7.1.2 复数的几何意义

规律方法 复数实部、虚部分别对应了复平面内相应点的横坐标和纵坐标，在复平 面内复数所表示的点所处的位置，决定了复数实部、虚部的取值特征. 【训练1】 实数m取什么值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i. (1)对应的点在x轴上方； (2)对应的点在直线x＋y＋4＝0上.
解 (1)由m2－2m－15>0，得m<－3或m>5，所以当m<－3或m>5时，复数z对应的点 在x轴上方. (2)由(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)＋4＝0，得 m＝1 或 m＝－52， 所以当 m＝1 或 m＝－52时，复数 z 对应的点在直线 x＋y＋4＝0 上.
【训练 3】 若复数 z＝a＋i(a∈R)在复平面内对应点 Z，则|z|＝ 2时，a＝________； 此时 Z 与点(1，2)的距离是________. 解析 ∵|z|＝ a2＋1＝ 2，∴a＝±1. ∴z＝1＋i或z＝－1＋i. 当 z＝1＋i 时，Z 为(1，1)，两点间距离为 （1－1）2＋（2－1）2＝1； 当 z＝－1＋i 时，Z 为(－1，1)，两点间的距离为 （－1－1）2＋（1－2）2＝ 5. 答案 ±1 1 或 5
[微思考]
复数的模的几何意义是什么？ 提示 复数z在复平面内对应的点为Z，复数z0在复平面内对应的点为Z0，r表示一个 大于0的常数，则： ①满足条件|z|＝r的点Z的轨迹为以原点为圆心，r为半径的圆，|z|＜r表示圆的内部， |z|＞r表示圆的外部； ②满足条件|z－z0|＝r的点Z的轨迹为以Z0为圆心，r为半径的圆，|z－z0|＜r表示圆的 内部，|z－z0|＞r表示圆的外部.
问题 实数可用数轴上的点来表示，类比一下，复数怎样来表示呢？ 提示 任何一个复数z＝a＋bi，都和一个有序实数对(a，b)一一对应，因此，复数 集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应.
1.复平面 复平面中点的横坐标表示复数的实部，点的纵坐标表示复数的虚部
实轴
虚轴
2.复数的几何意义 (1)复数 z＝a＋bi(a，b∈R) (2)复数 z＝a＋bi(a，b∈R)
原点(0，0)的距离 【例3】 设z∈C，在复平面内对应点Z，试说明满足下列条件的点Z的集合是什么图
形. (1)|z|＝2； (2)1≤|z|≤2. 解 (1)法一 |z|＝2说明复数z在复平面内对应的点Z到原点的距离为2，这样的点Z 的集合是以原点O为圆心，2为半径的圆. 法二 设z＝a＋bi，由|z|＝2，得a2＋b2＝4.故点Z对应的集合是以原点O为圆心，2 为半径的圆.
提示 1.在复平面内对应于实数的点都在实轴上是正确的. 2.原点在虚轴上，但不是纯虚数. 3.复数的模可以为0. 4.根据共轭复数的定义可知正确. 5.应该是充分条件.
[微训练]
1.向量a＝(1，－2)所对应的复数的共轭复数是( )
A.1＋2i
B.1－2i
C.－1＋2i
D.－2＋i
解析 因为复数与向量一一对应，所以向量 a＝(1，－2)的复数形式为 z＝1－2i，所
一、素养落地 1.通过复数代数形式及几何意义的理解提升数学抽象素养.通过复数模的学习及应用培
养数学运算素养. 2.复数的几何意义有两种：复数和复平面内的点一一对应，复数和复平面内以原点为
起点的向量一一对应. 3.研究复数的问题可利用复数问题实数化思想转化为复数的实部、虚部的问题，也可
以结合图形利用几何关系考虑.
_复__平__面__内__的__点__Z__(a_，__b_)__. 平面向量O→Z.
3.复数的模
(1)定义：向量O→Z的模叫做复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值. (2)记法：复数 z＝a＋bi 的模记为___|z_|或__|_a_＋__b_i|___. (3)公式：|z|＝|a＋bi|＝ a2＋b2(a，b∈R). 如果 b＝0，那么 z＝a＋bi 是一个实数，它的模就等于|a|(a 的绝对值).
的复数是( )
A.－5＋5i
B.－5－5i
C.5＋5i
D.5－5i
解析 (1)由复数的几何意义，可得O→Z1＝(5，－4)，O→Z2＝(－5，4)， 所以O→Z1＋O→Z2＝(5，－4)＋(－5，4)＝(0，0)， 所以O→Z1＋O→Z2 对应的复数为 0. (2)由复数的几何意义，得O→A＝(2，－3)，O→B＝(－3，2)，B→A＝O→A－O→B＝(2，－3) －(－3，2)＝(5，－5)， 所以B→A对应的复数是 5－5i. 答案 (1)C (2)D 规律方法 利用复数与向量的联系，可以用向量表示复数，将有些复数问题转化为 向量问题处理，借助向量去解决复数问题.
三、审题答题 示范(一) 复数几何意义的应用
【典型示例】 (12分)复数 z＝(1－i)a2－3a＋2＋i(a∈R)①. (1)若 z＝－z② ，求|z|的值； (2)若 在复平面内复数z对应的点在第一象限③ ，求实数a的取值范围. 联想解题 看到①可考虑将z化为z＝x＋yi(x，y∈R)的形式. 看到②可知z的虚部为0.
满分心得 复数 z＝a＋bi(a，b∈R)和复平面上的点 Z(a，b)一一对应，和向量O→Z一一对应，正 确求出复数的实部和虚部是解决此类题目的关键.
题型一 复数与复平面内的点 【例1】 在复平面内，若复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i对应的点：(1)在虚轴上；
(2)在第二象限；(3)在第二、四象限；(4)在直线y＝x上，分别求实数m的取值范围. 解 复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i的实部为m2－2m－8，虚部为m2＋3m－10. (1)由题意得m2－2m－8＝0.解得m＝－2或m＝4. (2)由题意，mm22－ ＋23mm－ －81＜ 0＞0， 0，∴2<m<4. (3)由题意，(m2－2m－8)(m2＋3m－10)<0，∴2<m<4或－5<m<－2. (4)由已知得 m2－2m－8＝m2＋3m－10，故 m＝25.
【训练 2】 在复平面内，O 是原点，向量O→A对应的复数为 2＋i，若点 A 关于实轴的对 称点为点 B，则向量O→B对应的复数为________. 解析 复数 2＋i 表示的点 A(2，1)关于实轴对称的点为 B(2，－1)，∴O→B对应的复 数为 2－i. 答案 2－i
复数模的几何意义是复数z＝a＋bi所对应的点Z(a，b)到 题型三 复数模的 几何意义
7.1.2 复数的几何意义
课标要求
素养要求
理解复数的代数表示及其几何意义，掌 通过复数代数形式及其几何意义的理解、
握用向量的模表示复数模的方法，理解 复数模的运用，共轭复数的概念的理解，
共轭复数的概念.
体会数学抽象及数学运算素养.
教材知识探究
19世纪末20世纪初，著名的德国数学家高斯在证明代数基本定理 时，首次引进“复数”这个名词，他把复数与平面内的点一一对 应起来，创立了复平面，依赖平面内的点或有向线段(向量)建立 了复数的几何基础. 复数的几何意义，从形的角度表明了复数的“存在性”，为进一 步研究复数奠定了基础.
4.共轭复数
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为__相__反__数___时，这两个复数叫做互为共
－
轭复数，虚部不等于 0 的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数 z 的共轭复数用__z___ 表示，即如果 z＝a＋bi，那么－z＝___a_－__b_i __.
教材拓展补遗 [微判断] 1.在复平面内，对应于实数的点都在实轴上.( √ ) 2.在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数.( × ) 3.复数的模一定是正实数.( × ) 4.两个共轭复数的和是实数.( √ ) 5.两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件.( × )
看到③可知z的实部和虚部均大于0，从而求出a的范围.
满分示范 解 z＝(1－i)a2－3a＋2＋i＝(a2－3a＋2)＋(1－a2)i2分 (1)由 z＝－z知，1－a2＝0，故 a＝±1.3 分
当a＝1时，z＝0，|z|＝0； 当a＝－1时，z＝6，|z|＝6.5分 (2)由已知得，复数的实部和虚部皆大于0， 即a12－－a32a>＋0，2>0，8 分 即a－>12<或aa<<1， 1，10 分 所以－1<a<1.12分
题型二 复数与复平面内的向量的关系
【例 2】 (1)向量O→Z1 对应的复数是 5－4i，向量O→Z2 对应的复数是－5＋4i，则O→Z1＋O→Z
2 对应的复数是( )
A.－10＋8i
B.10－8i
C.0
D.10＋8i
(2)设 O 是原点，向量O→A，O→B对应的复数分别为 2－3i，－3＋2i，那么向量B→A对应
二、素养训练
1.在复平面内，复数z＝i＋2i2对应的点位于( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析 ∵z＝i＋2i2＝－2＋i，实部小于0，虚部大于0，故复数z对应的点位于第二
象限.
答案 B
2.在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C
对应的复数是( )
A.4＋8i
B.8＋2i
C.2＋4i
D.4＋i
解析 由题意知点A的坐标为(6，5)，点B的坐标为(－2，3).由中点坐标公式，得线
段AB的中点C的坐标为(2，4)，故点C对应的复数为2＋4i.
答案 C
3.若复数 z＝(m－2)＋(m＋1)i 为纯虚数(i 为虚数单位)，其中 m∈R，则|－z|＝________. 解析 复数 z＝(m－2)＋(m＋1)i 为纯虚数(i 为虚数单位)，所以 m－2＝0 且 m＋1≠0， 解得 m＝2，所以 z＝3i，所以－z＝－3i，∴|－z|＝3. 答案 3
以－z＝1ห้องสมุดไป่ตู้2i.
答案 A
2.已知复数z的实部为－1，虚部为2，则|z|＝________. 解析 由题意可知 z＝－1＋2i，所以|z|＝ 5. 答案 5