数值y总是唯一的,
这种函数称为单值函数,否则称为多值函数. 如 y x是多值函数, 约定:
4.对数函数 y lo a x( g a 0 ,a 1 )ylnx
yloagx
(1,0)
•
(a1)
y log1 x
a
5. 三角函数 正弦函数 ysinx
y
1
ysinx
•
•
•
•
2 3
2
2
•
•
•
•
O
3 2 x
2
2
1
定义域为( ,),值域为 [1,1].
余弦函数 ycoxs
y
1
ycoxs
开区间: (a,b){xaxb}
闭区间: [a,b] {xaxb}
半开区间： [a,b) {xaxb}
(a,b] {xaxb}
以上区间称为有限区间
以下两个区间为为无限区间
[a,) {xax}
oa
x
(,b ) {xxb }
ob
x
区间长度: 两端点间的距离(线段的长度)
注 今后在不需要辨明所论区间是否包含
的一个函数,称为y f(x)的反函数,记作
x f1(y)，yE
称y f(x)为直接函数
注 ： ( 1 ) . 反 函 数 的 存 在 判 别 : 对 应 法 则 在 定 义 域 D
与 值 域 E 是 否 构 成 一 一 对 应 关 系 ;
(2 ).习 惯 上 , 把 yf(x)的 反 函 数 xf 1(y)记 为
端点、有限区间、无限区间的场合, 简单地 称它为 “区间”常, 用I 表示.
5.邻域: 设 a与 是两个 , 且 实 0.数
数 { xx 集 a } 称a 的 为 邻 ,点
点a叫做这邻域的中心, 叫做这邻域的半径.
U (a ， ) {xa x a }.
源自文库
a
a
a x
0
点 a 的 去 心 的 邻 域 ,记 作 U ( a ， ) { x 0 x a } .
解
2x30
xD2
(3,); 2
2x31 x D 3{x|x1};
定义域是 DD 1 D 2 D 3
(3， －1) (1,5]. 2
7、几个特殊的函数举例
(1) 绝对值函数
x, x 0 y | x| x, x 0
y y | x |
o
x
定 义 域 :( , ) , 值 域 : [ 0 , )
课程要求
• 成绩：期末考试70％,30% • 期末考试：教考分离、统考 • 平时成绩：课堂＋期中测验＋作业 • 上课：按时上课、保持安静 • 课前预习，课后复习巩固 • 勤能补拙、机会把握在你手里
课程简介
• 研究对象：函数 • 研究内容：微分+积分(简称微积分) • 研究的基本工具：极限 • 课程主要效用：能力的培养
第一章 函数与极限
第一节 一、变量与函数
函数
1.常量:在所研究的过程中只取一个定值 2.变量:在所研究的过程中可以取不同的值
3.集合: 数集分类: N----自然数集 Z----整数集
Q----有理数集 R----实数集
4.区间: 是指介于某两个实数之间的全体 实数.这两个实数叫做区间的端点.
a ,b R ,且 a b .
yf 1(x), x E
(3).直接函数与反函数的图形关于直线 yx对称.
y 反函数yf1(x)
Q(b,a)
直接函 yf数 (x)
P(a,b)
o
x
求 反 函 数 的 步 骤 :
( 1 ) 从 表 达 式 y f ( x ) 中 解 出 x ( y ) ,y f ( D ) ;
(2)将 x(y)中 x 、 y互 换 , 得 y(x),x f(D )