高中数学概率统计教案

高中数学概率统计教案

知识点一：随机变量的分布列与期望方差

1、随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，随机变量常用字母

ηξ,,,Y X 等表示．

2、离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．若ξ是随机变量，a b ηξ=+，其中,a b 是常数，则η也是随机变量.

3、离散型随机变量分布列：设离散型随机变量X 可能取得值为1x ，2x ，…，i x ，…n x ，X 取每一个值i x (1,2,,i n =L )的概率为()i i P X x p ==，则称表

X 1x 2x … i x … n x P

1p

2p …

i p …

n p

为随机变量X 的概率分布列，简称X 的分布列．有时为了表达简单，也用等式()i i P X x p ==，1,2,,i n =L 表示X 的分布列．

★分布列的两个性质：①0i p ≥，1,2,,i n =L ；②121n p p p +++=L .

4、离散型随机变量期望：()1122i i n n E X x p x p x p x p =+++++L L 为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．

5、离散型随机变量方差：()()()

2

1

n

i

i i D X x E X p ==

-∑为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X 与其均

值()E X 的平均偏离程度．称()D X 为随机变量X 的方差，其算术平方根()D X 为随机变量X 的标准差． ★性质：若Y aX b =+，其中,a b 为常数，则Y 也是随机变量，且()()E aX b aE X b +=+. ★性质：若Y aX b =+，其中,a b 为常数，则Y 也是随机变量，且()()2

D aX b a D X +=．

6、常见离散型随机变量的分布列 （1）两点分布

（2）超几何分布：超几何分布的应用较两点分布广．在形式上适合超几何分布的模型由较明显的两部分组成，如“男生、女生”；“正品、次品”；“优、劣”等．即在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有

X 件次品，则事件{X k =}发生的概率为()k n k

M N M

n

N

C C P X k C --==，0,1,2,,k m =L ，其中{}min ,m M n =，且,,,,n N M N n M N N *≤≤∈，称分布列为超几何分布列.

解题模板： 第一步：分析题意，写出随机变量的所有可能取值以及辨别是否属于古典概型；

第二步：运用古典概型的计算概率公式计算随机变量所有取值所对应的概率； 第三步：画出随机变量的分布列并得出结论.

（3）二项分布：在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为k ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为()()

1n k

k

k

n P X k C p p -==- (0,1,2,,k n =L )，此

时称随机变量X 服从二项分布，记作(),X B n p :，并称p 为成功概率． 二项分布期望：若(),X B n p :，则()E X np =. 二项分布方差：若(),X B n p :，则()()1D X np p =-．

解题模板：第一步 首先写出随机变量的所有可能取值以及辨别是否是独立重复试验；

第二步 运用二项分布随机变量所对应的各自的概率； 第三步 画出分布列表即可得出结论.

（4）正态曲线()()+∞∞-∈=

--

,,21)(2

2

2,x e

x x σμσμσ

πϕ有以下性质：

①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x μ=对称； ③曲线在x μ=处达到峰值

π

σ21

；

④曲线与x 轴围成的图形的面积为1；

⑤当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移；

⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．

⑦正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 ①6826.0)(=+≤<-σμσμX P ； ②9544.0)22(=+≤<-σμσμX P ； ③9974.0)33(=+≤<-σμσμX P .

知识点二：统计案例

1、独立性检验：利用随机变量2

k 来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验。

公式和表格： 2

2

()()()()()

n ad bc K a b c d a c b d -=

++++

2、线性回归方程

1、线性回归方程：a bx y +=∧

（最小二乘法）

()()()⎪

⎪⎩⎪⎪

⎨⎧

-=--=

---=∑∑∑∑====x

b y a x n x y

x n y

x x x y y x x b n

i i n

i i

i n i i n

i i i i 1

2

2

11

2 注意：线性回归直线经过定点),(y x .

2、相关系数（判定两个变量线性相关性）：∑∑∑===----=

n

i n

i i i

n

i i i

y y x x

y y x x

r 1

1

2

21

)()()

)((

注意：⑴0r >时，变量y x ,正相关；0r <时，变量y x ,负相关；

⑵①||r 越接近于1，两个变量的线性相关性越强；

②||r 接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。

3、回归分析中回归效果的判定：相关指数∑∑==∧

---

=n

i i i

n

i i i

y y

y y R 12

12

2)()(1 。

注：①2

R 得知越大，则模型拟合效果越好；

②2

R 越接近于1，，则回归效果越好。