全等三角形证明过程训练(讲义)

全等三角形证明过程训练（讲义）

➢ 课前预习

1. 判定三角形全等的方法有______，______，______，______．

要证三角形全等需要找_____组条件，其中必须有_____．

2. 在做几何题时，我们往往借助对图形的标注来梳理信息，进而把条件直观

化，请学习下图中的标注．

①如图1，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ∥BC ．

②如图2，在四边形ABCD 中，连接BD ，∠ABD =∠CDB ，∠ADB =∠CBD ，∠A =∠C ．

③如图3，在四边形ABCD 中，连接AC ，BD 相交于点O ，AO =OC ，BO =DO ．

D C

B

A

×

×A B

C

D

O

A

B

C

D

图1 图2 图3

3. 数学推理中，有理有据地思考和表达是一项基本的数学素养，请理清思路

后，完整书写过程．

如图是一个易拉罐的纵截面示意图，易拉罐的上下底面互相平行（AB ∥CD ），用吸管吸饮料时，若∠1=110°，求∠2的度数．

➢ 知识点睛

1. 直角三角形全等的判定定理：_________________________．

2. 已知：如图，在△ABC 与△A′B′C′中，∠C =∠C′=90°，AB =A′B′，AC =A′C′．

321D C B A

求证：△ABC ≌△A′B′C′．

C'

B'A'

C

B A

证明：如图，

在Rt △ABC 和Rt △A′B′C′中

AB A'B'

AC A'C'=⎧⎨

=⎩

（已知）（已知） ∴Rt △ABC ≌Rt △A′B′C′（HL ）

➢ 精讲精练

1. 如图，AC =AD ，∠C ，∠D 是直角，将上述条件标注在图中，则___________

≌___________，从而BC ________BD ．

D C

B

A 2. 如图，DE ⊥A

B 于E ，DF ⊥A

C 于F ，AE =AF ，则_____≌______，从而DE =______．

A

B

C

D E

F

3. 已知：如图，AB =CD ，AF =CE ，DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ．

求证：△ABF ≌△CDE ．

A

B

C

D

E

F

4.已知：如图，∠B=∠D=90°，如果要使△ABC≌△ADC，那么还需要一个条件，

这个条件可以是_________________，理由是____________；这个条件也可以是_______________，理由是____________；这个条件也可以是_______________，理由是____________；这个条件还可以是_______________，理由是____________．

A

B D A

B C

D

E F

l

第4题图第5题图

5.如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线l的距离分别是1和

2，则EF的长为_________．

6.已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB

于E．求证：△ACD≌△AED．

E D

C

B A

7. 已知：如图，点B ，E ，C ，F 在同一直线上，AC ∥DF 且AC =DF ，BE =CF ．求证：

△ABC ≌△DEF ．

E D

C B A

8. 如图，在正方形ABCD 中，∠A =∠ABC =90°，AB =BC ，E ，F 分别是AB ，AD 上

的点，已知CE ⊥BF ，垂足为M ． 求证：BE =AF ．

A B

C

D

E

F M

9. 已知：如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，D 为AB 上一点，连接CD ，

AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 交CD 的延长线于F ．求证：CF =AE ．

10. 已知：如图，在△ABC 中，∠B =∠C =60°，D ，E ，F 分别为边BC ，AB ，AC 上

的点，且BE =CD ，∠EDF =60°．求证：ED =DF ．

F

E

D C

B A

A

B D

E F

【参考答案】

➢课前预习

1.SAS；SSS；ASA；AAS

3；边

2.略

3.解：如图，

∵AB∥CD

∴∠1=∠3

∵∠1=110°

∴∠3=110°

∵∠2+∠3=180°

∴∠2=180°-∠3

=180°-110°

➢ 知识点睛

1. SAS ，SSS ，ASA ，AAS ，HL

➢ 精讲精练

1. Rt △CAB ；Rt △DAB ；=

2. Rt △AED ；Rt △AFD ；DF

3. 证明：如图，

∵DE ⊥AC ；BF ⊥AC ∴∠DEC =∠BFA =90° 在Rt △ABF 和Rt △CDE 中，

AB CD AF CE =⎧⎨

=⎩

（已知）

（已知） ∴Rt △ABF ≌Rt △CDE （HL ） 4. AB =AD ；HL

BC =DC ；HL ∠BAC =∠DAC ；AAS ∠BCA =∠DCA ；AAS 5. 3

6. 证明：如图，

∵DE ⊥AB ∴∠DEA =90° ∵∠C =90° ∴∠C =∠DEA ∵AD 平分∠BAC ∴∠CAD =∠EAD 在△ACD 和△AED 中

C DEA CA

D EAD AD AD ∠=∠⎧⎪

∠=∠⎨⎪=⎩

（已证）（已证）

（公共边） ∴△ACD ≌△AED （AAS ） 7. 证明：如图，

2

1A B

C D

E F

第8题图

∵AC ∥DF