初中数学 一模 专题研究 四边形综合

第四讲：四边形综合

考点说明

四边形是中考必考的固定题型，主要考查四边形的性质，直角三角形、勾股定理以、锐角三角函数及相似三角形等知识；添加辅助线构造直角三角形是主要的解题思路。近两年难度有增大的趋势，因此要求考生对图形要有更直观的认识．

方法点拨

一、梯形类问题

题型说明：在解决此类问题时，需要注意“梯形”的辅助线做法；如何添加辅助线构造直角三角形．

梯形常见辅助线做法：

二、平行四边形类问题

题型说明：本类题型主要考察平行四边形的性质，特别是对角线的性质；此外对周长、面积的考查也是重点．对于矩形的考查，特别要注意利用勾股定理来解决问题．

三、一般四边形问题

题型说明：对于一般四边形问题，要注意做垂线构造特殊的直角三角形，利用勾股定理及锐角三角函数来求解问题．

【真题1】（2013年北京中考题）如图，在平行四边形ABCD 中，F 是AD 的中点，延长BC 到点E ，

使1

2

CE BC =

，连结DE ，CF 。 （1）求证：四边形CEDF 是平行四边形；

（2）若4660AB AD B ==∠=︒，，，求DE 的长．

B

F D

E

C

A

【真题2】（2012年北京中考题）如图，在四边形ABCD 中，对角线AC BD ，交于点E ，

9045302BAC CED DCE DE ∠=︒∠=︒∠=︒=，，，，22BE =．

求CD 的长和四边形ABCD 的面积．

E

D

C

B

A

【真题3】（2011年北京中考题）如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，D 是BC 的中点，DE BC ⊥，

CE AD ∥．若24AC CE ==，，求四边形ACEB 的周长．

E

D

C

B

A

真题链接

题型一：梯形类

【例1】如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，90A ∠=︒，2BC =，15ABD ∠=︒，60C ∠=︒．

(1) 求BDC ∠的度数； (2) 求AB 的长．

D

C

B A

【例2】如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，5BC =，3AD =，对角线AC BD ⊥，且30DBC ∠=︒，求

梯形ABCD 的高．

D

C

B A

【例3】已知：如图，直角梯形ABCD 中，9060BCD CDA AB AD ∠=︒∠=︒=，，,4,2AB DF ==，

求BF 的长．

E

F

C

D

B

A

例题精讲

【例4】如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，5AD BC ==，10AB =，4CD =，连结并延长BD 到E ，

使DE BD =，作EF AB ⊥，交BA 的延长线于点F ． （1）求tan ABD ∠的值； （2）求AF 的长．

F

E

D

C

B

A

【例5】已知：如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，90B ∠=︒，4AD AB ==，7BC =，点E 在BC 边上，

将CDE ∆沿DE 折叠，点C 恰好落在AB 边上的点'C 处． （1）求'C DE ∠的度数； （2）求'C DE ∆的面积．

C 'E

D

C

B

A

题型二：平行四边形类

【例6】如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 分别作AE BC ⊥于点E ，AF CD ⊥于点F ．

（1）求证：BAE DAF ∠=∠；

（2）若4AE =，

245AF =，3

sin 5BAE ∠=，求CF 的长．

F

E

D

C

B A

【例7】如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 在BD 的延长线上，且EAC

∆是等边三角形，若8AC =，5AB =，求ED 的长．

O D

【例8】如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AB AC ⊥，2AB =，且

:23AC BD =：．

(1) 求AC 的长；

(2) 求AOD ∆△AOD 的面积．

O

D

C

B

A

【例9】已知：如图，在菱形ABCD 中，F 为边BC 的中点，DF 与对角线AC 交于点M ，过M 作

ME CD ⊥于点E .

(1）求证：2AB CM =；

（2）若12∠=∠，23CD =ME 的值.

2

1

M

B

E F

D

【例10】如图，四边形ABCD 是矩形，点E 在线段CB 的延长线上，连接DE 交AB 于点F ，

2AED CED ∠=∠，点G 是DF 的中点．

（1）求证：CED DAG ∠=∠；

（2）若1BE =，4AG =，求sin AEB ∠的值．

G

E

F

C

D

B

A

题型三：一般四边形类

【例11】已知：如图，四边形ABCD 中，135ABC ∠=︒，120BCD ∠=︒，6AB 53BC =6CD =，

求AD 的长．

D

C

B

A

【例12】如图，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，CE AB ⊥于E ．设34CD CB =9AD =，

15AB =．

求B ∠的余弦值及AC 的长．

E D

C

B

A