威布尔分析方法

第1章威布尔分析
1.1 引言：
在所有可用的可靠性计算的分布当中，威布尔分布是唯一可用于工程领域的。

在1937，Waloddi Weibull教授（1887－1979）创造性的提出了该种分布，它是用于失效数据分析分布中应用最广泛的分布之一，也用于寿命数据分析，因为系统或部件的寿命周期的测量也需要分析。

一位瑞典的工程师和一位数学家潜心研究冶金的失效，威布尔教授曾指出正态分布要求冶金的初始强度服从正态分布，而情况并非如此。

他还指出对于功能需求可以包含各种分布，其中包括正态分布。

1951年他发表了代表作，“一个具有广泛适用性的统计分布函数”，威布尔教授声称寿命数据可以从威布尔分布族中选择最恰当的分布，然后用合适的参数进行合理准确的失效分析。

他列举七种不同的情况来证明威布尔分布可顺利用于很多问题的分析。

对威布尔分布的最初反应是普遍诊断它太过完美以致于不真实。

尽管如此，失效数据分析领域的先驱们还是开始应用并不断改进，直到1975年，美国空军才认可了它的优点并资助了威布尔教授的研究。

今天，威布尔分析涉及图表形式的概率分析以找出对于一个给定失效模式下最能代表一批寿命数据的分布。

尽管威布尔分布在检测寿命数据以确定最合适的分布方面在世界范围内处于领先位置，但其它分布也会偶尔用于寿命数据分析包括指数分布，对数正态分布，正态分布，寿命数据有了对应的统计学分布，威布尔分析对预计产品寿命做了准备。

这种具代表性的样本分布用来估计产品的重要寿命特征，如可靠性，某一时刻的失效率，产品的平均寿命及失效率。

1.1.1威布尔分析的优点：
威布尔分析广泛用于研究机械、化工、电气、电子、材料的失效，甚至人体疫病。

威布尔分析最主要的优点在于它的功能：
⏹提供比较准确的失效分析和小数据样本的失效预测，对出现的问题尽早的制订解
决方案。

⏹为单个失效模式提供简单而有用的图表，使数据在不充足时，仍易于理解。

⏹描述分布状态的形状可很好的选择相应的分布。

⏹提供基于威布尔概率图的斜率的物理失效的线索。

虽然对数或对数正态分布的使用通常要至少20次失效或源于以往的经验，在只有2~3次失效时用威布尔分析非常好，在涉及安全性或极端费用时的失效结果是很关键的。

威布尔家族中的一员weibayes，在以往经验充足时甚至可用于无失效情况下。

1.1.2威布尔概率图：
威布尔分析研究的是通过在威布尔概率图上绘制单一失效模式的寿命数据来研究部件的寿命时间和它的可靠度之间的关系。

威布尔分析最常用于描述元器件失效的时间，它们可以是电灯泡，滚珠轴承、电容、磁盘驱动器，打印机甚至是人。

失效模式包括爆裂，折断，变形或由于腐蚀造成的疲劳，过应力，高温，初期致命失效，耗损等等。

当在威布尔概率图上绘制失效时间数据时，工程师们更愿意用median rank regression 作为参数估计方法，median rank regression方法是通过用最小二乘法（曲线拟合），找到一条最佳拟合直线来将平方差减至最小，median rank regression被认为是标准参数估计方法，因为它通过大多数数据得出了正确结果。

典型的，水平刻度（x轴）度量部件的寿命，垂直刻度（Y轴）度量已知失效模式下的部件失效累积的百分数。

一个威布尔概率图沿着横坐标有一条线性/非线性的时间刻度，沿着纵坐标有另一条非线性的分布函数。

这些非线性的刻度通过适当的数据模型选出。

如果刻度与数据相匹配，图表就会呈现出一条直线。

由于它们简单且有用，所以概率图表用于统计分析中已经很多年了。

尽管如此，仍需注意的是用概率描绘的方法获得的分布参数是独立同分布的，这经常用于不可修的部件和系统，而对于可修系统的失效数据可能就不是这样。

在图7-1中，威布尔概率图认为失效时间对应唯一的失效模型。

当许多元器件在正常运转条件下被测试时，它们不会在同一时间因同一原因都失效。

任一失效原因下的失效次数都会集中于平均值附近，次数过多或过少的情况都较少。

由于寿命数据的分布如此，他们会服从某种分布。

为了描述一种分布的形状，这种分布的形状取决于所要研究的内容，公式可由统计方法得出。

如果已绘制的数据点落在直线附近，威布尔概率图便认为是合理的。

1
1
10
1
.1发
生
频度C D
F
%
数据（单元）图7-1.威布尔分布概率图
注意：Y 轴上的值是从1%~99%的概率值，轴上各点之间的距离是不均匀的。

威布尔概率图的X 、Y 轴上的点于点之间的距离是百分比的变化而不是点的变化。

正如对数的刻度一样，1~2间的距离是100%的增加，与2~4间的距离相同，但那是另一个100%的增加。

对数比例只为一些相似级数作铺垫。

除了对问题有更深的洞察力，最直观的是对确认分布方法有帮助，该种方法可更好的将数据集构成一条直线。

如果用以前的数据表示发生的失效，将组件的失效寿命绘制成图是非常常见的。

在这种情况下：
Y 轴通常为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣
⎡-)(11ln ln t F X 轴为：()t ln
Y 轴的截距为：()ηβln ⋅
1.1.3 威布尔分析的用途
威布尔分析一般用于以下方面失效数据的分析：
⏹ 研制、生产和服务
⏹ 质量控制和设计缺陷
⏹ 维修计划和替代方案
⏹ 备用元件的预测
⏹ 保障性分析
⏹ 自然灾害（闪电袭击，暴风雪，强风，暴雪等）
威布尔分析新的应用包括医学研究，仪器校准，费用削减，材料性能和测量分析。

1.1.4 理解威布尔分析
双参数的威布尔分布目前在寿命数据分析中广泛应用：
⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-=βηt t R exp )( 其中：
t ≥0,β＞0 且η>0 。

这里,β和η分别是分布状态和比例参数。

因为双参数的威布尔分布有效地分析了初期致命失效，实用寿命的和耗损阶段的寿命数据，它也可用于失效率的增长，持续和递减。

定义了威布尔概率图的第一个参数是斜率β，它是形状参数，因为它确定了威布尔家族中哪一种分布相关性最好或可以描述数据。

第二个参数是特征寿命，伊塔（η）作为比例参数，因为它定义了分布状态的大部分。

参数β和η可从寿命数据中估计，寿命数据总为正值。

威布尔分析完成后，由图可看出威布尔概率的斜度和拟合度。

注意：三参数的威布尔分布应用也很广泛。

第三个参数——位置，是一个常数，可从时间变量t 中加上或减去。

威布尔危险函数或失效率依赖于β的值，因为β值说明了新或旧元件是否更有失效的可能，威布尔危险函数可以描绘出不同元件的浴盆曲线：
初期故障：在电子和制造业中，早期失效指在使用寿命的初期失效的概率极高，当β值于小1.0时，威布尔概率分布图表明较新的元件在正常使用时更有可能失效，被称为瞬时递减失效率。

为中止电子和机械系统在早期故障的高失效率，制造商提供了产品接收测试，老练（burn －in ）早期和环境应力筛选暂不先将系统交付客户。

假如有部件在初期损失阶段没有失效，那么它的失效率应当是递减的，且它的可靠度增加。

因此，旧元件被认为比新元件更好，因为新元件很可能在寿命的早期失效，而元件在早期失效阶段的检修是不合适的。

偶然故障：假设威布尔概率分布图以一个独立失效模型为基础，β为1.0说明失效率是常数或相对于时间独立。

这意味着对于那些无故障运行至时间t 的元件，在下一个单位时间内将不能保持恒定的百分比，称作恒定危险率或瞬时失效率。

这使得威布尔概率图与指数分布一致。

由于旧元件被认为与新元件一样好。

检修通常是不适合的，唯一使系统或部件可靠度提高的方法是用随机失效进行重新设计。

早期损耗：在设计寿命时经常因为机械问题出现未预期的失效。

当1.0<β<4.0时，大
修或以低B－lives来替换元件会较经济。

B-Lives指出给定总数的百分比失效时的时间。

例如：B-1寿命是指总数的1%失效时的时间，而B-10寿命指总数的10%失效的时间。

通过优化预防性维修计划，经历早期耗损的元件的可靠度和费用都会提高。

快速损耗：尽管一个元件设计寿命的β值大于4.0是需要引起重视，但多数斜率急剧升降的威布尔概率图在失效概率在忽视范围内有一个安全期，且发生失效的影响会超出设计寿命。

斜率越大的直线，在失效时间内的变化越小且结果越可预知。

对于有重大失效的元件，大修和检查会更经济，因为定时维护会较昂贵，所以当旧元件快损坏或失效时才会考虑，此时的失效称为瞬时增长失效率。

因为不同的斜率代表不同的失效类别，威布尔分布提供了可能引起失效的原因，表7-1列出了引起每一类失效的失效原因：
统计学家，数学家和工程师们已将统计分布简化为数学模型或描绘出某些行为。

与其它统计分布相比,威布尔分布适于更广范围的寿命数据。

威布尔概率密度函数是一个数学函数，用以描述与数据相适应的曲线。

概率密度函数可用数学模型给出或用图形给出，其中图上X 轴代表时间。

威布尔家族中的不同成员有不同形状的概率密度函数。

累积密度函数是概率密度函数曲线下的面积。

威布尔分布的累积密度函数如下：
公式
⎪
⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=βηt t F exp 1)(………………………………………………………………(7.1) 其中:
η代表特征寿命(比例参数)
β代表斜率(状态参数)
累积密度函数给出了时间t 内的失效概率.参数η和β由失效时间进行估计，如果失效数据来自于威布尔分布，η和β的值代入累积密度函数的公式求出一定时间内元器件的失效预计。

特征寿命η和平均失效时间（MTTF ）是相关的。

特征寿命给出了系统或元器件寿命中的失效概率独立于失效分布参数的点。

对所有威布尔分布来说，定义为63.2%的单元失效时的寿命。

对β=1，MTTF 和？相等。

MTTF 和η为gamma 函数关系：
公式
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+Γ⋅=βη11MTTF …………………………………………………………………(7.2) ηβ><MTTF When ,1.
ηβ2,5.0==MTTF When .
,,1ηβ==MTTF When 典型分布。

ηβ<>MTTF When ,1.
虽然，威布尔教授最初提出用平均值作为MTTF 值绘制在威布尔概率分布图的y 轴上，现在是标准的工程方法用失效时间的中间值来划分寿命数据。

表7-2展示了一个中间等级表（50%）作为10个数量的样本，由此形成莱奥纳多·杰克逊（Leonard Johnson ）的等级公式。

因为在寿命数据中非均匀分布相当常见，所以中间值比均值更为准确些。

一旦知道β和η，任意时间的失效概率都可轻易算出。

表7-2 中间等级（50%）
1.1.5进行威布尔分析：
除了指出新的还是旧的元期件更易发生失效，威布尔分布还可被应用在许多分析上，包括可靠性分析和维修分析，概率设计，分布分析，节约成本和设计比较。

威布尔软件，是一个能基于过去的性能、分析领域或实验室数据用威布尔分布计算系统或元器件今后的可靠性的程序，用威布尔软件预计可靠性基本上由6步组成：
1、收集“好的”寿命数据
2、选择分布类型
3、确定估计方法
4、指明置信值
5、进行分析
6、解释结果
1.2 收集“好的”寿命数据
收集“好的”寿命数据是威布尔分析的第一步，也是最难的一步。

因为威布尔分析的结果实际上只基于数据，与数据相关的工作必须细致的执行。

1.2.1确定失效所用比例尺
在威布尔分析中，寿命单元完全取决于元器件的使用和已知的失效模型。

产品寿命可以用小时，英里，周期数或任何一个应用于特殊产品成功运作时期的单位来度量。

例如，使用中的汽车轮胎的寿命用英里或公里来度量。

燃烧炉和涡轮机用高温工作的时间或冷热循环次数来度量。

这样，部件寿命可用长度，时间，任务周期，载荷循环，旋转次数等等来度量，具体情况由失效模型来决定。

每个失效模型应独立分析，部件寿命时间的原点和刻度要仔细考虑，即可得到威布尔分析较准确的结果。

因为好的数据分析方法并不能改善坏的数据，通过彻底地调查数据源以找出报告问题的根本原因，注意单个元器件有许多失效模式。

如果数据集包含了多种失效模式的综合，标记单个数据点以指明相应的失效模式。

将寿命数据手工输入或自动导入到威布尔软件之后，每一个失效模型便会建立起相应的分布。

尽管失效模型一般指明了最易老化的单元，但不确定最好的老化参数也会偶然存在。

这种情况下，对于每一个可选的老化参数都易形成威布尔概率分布图，图中最好的老化参数最为接近一条直线的参数。

威布尔软件提供了自动选择最优分布以及优化所分析的寿命数据。

因为威布尔概率分布图经常会从很少的数据中获取很重要的信息，甚至从坏的数据中都可能得到一些信息。

当有效数据不可用的或得不到，例如：寿命参数可用日期间隔表示。

对于已失效的锅炉，最合适的寿命参数是工作小时或工作循环次数，然而唯一可用的数据是最初的装运及回收日期。

尽管使用日历时间表示老化参数不甚合适，增加了不确定性，相关性度量（a measure of fit）可以很容易计算以确定是否得出的威布尔概略图准确到可提供有价值的分析。

考虑材料特性如延展性，受压断裂和疲劳时，老化参数通常为应力，负载或温度。

尽管这些参数不能真实的反应老化，但威布尔概率分布图的结果相当于得出了组件的寿命。

在为概率图收集组件老化之前，要确定：
•分析的单一失效模型要有清楚的定义
•组件老化时间原点要定义清楚
•所用的时间度量单位要一致
1.2.2排列数据
收集到寿命数据之后，要将失效时间从早至晚排列，这样分类可绘制成图，时间(t)轴和纵轴F（t），由百分比表示。

每次失效被描绘在失效时间（t）和F(t)的估计图上，F(t)为失效前失
效数占总数的百分比。

1.2.3剔除确认
研究的失效模式中未失效的单元被称为剔除或检查单元。

剔除没有失效的或是根据完全不同的失效模式失效的单元。

剔除按相对于组件可达到的寿命长度的老化年龄来进行分类。

在工程上，剔除一般是单元真正失效的时间大于所考虑的失效模式最老化的时间，然而其它类型的剔除也存在且按老化年龄分为：
✧早期剔除：所讨论的失效模式中失效年龄小于最小失效时间的单元。

早期剔除对
威布尔概率分布图影响很小，称为已知检测数据，早期剔除在工程数据中很少见。

在医学预防研究中，当一个病人参与研究时，才会产生已知检测数据，因为疾病
的出现先于预防研究的进行，此事件发生的时间先于在研究过程中首次失效的时
间。

✧中期剔除：除所讨论的失效模式，出现随机失效而老化的单元。

中期剔除又被称
为随机剔除或连续剔除，一定条件下可变换为介于早期和晚期剔除间的一条威布
尔图线。

✧晚期剔除：失效老化年龄大于所讨论的失效模式下最老失效年龄的单元。

晚期剔
除可减小威布尔概率分布图的斜率，称为在检数据，晚期剔除主要集中于工程数
据。

寿命测试中，在失效前通过元器件的移除产生在检数据。

当元器件在一段时
间内运行成功后，继续运行的时间长度是未知的。

尽管未对失效进行过多的加权，但所有被确认的剔除必须包含在样本数据集内。

由于剔除发生前，剔除对可调等级或中间等级毫无作用，所以先用剔除对数据分类，然后调整其级别。

当增加剔除行为对斜率β影响不大时，会增加特征寿命η。

这样看来，不包含剔除虽也能得到结果但并不理想。

1.2.4确定数据类型
当数据集中的每一点的精确失效或剔除时间已知时，数据可由点表示。

考虑到威布尔分析中数据的标准类型，逐点数据被分为（失效）发生和剔除。

对于发生，失效时间或事件被精确记录在时间刻度（t）上的某一点。

对于剔除，未失效单元的清除应被记录在时间刻度的某一点，即使当前真实失效时间实际上已大于当前所达到的老化年龄。

多数可控制的测试数据是以点表示的，因为测试期的长度和失效时间都是已知的。

当所有失效时间均已知且对剔除时间作了正确的估计，所确定的数据也可按点分类。

当确切的失效和剔除时间均未知时，数据可根据失效间隔（单元的数目）分组，分组
数据引起了分析的不确定性的增长。

当处理不具备准确失效和中止时间的按月记录的失效数时，确定数据可看作分组数据。

描述分组数据的术语包括：
•数据间隔：只有当系统或组件停止动作并做定期检查时，潜在失效模式才会被发现。

当一个无害的失效模式首次被检出时被称作发现。

失效元件的实际失效时间小于所记录的第一次检查的时间。

一个无害的失效在上一次检测（t1）后发生但直到下一次检测(t2)时才被发现，所以它的失效时间大于先前的检测时间而小于此次检测时间。

•粗略数据：与间隔数据相关，粗略数据的失效时间不精确，因为数据收集的时间间隔很长，甚至是几个月而非几天或几小时。

•真实数据，也叫有害检测数据：真实数据是在检测时每个被检测元件由于检测的不确定性或检测时发现失效的不确定性而获得的。

对于真实数据，每一个测试结果或者被看作中止或者被看作失效。

例如：测试炸弹或导弹（或检测涡流运动），只有工作或不工作两种可能。

因为寿命数据的类型决定了哪种分布类型最好，表7-3描述了威布尔软件中常见的选择类型以说明数据点是如何收集的。

1.3 选择分布类型
威布尔分布有不同形式的应用，包括单参数，双参数，三参数及混合威布尔分布，有时不属于威布尔分布的正态或对数正态分布也可用于寿命数据的分析，选择适合于特殊数据集的分布要以数据的数量和质量，以往经验以及良好的相关性测试为基础。

表7-4描述了威布尔家族的各种分布。

统计要点
尽管统计学家反对用极小样本，但安全性和明显的资金损失却决定了我们收集的数据的局限性。

当仅有极少失效数据存在时，威布尔分析可提供有用的结果，因为：
●耗损失效发生在最陈旧的单元上。

多数失效结果被绘在威布尔概率分布图的左下
角B-0.1至B-1，这也正是在工程上最为关注的区域。

●威布尔分析包括失效和中止。

尽管中止没有失效严重，但会有上千的中止，在
B-0.1~B-1lives进行更准确的工程预计。

威布尔分布应用于失效机会倍增且第一次失效很重要的情况，也应用于线性衰退而不是加速衰退系统。

当威布尔分布是非线性衰退而不是当前衰退的一个函数时，可使用对数正态分布。

表7-5给出了正态和对数正态分布的描述。

因为即使它们不属于威布尔分布但偶尔也用来做寿命数据的参数分析。

多数威布尔软件可快速生成所有分布并自动为数据集选出一个最合适的分布。

1.4 指定估计方法：
为给寿命数据集选定合适的统计模型，进行寿命分布分析的参数应与估计数据严格一致。

尽管有许多估计方法可选择，但根据数据类型和所分析数据点的数目，最常用的是行列回归和极大似然估计的各种形式。

这是因为它们适用于所有分布和所有数据类型。

根据参数估计，威布尔概率分布图所示结果反映了所选分布与所分析数据集的拟合性。

1.4.1行列回归
行列回归是一种按数据拟合直线（或曲线）的方法。

要为数据集选定合适的统计模型，就要对寿命分布参数进行估计，生成的函数要与数据严格吻合。

参数决定着概率密度函数（pdf）的比例，形状和位置。

例如在三参数威布尔分布中：
•斜率参数β：定义了分布的形状
•尺度参数η：定义了分布的大部分方向
•位置参数t
：定义了分布在时间上的位置
在多数情况下，最好的估计方法是中间行列回归，是通过失效时间和行列中用最小二乘法值拟合一条直线用以估计参数β和η并绘制在威布尔概率分布图上，一旦对单个定义好的失效模式收集了良好的寿命数据，威布尔软件便可绘成威布尔概率分布图：
1、将所有失效和中止时间从最早发生到最晚发生分级。

（尽管中止不像失效一样多，但它
们都属于数据集）。

2、计算失效的调整行列（不绘制中止）
3、用Benard近似将调整行列转换为中值行列。

4、将中值行列转换为百分比绘制在威布尔概率分布图上。

5、在X轴上绘制失效时间，在Y轴上绘中值。

6、如果指定置信参数，便可得出置信区间。

7、从威布尔概率分布图中读B-63.2寿命估计特征寿命。

8、估计斜率作为上升率
中值行列回归对于失效小于等于100样本时可认为是最准确的参数估计方法。

1.4.2极大似然估计（MLE）
极大似然估计是统计学家所用的另一种方法。

它从所观测的数据中的β和η中找到β和η的最大似然估计值。

似然函数由观测值中每一个数据点的概率密度函数的结果组成，也有未知的分布参数。

该函数以对数示值，有很多阶段且相当复杂。

对于双参数分布，对数似然是一种山形的三维图形，山顶位置是极大似然值。

极大似然估计值是最接近于真实值的值。

当被分析数据组包含100或更多的失效且有中止或缺陷数据时，极大似然比中值回归更准确。

尽管如此，喜欢将数据绘成图的工程师们不是也发现了极大似然估计的缺陷——它不能提供很好的图形显示。

1.4.3参数估计方法
除了数据类型和数据点的数目，可根据分析线图的计算时间和拟合质量选择参数估计方法。

表7—6给出了威布尔软件中可用的行列回归和极大似然估计方法。

表7－6 参数估计方法
1.5 指定置信度
威布尔分析结果预计基于小样本的观测寿命。

由于样本大小通常很有限，所以存在结果的不确定性。

这样，置信等级——统计精确性的量度，可作为分析结果准确性的量具。

在观测数据点和进行的威布尔分析之前，要先指定一个置信度等级，此置信度是一个被输入的百分比值。

百分比值越多，对结果的置信度要求就越高。

置信区间用于表示一个范围，在此范围内，真实分析值希望能降低某一特定时间的百分比（置信度）。

置信区间量化了由于样本误差产生的不确定度，并通过包含重要度（quantity of interest）的特定区间的置信度来表示。

而不管一个特定区间是否实际包括了重要度，尽管它未知。

注：保证是指所输入的置信度值等于可靠度的情况。

置信区间可以有一或两个界限，所选择的置信限的类型取决于应用。

单边界限用于指示在指定置信度下，重要度所高于的置信下限或低于的置信上限。

单边置信下限用于预计可靠度。

单边置信上限用于预计保证下（under warranty）部件的失效百分比。

双边界限用于指示在指定置信度下的包含重要度的双边界限，还用于指明参双边界限用于预计某种分布的参数。

计算置信区间可用于所有的分布和参数估计方法中。

为找到置信区间，必须指定置信方法，置信区间的类型和置信度。

表7—7给出了威布尔软件中可用的置。