平方根和开平方(上)

12.2平方根和开平方（1）

教学目标

1．理解平方根产生的背景和平方根的概念及其符号表示；

2．知道正平方根与平方根的区别，理解正数的两平方根之间的关系及实数范围内负数没有平方根；

3．会根据平方根、开平方的意义和运算性质求完全平方数的平方根. 教学重点及难点

理解开平方和平方运算的互逆关系，运用平方根的运算性质求完全平方数的平方根.

教学过程设计

一、问题导入

1．小丽家有一张方桌，桌面是面积为64平方分米的正方形，这个正方形桌面的边长是多少？

2．解答：设正方形桌面的边长为x分米，则可得：x2=64，因为x>0，所以x=8.

3．思考：上述问题可以归结为“已知一个数的平方,求这个数”.在解决问题时，我们联想到了哪一种运算？

二、学习新课

1、概念辨析：

（1）已知一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根，即x2=a，我们把x叫做a的平方根，a叫做被开方数.

（2）求一个数a 的平方根的运算叫做开平方运算.

【强调】 平方运算和开平方运算互为逆运算.

2．例题分析：

求下列各数的平方根，并根据你的解答过程总结：正数、0、负数的平方根有什么不同？

（1） 0.16; （2） -25

9; （3） 0. 解：因为（±0.4）2=0.16，所以0.16的平方根是±0.4.

因为不存在一个实数的平方根为-259，所以-25

9无平方根. 因为02=0，所以0的平方根为0.

3．性质归纳：

（1）因为任何一个实数的平方都是非负的，所以负数没有平方根；

（2）因为任何一对非零相反数的平方都是同一个正数，因此正数a 有2个不同的平方根，记作“±a ”，它们互为相反数，其中“a ”表示正的平方根（也可以称算术平方根），读作“根号a ”.

（3）．因为0的平方等于0，所以0的平方根就是0，即：±0=0.

【说明】“a ”是一个数学符号，其意义是：非负数a 的算术．．

平方根，同时它也表示一个数，这个数的平方等于a ，即（a ）2=a.

三．问题拓展

思考1：由以下计算你能否发现并总结某些规律？

（1）2)3(-的意义是什么？ 2)3(-=？

（2）2)3(的意义是什么？ 2)3(=？

（3）2)3(-的意义是什么？ 2)3(-=？

（4）2)3(-的意义是什么？ 2)3(-=？

（5） 计算：2)31(=______ 2)3

1(-=______ 2)7(=_______

2)7(-=______ 210-=_______ 2)10(--=______. 2．规律总结：

（1）．2a 表示a 2的正平方根，因为a 2≥0，所以2a =∣a |∣.

（2）．2)a (表示数a 的正平方根的平方，根据平方根的意义，这里的a ≥0，且2)a (=a ；

2)a (-表示数a 的负平方根的平方，根据平方根的意义，必有a ≥0，且2)a (-=a ；

综上所述，（±

a ）2=a.

四、巩固练习 1．下列等式是否正确？不正确的请说明理由并加以改正.

（1）49-=-7; （2）2)2(-=2; （3）-2)5(-=5; （4）81=±9

2．求下列各数的正的平方根：

（1） 225； （2）0.0001； （3） 121

9. 3．若2m-5与4m-9是同一个数的平方根，求m 的值.

【说明】

练习3对“同一个数的平方根”需要进行分类讨论：一种情况是2m-5与4m-9是一个数的两个相反的平方根；另一种情况是2m-5与4m-9是一个数的同一个平方根.

五、课堂小结

1．平方根的意义是什么？平方根的性质是什么？

2．开平方运算与平方运算有怎样的关系？

3、求完全平方数的平方根时要把被开方数做怎样的变形？

六、作业布置

1 . 课本和练习册上的练习

2 . 复习所学的知识

3 . 预习新课