4-3协方差及相关函数

2. 相关系数的意义
当 ρXY 较大时 e 较小, 表明 X ,Y 的线性关系联 系较紧密. 当 ρXY 较小时, X ,Y 线性相关的程度较差.
当 ρXY 0 时, 称 X 和 Y 不相关.
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例3 设 服从 [0, 2π] 的均匀分布, cos , cos( a ), 这里 a 是定数, 求 和 的相关系数?
( x μ1 )2 2 2 σ1
( x μ1 )( y μ2 )
2


eLeabharlann y μ2 1 x μ1 ρ σ1 2 ( 1 ρ 2 ) σ 2
d yd x
x μ1 1 y μ2 x μ1 , , u 令t ρ 2 σ1 σ1 1 ρ σ2
存在线性关系. 当 a π时, 1, ,
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Cov( X ,Y ) 1 2 2 ( σ σ 1 ρ tu ρσ σ u )e 1 2 1 2 2 2 2 u t ρσ1σ 2 2 u e 2 d u e 2 d t 2
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e E[(Y (a bX ))2 ]
E (Y 2 ) b 2 E ( X 2 ) a 2 2bE ( XY ) 2abE ( X ) 2aE (Y ).
将 e 分别关于 a , b 求偏导数, 并令它们等于零, 得
1 4 2 3.
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X Y ( 2) Cov( X , Z ) Cov( X , ) 3 2 1 1 Cov( X , X ) Cov( X ,Y ) 3 2 1 1 D( X ) ρXY D( X ) D(Y ) 3 3 0. 3 2
于是 XY
Cov( X ,Y ) . D( X ) D(Y )
结论
(1)二维正态分布密度函数中, 参数 ρ 代表了X 与 Y 的相关系数; ( 2)二维正态随机变量 X 与 Y 相关系数为零 等价于 X 与 Y 相互独立.
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e a 2a 2bE ( X ) 2 E (Y ) 0, e 2bE ( X 2 ) 2 E ( XY ) 2aE ( X ) 0. b
Cov( X ,Y ) Cov( X ,Y ) 解得 b0 ,a0 E (Y ) E ( X ) . D( X ) D( X )
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4. 协方差的计算公式
(1) Cov( X ,Y ) E ( XY ) E ( X ) E (Y );
( 2) D( X Y ) D( X ) D(Y ) 2 Cov( X ,Y ).
证明 (1) Cov( X ,Y ) E{[ X E ( X )][Y E (Y )]}
E[ XY YE( X ) XE(Y ) E ( X ) E (Y )]
E ( XY ) 2 E ( X ) E (Y ) E ( X ) E (Y ) E ( XY ) E ( X ) E (Y ).
协方差
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2. 定义
量 E {[ X E ( X )][Y E (Y )]} 称为随机变量 X 与 Y 的协方差. 记为 Cov( X ,Y ), 即 C ov( X ,Y ) E {[ X E ( X )][Y E (Y )]}.
2 E{[ X E ( X )][Y E (Y )]}
D( X ) D(Y ) 2 Cov( X ,Y ).
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5. 性质(Property of covariance )
(1) Cov( X ,Y ) Cov(Y , X );
u2 t 2 2 2
dtdu
ρσ1σ 2 2 故有 Cov( X ,Y ) ρσ 1σ 2 .
σ1σ 2 1 ρ 2 2 2 ,
2
ue
u2 2
d u te
t2 2
dt
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1. 问题的提出
问 a , b 应如何选择, 可使 aX b 最接近 Y ? 接近的程度又应如何来衡量?
设 e E[(Y (a bX ))2 ]
则 e 可用来衡量 a bX 近似表达 Y 的好坏程度. 当 e 的值越小, 表示 a bX 与 Y 的近似程度越好.
确定 a , b 的值, 使 e 达到最小.
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将 a0 , b0 代入 e E[(Y (a bX ))2 ] 中, 得
min e E[(Y (a bX ))2 ]
a ,b
E[(Y (a0 b0 X )) ]
2
2 (1 ρXY ) D(Y ).
而
ρ XY
Cov( X ,Y ) D( X ) D(Y )
称为随机变量 X 与 Y 的相关系数.
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3. 说明
(1) X 和 Y 的相关系数又称为标准协方差, 它是一 个无量纲的量. ( 2) 若随机变量 X 和 Y 相互独立 Cov( X ,Y ) E{[ X E ( X )][Y E (Y )]} E[ X E ( X )]E[Y E (Y )] 0. ( 3) 若随机变量 X 和 Y 相互独立 D( X Y ) D( X ) D(Y ) 2 E {[ X E ( X )][Y E (Y )]} D( X ) D(Y ) 2Cov( X ,Y ) D( X ) D(Y ).
( 2) Cov( aX , bY ) ab Cov( X ,Y ) a , b为常数;
( 3) Cov( X 1 X 2 ,Y ) Cov( X 1 ,Y ) Cov( X 2 ,Y ).
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若随机变量 X 和 Y 相互独立, 那么
D( X Y ) D( X ) D(Y ).
若随机变量 X 和 Y 不相互独立
D( X Y ) ? D( X Y ) E ( X Y )2 [ E ( X Y )]2
D( X ) D(Y ) 2 E{[ X E ( X )][Y E (Y )]}.
X Y 1 1 得 E ( Z ) E ( ) E ( X ) E (Y ) 3 2 3 2 1 . 3
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X Y X Y D( Z ) D( ) D( ) 2 Cov( , ) 3 2 3 2 1 1 1 D( X ) D(Y ) Cov( X ,Y ) 9 4 3 1 1 1 D( X ) D(Y ) ρXY D( X ) D(Y ) 9 4 3
2
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1 2π 1 E ( ) cosx cos( x a ) dx cos a , 2π 0 2
由以上数据可得相关系数为
当 a 0时, 1, ,
cos a .
2 2 例1 设( X ,Y ) ~ N ( μ1 , μ2 , σ1 ,σ2 , ρ), 试求 X 与 Y 的
相关系数. 解 由 f ( x, y)
1 2σ1σ 2 1 ρ
2
exp
1 ( x μ1 )2 ( x μ1 )( y μ2 ) ( y μ2 )2 2ρ 2 2 2 σ 1σ 2 σ2 2(1 ρ ) σ1
f X ( x) fY ( y ) 1 e 2σ1 1 e 2σ 2
( x μ1 )2 2 2 σ1 ( y μ2 ) 2 2 2σ2
, x , , y .
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第三节
协方差及相关系数
(Covariance and Correlation coefficient )
一、协方差与相关系数的 概念及性质 二、相关系数的意义
三、小结
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一、协方差与相关系数的概念及性质
1. 问题的提出
2 2 E ( X ) μ1 , E (Y ) μ2 , D( X ) σ1 , D(Y ) σ 2 .
而 Cov( X ,Y )
e
( x μ1 )( y μ2 ) f ( x , y ) d x d y
1
2


2 σ 1 σ 2 1 ρ
已知随机变量 X ,Y分别服从N (1,3 2 ), N (0,4 2 ), 例 2 ρ XY 1 2 , 设 Z X 3 Y 2 . (1) 求 Z 的数学期望和方差.
( 2) 求 X 与 Z 的相关系数. ( 3) 问 X 与 Z 是否相互独立? 为什么?
解 (1)由E ( X ) 1, D( X ) 9, E (Y ) 0, D(Y ) 16.
故 ρXY Cov( X , Z ) ( D( X ) D( Z ) ) 0.
( 3) 由二维正态随机变量相关系数为零和相互独 立两者是等价的结论, 可知 : X与Z是相互独立的.
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二、相关系数的意义
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( 2) D( X Y ) E {[( X Y ) E ( X Y )] }
2
E{[( X E ( X )) (Y E (Y )]2 }
E {[ X E ( X )]2 } E {[Y E (Y )]2 }
1 2π cosx dx 0, 解 E ( ) 2π 0 1 2π E ( ) cos( x a ) dx 0, 2π 0 1 2π 2 1 E ( ) cos x dx , 2π 0 2
2
1 2π 2 1 E ( ) cos ( x a ) dx , 2π 0 2