数学模型_第三版_综合题目答案

n n n 2 , 1 , , n 为奇 2 2 2
(4)衡量赛程优劣的其他指标如 平均相隔场次 相隔场次为 r 记第 i 队第 j 个间隔场次数为 cij , i 1,2, , n, j 1,2, n 2 ,则平均
n n2 1 cij n(n 2) i 1 j 1
r 是赛程整体意义下的指标,它越大越好.可以计算 n =8, n =9 的 r ,并讨论它是否达到上
界. 相隔场次的最大偏差 定义
f Maxi , j | cij r |
g Max | cij (n 2)r |
j 1 n2
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数学模型习题参考解答
f 为整个赛程相隔场次的最大偏差, g 为球队之间相隔场次的最大偏差,它们都是越小
n 3
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
每两场比 赛相隔场 次数
相隔 场次 总数 18 19 19 19 18 17 17 17
A1 A2
× 1 5 9 13 17 21 25
1 × 20 6 23 11 26 16
5 20 × 24 10 27 15 2
9 6 24 × 28 14 3 19
设赛程中某场比赛是 i , j 两队, i 队参加的下一场比赛是 i , k 两队( k ≠ j ),要使各队每 两场比赛最小相隔场次为 r ,则上述两场比赛之间必须有除 i , j , k 以外的 2 r 支球队参赛,于 是 n 2r 3 ,注意到 r 为整数即得 r . 2 (3)用构造性的办法可以证明这个上界是可以达到的,即对任意的 n 编排出达到该上界的 赛程.如对于 n =8, n =9 可以得到:
MIDEL： 1]SETS: 2] 3] PLANE/1..6/：x0,y0; link(plane,plane):alpha,sin2:
4]ENDSETS 5] 6] 7] 8] 9] 10] 11] ); ） ； @FOR(LINK(I,J)|I#NE#J: (@SIN(alpha*3.14159265/180.0))^2=SIN2; @FOR(LINK(I,J)|I#NE#J: sin2(I,J)=64/((X0(I)-X0(J))*(X0(I)-X0(J))+ (Y0(I)-Y0(J))*(Y0(I)-Y0(J)));
越好.可以计算 n =8, n =9 的 f , g ,并讨论它是否达到上界. 参考文献工程数学学报第 20 卷第 5 期 2003 2. 影院座位设计
建立满意度函数 f ( , ) ,可以认为 和 无关, f ( , ) g h , g , h 取尽量 简单的形式, 如 g ( ) ; h( ) 0 ( 30 ), h( ) h0 ( 30 ) .
s.t.
cn u1 u 2 c (u n c)
等价于
Minuk u1 (u 2 c) (u n c) s.t.u1 (u 2 c) (u n c)
a 为常数可得 u1 u 2 c u n c ,即第 2 ~ n 轮加水量 uk u (常数),第 1 轮加水
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数学模型习题参考解答
Min i
i 1
6
s.t.
ij ( i j ) aij , i, j 1,,6, i j
i 30 ,
i 1,,6
1 2
为了利用 LINGO 求解这个数学规划模型， 可以首先采用其他数学软件计算出 ij 和 ij . 其实， ij 和 ij 也是可以直接使用 LINGO 来计算的，这相当于解关于 ij 和 ij 的方程，只 是解方程并非 LINDO 软件的特长， 这里我们作为一个例子， 看看如何利用 LINGO 计算 ij ， 可输入如下模型到 LINGO 求解 ij ：
13 23 10 28 × 4 18 7
17 11 27 24 4 × 8 22
21 26 15 3 18 8 × 12
25 16 2 19 7 22 12 ×
3,3,3,3,3,3 4,4,4,3,2,2 2,4,4,4,3,2 2,2,4,4,4,3 2,2,2,4,4,4 3,2,2,2,4,4 4,3,2,2,2,4 4,4,3,2,2,2
d 2I I(0)=27000,I(7)=32000 等,以及 x 较大时 2 0 .另一种办法是职称、教龄分别对待,工资函 dx
数 J(k,t)从多种函数中选择,如最简单的线性函数 J(k,t)= a k bk t , a k , bk (k=0,1,2,3)根据一定条 件确定. 按照第一种办法得到的新工资方案,以职称和教龄综合指标为 x 的教师的工资都应为 I(x),而人们的目前工资会低于或高于它.根据题目要求,高工资不应降低,低工资则应逐渐提高, 尽快达到理想值 I(x).需要做的只是根据每人(目前)工资与(理想值的)差额,制定学校提供的提 薪资金的分配方案.它应该是简单、合理、容易被人接受的. 按以上原则可以建立不同的模型,应通过检验比较其恶劣.检验可基于题目所给数据,按 照提薪计划运行若干年,考察接近理想方案的情况,即用过渡时期的情况检验模型;也可进行 随机模拟,按照一定规则随机产生数据(可以包括聘用、提职、解聘、退休的人数和时间等), 再按照提薪计划运行,考察接近理想方案的情况. 参考文献：叶其孝， 《大学生数学建模竞赛辅导教材》 （四） ，湖南教育出版社，2001 5. 一个飞行管理问题（1995 年全国大学生数学建模竞赛 A 题） 设 aij 为第 i 架飞机与第 j 架飞机的碰撞角（即 aij arcsin( 8
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数学模型习题参考解答
假设每轮漂洗后污物均匀地溶于水中;每轮脱水后衣物含水量为常数 c . x0 ~初始污水量,
u k ~ 第 k 轮加水量, xk ~第 k 轮脱水量 (k 1,2, , ) .设每轮脱水前后污物在水中的浓度不
变.于是
x 0 x1 x x x x , 1 2 , , n 1 n , u1 c u2 c c u n 1 c c
0 0
(1)可 30 将作为必要条件,以 最大为最佳座位的标准.
0
在上图中以第 1 排座位为坐标原点建立坐标轴 x ,可以得到
arctan
H c x tan H c h x tan H c x tan , arctan arctan xd xd xd
12]DATA: 13] 14] X0=150,85,150,145,130,0; Y0=140,85,155,50,150,0;
15]endata END 计算结果如下：
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数学模型习题参考解答
aij
i=1
量 u1 u c . 令 u cx ,问题简化为
Minn ,u nx
1 s.t. 1 x
其解为 x 0 , 即 u 0 , 而 n . 这与实际上是不合理的 . 应该加上对 u 的限制 :
n
v1 u v 2 .则得 nmin n nmax ,其中
A3
A4
A5 A6 A7 A8
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数学模型习题参考解答
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
每两场比赛相隔场次数
相隔场 次总数
A1 A2
× 36 6 31 11 26 16 21 1
36 × 2 27 7 22 12 17 32
6 2 × 35 15 30 20 25 10
31 27 35 × 3 18 8 13 23
得到
xn cn . x0 u1 (u 2 c)(u n c)
在 最 终 污 物量 与 初 始 污物 量 之 比 x n / x0 小 于 给 定 的 清洁 度 条 件 下 , 求 各 轮 加水 量
Leabharlann Baidu
u k (k 1, , n) ,使总用水量最小,即 Minuk u k
k 1 n
(0 0 ~ 20 0 ) 计算 的平均值,得 20 0 时其值最大.
(3)可设地板线是 x 的二次曲线 ax bx ,寻求 a , b 使 的平均值最大.
2
实际上,还应考虑前排不应挡住后排的视线. 3.节水洗衣机(1996 年全国大学生数学建模竞赛 B 题) 该问题不要求对洗衣机的微观机制(物理、 化学方面)深入研究,只需要从宏观层次去把握. 宏观上洗衣的基本原理是用洗涤剂通过漂洗把吸附在衣物上的污物溶于水中,再脱去污水带 走污物;洗衣的过程是通过“加水——漂洗——脱水”程序的反复运行,使残留在衣物的污物 越来越少,直到满意的程度;洗涤剂也是不希望留在衣物上的东西,可将“污物”定义为衣物上 原有污物与洗涤剂的总和.
28 27 26 25 24 23 22 21 24
A3
A4
A5 A6 A7 A8 A9
可以看到, n =8 时每两场比赛相隔场次数只有 2,3,4, n =9 时每两场比赛相隔场次数只 有 3,4,以上结果可以推广,即 n 为偶数时每两场比赛相隔场次数只有 数时只有
n 3 n 1 , . 2 2
11 7 15 3 × 34 24 29 19
26 22 30 18 34 × 4 9 14
16 12 20 8 24 4 × 33 28
21 17 25 13 29 9 33 × 5
1 32 10 23 19 14 28 5 ×
4,4,4,4,4,4,4, 4,4,4,4,4,4,3 3,3,4,4,4,4,4 4,4,4,4,3,3,3 3,3,3,3,4,4,4 4,4,3,3,3,3 3,3,3,3,3,3,4 3,3,3,3,3,3,3, 3,4,3,4,3,4,3
nmin n nmax , n min 1 这样, n ln(1 v 2 / c)
为有限的几个数,可一一比较,具体数据计算从略. 参考文献:《数学的实践与认识》第 27 卷第 1 期,1997
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数学模型习题参考解答
4.教师工资调整方案(1995 年美国大学生数学建模竞赛 B 题) 题目对职称提升年限表述得不甚清楚(如未提及助理教授的提升),教龄也未区分是什么 职称下工作的年限,所以应该作出一些相应的简化假设.按所给信息,工资仅取决于职称和教 龄.建立新方案的一种办法是将职称折合成教龄,如定义 x=教龄 t+7×k(对于讲师、助理教授、 副 教 授 、 教 授 ,k 分 别 取 值 0,1,2,3), 然 后 寻 求 工 资 函 数 I(x), 使 之 满 足 题 目 的 要 求 , 如
rij
) 其中 rij 为这两架飞机
连线的长度） ， ij 为第 i 架飞机相对于第 j 架飞机的相对速度 （矢量） 与这两架飞机连线 （从 i 指向 j 的矢量）的夹角（以连线矢量为基准，逆时针方向为正，顺时针方向为负） ， i 为第 架飞机飞行方向角调整量. 本问题中的优化目标函数可以有不同的形式： 如使所有飞机的最大调整量最小； 所有飞 机的调整量绝对值之和最小等.以所有飞机的调整量绝对值之和最小，可以得到如下的数学 规划模型：
是 x 的减函数.可得 x ≈1.7m,即第 3(或 4)排处 30 0 .又通过计算或分析可知 也是 x 的
减函数,所以第 3(或 4)排处是最佳座位. (2) 设 定 一 个 座 位 间 隔 l ( 如 0.5m), x 从 0( 或
30 0 处 ) 到 D d 按 l 离 散 , 对 于
数学模型习题参考解答
综合题目参考答案
1. 赛程安排(2002 年全国大学生数学建模竞赛 D 题) (1)用多种方法都能给出一个达到要求的赛程. (2)用多种方法可以证明 n 支球队“各队每两场比赛最小相隔场次 r 的上界”(如 n =5 时 上界为 1)是
n 3 ,如: 2