关于整数集

关于整数集

由上一节知道，两个自然数的差未必是一个自然数，即在自然数集中，减法未必总是能够实施的. 为此，我们必须对自然数集进行扩充. 在这一节中，主要讨论如何将自然数集扩充为整数集，使得减法运算能够实施. 在学习本节之前，应该先复习第一章中的笛卡尔集、等价关系和序关系等概念，为学习本节内容打好基础. 在学习本节内容时要理解从自然数集到整数集的扩充，了解序结构和代数结构，掌握整数的运算及算律，了解整数集的可列性. 在学习整数集时应该注意以下几点：

1．在整数集Z= Z+×Z+/R的定义中，Z+是把“0”添入自然数集后所得到的数集，叫做扩大的自然数集. 在Z+中加法和乘法运算规定为：

n + 0 = 0 + n = n , n·0 = 0·n = 0 .

减法和除法运算是加法和乘法运算的逆运算，即

n- 0 = n，n-n = 0 , 0 - 0 = 0 , 0÷n = 0 .

2．在定义Z ={［m ,n］|m ,n∈Z+}中的［m ,n］是一个二元有序数偶，即当m≠n时，

［m ,n］≠［n ,m］.而且，按照Z中规定的序，Z中的大小关系应该是：

[m,n]＜(＞)[k,l]⇔m + l＜(＞)k + n.

特别地：

[m,n]＜[k,n]⇔m＜k，[m,n]＜[m,l]⇔n＞l.

因此，要注意“⇔”右面表达式中的数字在左面数组中的位置.

3．整数［p，q］与［m, n］的减法运算为：［p, q］-［m, n］=［n+ p, m+ q］，也就是说在整数加减运算中，减去一个整数等于加上这个整数的相反数. 这是因为

［p, q］-［m, n］=［n+ p, m+ q］

=［p, q］+［n, m］=［p, q］+(-［m, n］).

4．由于整数集可以表示为Z =｛［m,0］|m∈Z+｝ ｛［0, m］|m∈Z+｝.我们规定：

0 = [0, 0]，m = [m, 0]， - m = [0, m]

又因为［m, n］= ［m, 0］+［0, n］=［m, 0］-［n, 0］=［m- n, 0］.故

Z = {…, -n, …, -2, -1, 0, 1, 2, …, n, …}

因此，整数集是可列集.