【新人教A版】高中数学必修五第二章数列2.2等差数列第二课时等差数列的性质课件

(2)四个数成递增等差数列，中间两项的和为 2，首末两项的 积为－8，求这四个数．
[解] (1)设这三个数依次为 a－d，a，a＋d， 则aa－ －dd＋ a＝a＋ 6a＋a＋dd，＝9， 解得ad＝ ＝3－，1. ∴这三个数为 4,3,2.
(2)法一：设这四个数为 a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为 2d)， 依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8， 即 a＝1，a2－9d2＝－8， ∴d2＝1，∴d＝1 或 d＝－1. 又四个数成递增等差数列，所以 d＞0， ∴d＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.
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第二课时 等差数列的性质
一、预习教材·问题导入 预习课本 P39 练习第 4、5 题，思考并完成以下问题
(1)等差数列通项公式的推广形式是什么？ (2)等差数列的运算性质是什么？
二、归纳总结·核心必记
1．等差数列通项公式的推广
通项公式
通项公式的推广
an＝a1＋(n－1)d
an＝am＋_(n_－__m__)_d_
[针对训练]
1．已知{an}为等差数列，若 a1＋a5＋a9＝π，则 cos(a2＋a8)的值为( )
A．－12
B．－
3 2
C．12
D．
3 2
解析：选 A a1＋a5＋a9＝3a5＝π，所以 a5＝π3，而 a2＋a8＝2a5
＝23π，所以 cos(a2＋a8)＝cos 23π＝－12，故选 A.
[类题通法]
本例(1)求解主要用到了等差数列的性质：若 m＋n＝p＋ q，则 am＋an＝ap＋aq.
对于此性质，应注意：必须是两项相加等于两项相加， 否则不一定成立．例如，a15≠a7＋a8，但 a6＋a9＝a7＋a8；a1 ＋a21≠a22，但 a1＋a21＝2a11.
本例(2)应用了等差数列的性质：若{an}，{bn}是等差数列， 则{an＋bn}也是等差数列．灵活运用等差数列的某些性质，可 以提高我们分析、解决数列综合问题的能力，应注意加强这 方面的锻炼．
2．在等差数列{an}中，若 a5＝6，a8＝15，则 a14 等于
A．32
B．33
C．－33
D．29
解析：选 B ∵数列{an}是等差数列，
∴a5，a8，a11，a14 也成等差数列且公差为 9，
∴a14＝6＋9×3＝33.
()
3．在等差数列{an}中，已知 a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则 a2＋a8
3x＋5 的图象的斜率相等
()
解析：(1)错误．如－2，－1,0,1,2 是等差数列，但其绝对值就不 是等差数列． (2)错误．如数列－1,2，－3,4，－5 其绝对值为等差数列，但其 本身不是等差数列． (3)正确．根据等差数列的通项可判定对任意 n∈N*，都有 2an＋1 ＝an＋an＋2 成立． (4)正确．因为 an＝3n＋5 的公差 d＝3，而直线 y＝3x＋5 的斜率 也是 3. 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√
(揭示首末两项的关系) (揭示任意两项之间的关系)
2．等差数列的性质
若{an}是公差为 d 的等差数列，正整数 m，n，p，q 满足 m ＋n＝p＋q，则 am＋an＝_a_p_＋__a_q_.
(1)特别地，当 m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am＋an＝ 2ak . (2)对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首 末两项的和，即 a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…. (3)若{an}是公差为 d 的等差数列，则 ①{c＋an}(c 为任一常数)是公差为 d 的等差数列； ②{can}(c 为任一常数)是公差为 cd 的等差数列； ③{an＋an＋k}(k 为常数，k∈N*)是公差为 2d 的等差数列． (4)若{an}，{bn}分别是公差为 d1，d2 的等差数列，则数列{pan ＋qbn}(p，q 是常数)是公差为pd1＋qd2 的等差数列．
三、基本技能·素养培优
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若{an}是等差数列，则{|an|}也是等差数列
பைடு நூலகம்
()
(2)若{|an|}是等差数列，则{an}也是等差数列
()
(3)若{an}是等差数列，则对任意 n∈N*都有 2an＋1＝an＋an＋2( )
(4)数列{an}的通项公式为 an＝3n＋5，则数列{an}的公差与函数 y＝
考点一 等差数列的性质应用
[典例] (1)已知等差数列{an}中，a2＋a4＝6，则 a1＋a2＋a3＋
a4＋a5＝
()
A．30
B．15
C．5 6
D．10 6
(2)设{an}，{bn}都是等差数列，且 a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，
则 a37＋b37＝
()
A．0
B．37
C．100
D．－37
2．在等差数列{an}中，已知 a3＋a8＝10，则 3a5＋a7＝
A．10
B．18
()
C．20
D．28
解析：选 C 由等差数列的性质得：3a5＋a7＝2a5＋(a5＋a7)
＝2a5＋(2a6)＝2(a5＋a6)＝2(a3＋a8)＝20，故选 C.
考点二 灵活设元求解等差数列
[典例] (1)三个数成等差数列，其和为 9，前两项之积为后一 项的 6 倍，求这三个数．
＝
()
A．90
B．270
C．180
D．360
解析：选 C 因为 a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450， 所以 a5＝90，所以 a2＋a8＝2a5＝2×90＝180.
4．在等差数列{an}中，已知 a2＋2a8＋a14＝120，则 2a9－a10 的值为 ________． 解析：∵a2＋a14＝2a8，∴a2＋2a8＋a14＝4a8＝120，∴a8＝30. ∴2a9－a10＝(a8＋a10)－a10＝a8＝30. 答案：30
[解析] (1)∵数列{an}为等差数列， ∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝(a1＋a5)＋(a2＋a4)＋a3＝52(a2＋a4)＝52 ×6＝15. (2)设 cn＝an＋bn，由于{an}，{bn}都是等差数列， 则{cn}也是等差数列，且 c1＝a1＋b1＝25＋75＝100， c2＝a2＋b2＝100， ∴{cn}的公差 d＝c2－c1＝0. ∴c37＝100，即 a37＋b37＝100. [答案] (1)B (2)C