第二章 阶行列式课程教案

第二章 n 阶行列式 课程教案

授课题目：第二节 行列式的性质

教学目的：1．掌握n 阶行列式的递推定义以及按行（列）展开定理．

2．理解n 阶行列式的性质，掌握行列式计算的基本思想方法和步骤．

教学重点：n 阶行列式的性质与计算． 教学难点：按行（列）展开定理． 课时安排：3学时．

授课方式：多媒体与板书结合． 教学基本内容：

§2.2行列式的性质

Laplace 定理

按行展开 ⎩⎨

⎧≠==∑=i

j i j D

A a jk n

k ik ,

01．

按列展开 ⎩⎨⎧≠==∑=i

j i j D

A a kj n

k ki ,

01．

行列式的性质

性质1 行列式转置，其值不变．即D D '=如

2112221122

21

1211a a a a a a a a -==

22

12

2111a a a a ．

例1 上三角阵的行列式等于对角线元的乘积

11121222112200

n n nn nn

a a a a a a a a a =L

L L L L L L L

．

（用性质1及上节例1）． 性质2 交换行列式两行（列），行列式的值变号．

推论 若行列式D 中有两行（列）对应元素相同，则行列式值等于零． 性质3 用数k 乘行列式D 的某一行（列），等于数k 乘这个行列式． 推论1 有一行（列）为零的行列式等于零． 性质4 有两行（列）成比例的行列式等于零．

性质5 nn n in in i i n a a b a b a a a Λ

ΛΛΛΛΛΛΛ

Λ1

1

1111++=nn n in i n a a a a a a Λ

ΛΛΛΛΛΛΛΛ

1

1

111+nn

n in i n a a b b a a Λ

ΛΛΛΛΛ

ΛΛΛ1

1111．按列也有类似性质．

性质6 将行列式的某一行（列）的k 倍加到另一行（列），行列式的值不变．如

j

i kr r jn jn in i a a a a +=

Λ

Λ

Λ

ΛΛΛΛΛ

ΛΛΛ

1Λ

Λ

Λ

ΛΛΛΛΛΛΛΛ

jn

jn jn

in ji

i a a ka a ka a ++1． 例2 计算下列各行列式：

（1）

4

124120210520

117

； （2）

2

141312112325

062-；

（3）ab

ac ae

bd

cd de bf

cf

ef

---； （4）1

110

011

001a

b c d

---．

解

(1)

7110025102021

4

21434327c c c c --01

14

23102021

10214

---=34)1(14

3

10

221

1014

+-⨯--- =14

3

10

221

1014

--3

21132c c c c ++14

171720

10

99-=0．

(2)

2

60

523211213141

2-24c c -2

60

5

032122130412-24r r -0

412032122130412-

14r r -0

00

032122130412-=0．

(3)ef cf

bf

de cd bd

ae ac ab

---=e c

b

e c b e c b ad

f ---=1

1

1

111

1

11---adfbce =abcdef 4． (4)

d c

b a

10

1100110

01---21ar r +d

c

b a ab 10

1

10

011

010

---+

=1

2)

1)(1(+--d

c

a ab

10110

1--+ 2

3dc c +0

10

111-+-+cd c

ad

a a

b =2

3)

1)(1(+--cd

ad ab +-+11

1=1++++ad cd ab abcd ．

例2 证明

（1）1

1

1

2222b b a a b ab a +=3

)(b a -；（2）bz

ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax +++++++++=y

x z x z

y z y x b a )(33+； （3）0

)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2

2

222

2

2

2

2

22

2

2

222

=++++++++++++d d d d c c c c

b b b b a a a a ；（4）4

4442

2

2

21111d c b a d

c

b

a d c

b a ；

))()()()((d b c b d a c a b a -----=))((d c b a d c +++-⋅；

（5）1

22

110000

0100001a x a a a a x x x

n n n

+-----Λ

ΛΛΛΛΛΛΛ

ΛΛn n n n a x a x a x ++++=--111Λ． 证明

（1）0

1

22222221

312a b a b a a b a ab a c c c c ------=

左边222

31

(1)22ab a b a b a b a

+--=---

3()()

()1

2

a b a b a b a a b +=--=-=右边．

（2）bz

ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a ++++++分开按第一列左边

bz ay by ax x by ax bx az z bx

az bz

ay y b +++++++

++++++002y

by

ax z

x bx az y z bz ay x a 分别再分

2y z az bx

b z

x ax by x

y ay bz

+++