5.3 真空中静电场的高斯定理

13
大学
5.3 真空中静电场的高斯定理
物理学
➢ 闭合曲面 规定面元的法向单位矢量取向外为正。
电场线穿出，电通量为正，反之则为负。

Φe
E dS
S

E cosθdS
S
“穿出”θ 90

θ en
E
“穿进”θ 90
E
θ
en
S
第五章 真空中的静电场
14
大学 物理学
练习
第五章 真空中的静电场
3
大学
5.3 真空中静电场的高斯定理
物理学
正点电荷与负点电荷的电场线
+
-
第五章 真空中的静电场
4
大学
5.3 真空中静电场的高斯定理
物理学
一对等量正点电荷的电场线
+
+
第五章 真空中的静电场
5
大学
5.3 真空中静电场的高斯定理
物理学
一对等量异号点电荷的电场线
-
+
第五章 真空中的静电场
(2) 若q 位于任意曲面S 内； (3) q位于任意闭合曲面S 以外。
第五章 真空中的静电场
大学
5.3 真空中静电场的高斯定理
物理学
(1)点电荷位于球面中心
q E 4πε0R2
dΦe E d S

Φe
EdS
S
q d S 4 πε0 R2 S
dS
+ q
R
E 0
第五章 真空中的静电场
32
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物理学
在球面处（r ）R电
场强度是连续的， 其量值
E

q 4πε0 R2
O R
q
qE
4πε0 R2
q 4πε0r 2
oR r
E r 关系曲线
第五章 真空中的静电场
33
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5.3 真空中静电场的高斯定理
物理学
例5-7 有一半径为R的无限长均匀带电圆柱，
其单位长度上所带电荷量为 .(1) 带电圆柱为
均匀带电圆柱面时，求其电场分布；(2) 带电
圆柱为均匀带电圆柱体时，求其电场分布.
解 因为无限长均匀带电圆柱上的电荷呈轴 对称分布，所以其电场分布也具有轴对称性， 即离开圆柱轴线距离相等的各点（同一柱面上） 电场强度大小相等，方向沿着半径方向.
设所求场点P到圆柱轴线的距离为r，不论P
一般情况下，由高斯定理只能求出通过某一闭合 曲面的电场强度通量，并不能求出电场中各点的场 强。
但是当电荷的分布具有某些对称性时，其电场的 分布也具有一定的对称性，在这种情况下，应用高斯 定理计算场强就比用叠加法计算场强要简单的多。
第五章 真空中的静电场
27
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物理学
例5-6 有一半径为R 的均匀带电球，带电量q. (1) 带电球为均匀带电球面时，求其电场分布； (2)带电球为均匀带电球体时，求其电场分布.
（1）电场线总是起始于正电荷，终止于负电荷，电 场线不会形成闭合线。
（2）在没有电荷的地方电场线不中断，任意两条 电场线不会相交。
（3）电场线密集的地方，电场强度较大；电场 线疏稀的地方，电场强度较小。
电场线的这些性质反映了静电场的特征。
第五章 真空中的静电场
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物理学
s1
E dS ES1 cos π ES1
Φe2 s1 E dS ES2 cosθ ES1
5
Φe Φei 0
y
P N
S2
en
E
i 1
S1

en
o
R
x
zM
en Q
第五章 真空中的静电场
16
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物理学
2. 求均匀电场中一半球面的电通量。
qi
i 1
在真空静电场中，穿过任一闭合曲面的电场强
度通量，等于该曲面所包围的所有电荷的代数和
除以 . ε0
连续分布带电体
高斯面
Φe
EdS
1
S
0
dV
V
第五章 真空中的静电场
25
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物理学
Φe
E dS
S
1 ε0
n
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物理学
(2) 均匀带电球体

qi
0 r R
E dS E 4 π r 2 i
S
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
ε0
i
qi

4
q π R3

4 3
π r3

q R3
r3
3
E
4
π
r2

1
0

qr 3 R3
E

qr 4πε0 R 3
方向沿径向向外.
en
θ
E
电场穿过某曲面
dS
的电通量为

S
Φe
E dS
S
第五章 真空中的静电场
12
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5.3 真空中静电场的高斯定理
物理学
非匀强电场，通过任意闭合
曲面S的电场强度通量.
v

S
E
Φe
E dS
S
说明
➢ 不闭合曲面
面元的法向单位矢量可有两种相反取向，电通 量可正也可负；
第五章 真空中的静电场
(2) 疏密表示电场强度的大小
垂直于电场线的单位面积上电场线条数等于 该点的电场强度的大小。
第五章 真空中的静电场
2
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物理学
典型电场的电场线分布图形
正点电荷与负点电荷的电场线 一对等量正点电荷的电场线 一对等量异号点电荷的电场线 一对不等量异号点电荷的电场线 带电平行板电容器的电场线
结论：
EdS 0
S
通过任一闭合曲面的电场强度通量，与闭合曲面外 的电荷无关，仅仅取决于闭合曲面内的电荷量。
第五章 真空中的静电场
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物理学
高斯定理的导出
设空间电场是由点电荷q1、q2、 、qN 共同激 发的。作任一闭合曲面S，其中q1、q2、 、qn 在 曲面S内，qn+1、qn+2、 、qN 在曲面S外。
点是在圆柱外还是在圆柱内，过P点作半径为r、
高为h的同轴圆柱面作为高斯面，如图.
第五章 真空中的静电场
34
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物理学
同一高斯柱面上各点
的电场强度大小处处相等，
方向沿着半径方向，即与
各相应点处面积元dS上的 法线方向一致.
h
R

r •P
通过高斯柱面的电通量
为

Φe
q 通过球面的电场强度通量等于球面 ε0 所包围的电荷除以真空电容率。
第五章 真空中的静电场
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物理学
(2)点电荷在闭合曲面内
S
将包围点电荷q的球面
S
换成任意闭合曲面
+
显然，穿过闭合曲
q
面 和S穿 过球面 的电S
力线条数相等。

Φe
EdS
S
q 通过任意闭合曲面的电场强度通
S
Sθ
θ
en
E
Φe

ES
cos
θ
ES
第五章 真空中的静电场
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物理学
非匀强电场，通过任意曲面S的电场强度通量.
将曲面分割为无限多个面元，称为面积元矢量。
dS
dS

en
电场穿过该面元 的电通量为
dΦe E cosθdS E dS
Oq
s
均匀带电球面在球面外激发的电场强度与把 所带电量集中在球心的一个点电荷所激发的电 场强度一样。
第五章 真空中的静电场
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物理学
均匀带电球面上 任意一点场强？
在球面处（r ）R电
场强度不连续，其 量值在球面处发生 了突变。
O R
q
E
q
4πε0r 2
oR r
E r 关系曲线

q1
0

q2
0


qn
0
qn1

1
0
n
qi
i 1
（因 1 ~ n 电荷在曲面
内，n +1 ~ N 电荷在曲
s qn
qN
q1
qi
q2
qn2
面外）
第五章 真空中的静电场
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物理学
静电场的高 斯定理
Φe
E dS
S
1 ε0
n
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物理学
二、高斯定理
高斯 (C.F.Gauss 17771855）
德国数学家、天文学家和 物理学家，有“数学王子” 美称，他与韦伯制成了第一 台有线电报机和建立了地磁 观测台，高斯还创立了电磁 量的绝对单位制.
第五章 真空中的静电场
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5.3 真空中静电场的高斯定理
3. 在均匀电场
E
3i
2
j中，过
yoz
平面内
面积为S的电通量。 E
y

E
R
O
S
O
x
S1 S2 0
S1 (E π R2 ) 0 S1 E π R2
Z E S
(3i 2 j) Si
3S
第五章 真空中的静电场
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5.3 真空中静电场的高斯定理
1. 三棱柱体放置在如图所示的匀强电场中.求通 过此三棱柱体的电场强度通量.
解
5
Φe Φei i 1
Φe1 Φe2
y
P N
en S1 o
zM
en
E
S2
R
en Q
x
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5.3 真空中静电场的高斯定理
物理学

Φe1
2 电场强度通量
作通电过场该中曲通面过的任电一场曲强面度的通电量场，线的简的称条E数通，量称。
用符号Φ表e 示.
匀强电场，
垂E直平面时.
(en
//
E)
SS
Φe ES
第五章 真空中的静电场
Een E
10
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物理学
匀强电场，E与
e成n 夹角
。θ
物理学
既然电场是由电荷所激发的，那么，通过电
场空间某一给定闭合曲面的电场强度通量与激发
电场的场源电荷必有确定的关系。高斯通过缜密
运算论证了这个关系,这就是著名的高斯定理。
下面以点电荷为例，得出相关结论，而后导出 高斯定理。
例 求下列情况中通过曲面S、S及 S的电场强
度通量：
(1) 点电荷+q位于半径为r 的球面S 的球心处 ；
qi
i 1
对高斯定理的说明
(1) 高斯面：闭合曲面.
(2) 电场强度：面内、外所有电荷的总场强.
(3) 电通量：穿出为正，穿进为负.
(4) 仅面内电荷对电通量有贡献. (5) 静电场：有源场.
第五章 真空中的静电场
26
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物理学
三、高斯定理应用
高斯定理从理论上阐述了电场和电荷的关系，并且 提供了一种由源电荷分布计算电场强度的方法。
qn1
s qn
qN
q1
q2
qi qn2
第五章 真空中的静电场
23
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物理学
根据电场叠加原理


Φe
E dS
S

S (E1 E2
EN ) dS
=0



S E1 dS S E2 dS S En dS S En1 dS S EN dS
ε0
量等于闭合曲面所包围的电荷除 以真空电容率。
第五章 真空中的静电场
21
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物理学
(3)点电荷在闭合曲面外
只有在与闭合曲面相
切的锥体范围内的电场
S
线，才能通过闭合曲面
，而且每一条电场线从 q
闭合曲面某处穿入，必 + 从闭合曲面上的另一处
穿出。

Φe
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5.3 真空中静电场的高斯定理
物理学
一、电场线 电场强度通量
1 电场线
为了形象直观地描述电场强度在空间的分布，在
电场中画一系列曲线，这些曲线称为电场线。


EB •
EC
EA • B C
•A
第五章 真空中的静电场
1
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物理学
电场线规定
(1) 电场线上各点的切线方向表示该点场强的 方向；
解 对称性分析：球对称
高斯面：闭合球面 (1) 均匀带电球面
0 r R
SE dS 0
E 0
第五章 真空中的静电场
O
Rr
S
q
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rR
5.3 真空中静电场的高斯定理
E dS E 4 π r 2
q
S
0
E q 4πε0r 2
方向沿径向向外.
r
第五章 真空中的静电场
31
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5.3 真空中静电场的高斯定理
物理学
rR

E dS E 4 π r 2

q
S
ε0
q
E 4πε0r 2
方向沿径向向外.
均匀带电球体在球面外激发的电场强度与把所 带电量集中在球心的一个点电荷所激发的电场强 度一样。
均匀带电球面与均匀带电球体在球外任一点的 电场强度完全相同！
6
大学
5.3 真空中静电场的高斯定理
物理学
一对不等量异号点电荷的电场线
+ 2q
q-
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5.3 真空中静电场的高斯定理
物理学
带电平行板电容器的电场线 ++++++++++++
------------
第五章 真空中的静电场
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物理学
电场线性质
E dS S


E dS E dS E dS
上底
下底
侧面
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35
i 大qi
0
学
物理学
5.3 真空中静电场的高斯定理
(1) 均匀带电圆柱面
如果P点在带电圆柱面内（r < R），高斯球面
包围的电荷代数和
q. i 0
i
根据高斯定理有 E 2 π rh 0