增分微课1：平均在高中物理中的应用

●应考策略
首先需要明白“平均”方法的意义，其次要明白各种具体情
况属于哪种“平均”，其三要熟悉各种常见的“平均”，以及相应
的结论、技巧和注意事项。下面先简单介绍一下“平均”的意义。
1、给出物理量取值的大致范围，以便总体把握物理量的情况
比如平均身高、平均分数、平均寿命、平均冲力、分子平均
动能、平均结合能以及实验误差中的标准差等，就属于这种情形。
Ii2Δti 。 t
[拓展]若所有 Δti 取值相同，则加权平均值可退化为平方平均
值： I
Ii2Δt
I
2 i
。
t
N
③均匀重力场中物体的重心（质心）坐标——坐标对质量的
加权平均值
【解释】N 个质点组成的质点组，其中 mi 对应的坐标为（xi，
yi，zi），则这组质点的重心的位置坐标（xC，yC，zC）定义是：
增分微课 1:“平均”方法在高中物理中的应用
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●题型综述
高中物理中有许多涉及到“平均”的概念，例如平均速度、
平均功率、平均电流、平均电动势、分子平均动能、平均结合能（比
结合能）等等。那么，“平均”在这些问题中有什么意义？高中物
理中涉及到了哪些类型的平均值？在使用各种平均值概念时，需要
注意一些什么？本文将就这一系列问题展开探讨。
的概率越接近相等，绝对误差ε（测量值－真实值）中正值、负值
出现的情况接近相同，则将所有的测量值相加求算术平均值，即可
将偶然误差接近消除，例如长度测量：
l
l1 l2 ... l N N
(l0
1 )
(l0
2 ) N
...
(l0
N
)
l
0
1 2 ... N N
l 0
其中 l0 为待测量的真实值。
左盘放砝码称量值为 m2，设天平左臂长为 l 左，右臂长为 l 右，物体
质量为 m，则： 第一次天平平衡时： mgl左 =m1gl右 第二次天平平衡时： m2 gl左 =mgl右 两式相乘并整理得到： m m1m2 此式与天平臂长无关，消除了由于 l左 l右 引起的系统误差。 【例 2】电桥法测电阻
EN
由 于 所 有 的 Ei 都 大 于 Ei ， 因 此 易 知 EAB EBC ， 则 EABd EBC d ，即U AB U BC 。
②交变电流有效值：“电流平方对时间的加权平均值”的平
方根
【解释】交变电流的有效值设为 I，则有
N
Q I 2 Rt Ii2 RΔti ，即 I
i 1
2、将一个状态量不均匀变化的过程，等效简化成一个状态量
均匀变化的过程
比如平均速度、平均加速度、平均作用力、平均功率、平均
电场强度、平均电流、平均电动势、交变电流有效值等。
3、有效的减小实验误差
比如多次测量取平均值（图像法是其变种），就是有效的减
小实验的偶然误差的方法；某些实验中采用复称法（用到了几何平
【例 3】N 个定值电阻并联后的总电阻 R 满足：
1 1 1 ... 1 ，即 R RH ，其中 RH 为这 N 个电阻的调和
R R1 R2
RN
N
平均值： RH
1
N 1 ...
1
。
R1 R2
RN
5、加权平均值
（1）三大类型
①比值定义的物理量：平均速度、平均加速度、平均作用力、
平均功率、平均电场强度、平均电流、平均电动势、平均密度、平
均值），是为消除实验系统误差。
●应用举例
1、算术平均值
（1）自由电子定向移动平均速率、分子平均速率、分子平均
动能、平均结合能等
【例】分子平均速率——将所有分子速率相加后，除以分子
的总数： v v1 v2 ... vN vi
N
N
（2）多次测量取平均值减小实验的偶然误差
测量次数越多，偶然因素导致的测量值相对真实值偏大偏小
v
2 N
vi2 ；分
N
N
子方均根速率涉及分子平均动能的计算，与分子平均速率一般不相
等，注意不要混淆。
（2）实验误差中的标准差——绝对误差的方均根：
2
2 i
N
，实验数据的误差范围通常表示为：l
l0
。
3、几何平均值
【例 1】不等臂天平测质量
左盘放物体，右盘加砝码，称量值为 m1；然后将物体放右盘，
均压强等
【例 4】平均速度——速度对时间的加权平均值：一个过程由
N 个阶段组成，各阶段的速度和时间分别为 vi、Δti，则全过程的平
均速度为
v
x总 = v1Δt1 v2Δt2 ... vN ΔtN
t总
Δt1 Δt2 ... ΔtN
Δt1 t总
v1
Δt2 t总
v2
...
ΔtN t总
vN
[拓展]若 Δt 取值相同，则加权平均值可退化为算术平均值：
[拓展]很多实验采用图像法，其要点是测量数据要多，作图时
要求用平滑的曲线将尽可能多的点连起来，不能落在曲线上的点均
匀的分布在曲线两侧，其实就是多次测量取算术平均值的思路。
2、平方平均值（幂平均值）
（1）分子方均根速率——将所有分子速率平方后相加，除以
分子总数，然后再开方： v2
v12
v22
...
xC
mi gxi mi g
， yC
mi gyi mi g
， zC
mi gzi 。 mi g
[拓展]由这个定义易知，该质点组的重心的高度为
[解析]这个问题可以采用平均电场强度的方式来解决，若将
AB 段等分为 N 段，每一小段上电场强度可视为不变，设为 E1、
E2、……EN，则这段长度 d=AB 上的平均电场强度为：
EAB
U AB d
=
E1Δd
E2Δd ... d
EN Δd
E1
E2 ... N
EN
同理：
EBC
U BC d
=
E1 E2 ... N
若定值电阻 R1、R2 的具体阻值不准确，我们可以先按如图接
好电路，调节电阻箱 R0 的阻值为 R01 时，
电桥达到平衡，有： Rx R1 R01 R2
然后将电阻箱与待测电阻 Rx 对调， 再调节电阻箱为 R02 时，电桥再次达到平 衡，则有： Rx R2
R02 R1 两式联立，有： Rx R01R02 ，此式与 R1、R2 的阻值无关， 从而消除了 R1、R2 的阻值不准确引起的系统误差。 4、调和平均值
t总 =NΔt ，则
v
x总 t总
=
Δt t总
v1
Δt t总
v2
...
Δt t总
vN
1 N
v1
1 N
v2
...
1 N
vN
v1 v2 ... vN N
【例 5】平均电场强度——电场强度对距离的加权平均值：如
图所示，点电荷的电场中一根电场线上有 A、B、C 三个点，且有
AB=BC，试比较 UAB 与 UBC 的大小关系。