威布尔分析方法

第1章威布尔分析

1.1 引言：

在所有可用的可靠性计算的分布当中，威布尔分布是唯一可用于工程领域的。在1937，Waloddi Weibull教授（1887－1979）创造性的提出了该种分布，它是用于失效数据分析分布中应用最广泛的分布之一，也用于寿命数据分析，因为系统或部件的寿命周期的测量也需要分析。

一位瑞典的工程师和一位数学家潜心研究冶金的失效，威布尔教授曾指出正态分布要求冶金的初始强度服从正态分布，而情况并非如此。他还指出对于功能需求可以包含各种分布，其中包括正态分布。

1951年他发表了代表作，“一个具有广泛适用性的统计分布函数”，威布尔教授声称寿命数据可以从威布尔分布族中选择最恰当的分布，然后用合适的参数进行合理准确的失效分析。他列举七种不同的情况来证明威布尔分布可顺利用于很多问题的分析。

对威布尔分布的最初反应是普遍诊断它太过完美以致于不真实。尽管如此，失效数据分析领域的先驱们还是开始应用并不断改进，直到1975年，美国空军才认可了它的优点并资助了威布尔教授的研究。

今天，威布尔分析涉及图表形式的概率分析以找出对于一个给定失效模式下最能代表一批寿命数据的分布。尽管威布尔分布在检测寿命数据以确定最合适的分布方面在世界范围内处于领先位置，但其它分布也会偶尔用于寿命数据分析包括指数分布，对数正态分布，正态分布，寿命数据有了对应的统计学分布，威布尔分析对预计产品寿命做了准备。这种具代表性的样本分布用来估计产品的重要寿命特征，如可靠性，某一时刻的失效率，产品的平均寿命及失效率。

1.1.1威布尔分析的优点：

威布尔分析广泛用于研究机械、化工、电气、电子、材料的失效，甚至人体疫病。威布尔分析最主要的优点在于它的功能：

⏹提供比较准确的失效分析和小数据样本的失效预测，对出现的问题尽早的制订解

决方案。

⏹为单个失效模式提供简单而有用的图表，使数据在不充足时，仍易于理解。

⏹描述分布状态的形状可很好的选择相应的分布。

⏹提供基于威布尔概率图的斜率的物理失效的线索。

虽然对数或对数正态分布的使用通常要至少20次失效或源于以往的经验，在只有2~3次失效时用威布尔分析非常好，在涉及安全性或极端费用时的失效结果是很关键的。威布尔家族中的一员weibayes，在以往经验充足时甚至可用于无失效情况下。

1.1.2威布尔概率图：

威布尔分析研究的是通过在威布尔概率图上绘制单一失效模式的寿命数据来研究部件的寿命时间和它的可靠度之间的关系。威布尔分析最常用于描述元器件失效的时间，它们可以是电灯泡，滚珠轴承、电容、磁盘驱动器，打印机甚至是人。失效模式包括爆裂，折断，变形或由于腐蚀造成的疲劳，过应力，高温，初期致命失效，耗损等等。

当在威布尔概率图上绘制失效时间数据时，工程师们更愿意用median rank regression 作为参数估计方法，median rank regression方法是通过用最小二乘法（曲线拟合），找到一条最佳拟合直线来将平方差减至最小，median rank regression被认为是标准参数估计方法，因为它通过大多数数据得出了正确结果。

典型的，水平刻度（x轴）度量部件的寿命，垂直刻度（Y轴）度量已知失效模式下的部件失效累积的百分数。

一个威布尔概率图沿着横坐标有一条线性/非线性的时间刻度，沿着纵坐标有另一条非线性的分布函数。这些非线性的刻度通过适当的数据模型选出。如果刻度与数据相匹配，图表就会呈现出一条直线。由于它们简单且有用，所以概率图表用于统计分析中已经很多年了。尽管如此，仍需注意的是用概率描绘的方法获得的分布参数是独立同分布的，这经常用于不可修的部件和系统，而对于可修系统的失效数据可能就不是这样。

在图7-1中，威布尔概率图认为失效时间对应唯一的失效模型。当许多元器件在正常运转条件下被测试时，它们不会在同一时间因同一原因都失效。任一失效原因下的失效次数都会集中于平均值附近，次数过多或过少的情况都较少。由于寿命数据的分布如此，他们会服从某种分布。为了描述一种分布的形状，这种分布的形状取决于所要研究的内容，公式可由统计方法得出。如果已绘制的数据点落在直线附近，威布尔概率图便认为是合理的。

1

1

10

1

.1发

生

频度C D

F

%

数据（单元）图7-1.威布尔分布概率图

注意：Y 轴上的值是从1%~99%的概率值，轴上各点之间的距离是不均匀的。威布尔概率图的X 、Y 轴上的点于点之间的距离是百分比的变化而不是点的变化。正如对数的刻度一样，1~2间的距离是100%的增加，与2~4间的距离相同，但那是另一个100%的增加。对数比例只为一些相似级数作铺垫。除了对问题有更深的洞察力，最直观的是对确认分布方法有帮助，该种方法可更好的将数据集构成一条直线。

如果用以前的数据表示发生的失效，将组件的失效寿命绘制成图是非常常见的。在这种情况下：

Y 轴通常为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣

⎡-)(11ln ln t F X 轴为：()t ln

Y 轴的截距为：()ηβln ⋅

1.1.3 威布尔分析的用途

威布尔分析一般用于以下方面失效数据的分析：

⏹ 研制、生产和服务

⏹ 质量控制和设计缺陷

⏹ 维修计划和替代方案

⏹ 备用元件的预测

⏹ 保障性分析

⏹ 自然灾害（闪电袭击，暴风雪，强风，暴雪等）

威布尔分析新的应用包括医学研究，仪器校准，费用削减，材料性能和测量分析。

1.1.4 理解威布尔分析

双参数的威布尔分布目前在寿命数据分析中广泛应用：

⎪⎭

⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-=βηt t R exp )( 其中：

t ≥0,β＞0 且η>0 。这里,β和η分别是分布状态和比例参数。

因为双参数的威布尔分布有效地分析了初期致命失效，实用寿命的和耗损阶段的寿命数据，它也可用于失效率的增长，持续和递减。

定义了威布尔概率图的第一个参数是斜率β，它是形状参数，因为它确定了威布尔家族中哪一种分布相关性最好或可以描述数据。第二个参数是特征寿命，伊塔（η）作为比例参数，因为它定义了分布状态的大部分。参数β和η可从寿命数据中估计，寿命数据总为正值。威布尔分析完成后，由图可看出威布尔概率的斜度和拟合度。

注意：三参数的威布尔分布应用也很广泛。第三个参数——位置，是一个常数，可从时间变量t 中加上或减去。

威布尔危险函数或失效率依赖于β的值，因为β值说明了新或旧元件是否更有失效的可能，威布尔危险函数可以描绘出不同元件的浴盆曲线：

初期故障：在电子和制造业中，早期失效指在使用寿命的初期失效的概率极高，当β值于小1.0时，威布尔概率分布图表明较新的元件在正常使用时更有可能失效，被称为瞬时递减失效率。为中止电子和机械系统在早期故障的高失效率，制造商提供了产品接收测试，老练（burn －in ）早期和环境应力筛选暂不先将系统交付客户。假如有部件在初期损失阶段没有失效，那么它的失效率应当是递减的，且它的可靠度增加。因此，旧元件被认为比新元件更好，因为新元件很可能在寿命的早期失效，而元件在早期失效阶段的检修是不合适的。

偶然故障：假设威布尔概率分布图以一个独立失效模型为基础，β为1.0说明失效率是常数或相对于时间独立。这意味着对于那些无故障运行至时间t 的元件，在下一个单位时间内将不能保持恒定的百分比，称作恒定危险率或瞬时失效率。这使得威布尔概率图与指数分布一致。由于旧元件被认为与新元件一样好。检修通常是不适合的，唯一使系统或部件可靠度提高的方法是用随机失效进行重新设计。

早期损耗：在设计寿命时经常因为机械问题出现未预期的失效。当1.0<β<4.0时，大