数列是特殊的函数

数列是特殊的函数

董海涛

安徽省阜阳市第三中学（236006）

（作者简介：董海涛（1970---），男，中学高级教师，安徽省特级教师.研究方向：高中数学教学.获安徽省“高中数学骨干教师”，阜阳市首届“百名名师”，阜阳市“首届高中数学学科带头人”称号.曾在《中学数学教学参考》（上半月）、《数学教学》、《数学通报》、《数学通讯》（教师刊）、《中国数学教育》、《中小学数学》（高中）、《中学数学》、《中学数学教学》、《中学数学杂志》、《数学教学通讯》、《中学数学研究》等刊物发表论文50多篇.）

摘要：学习数列，不能离开函数思想方法的指导，因为数列是特殊的函数；但在数列的学习中，也不能将自变量离散变化的数列完全等同于自变量连续变化的函数，毕竟，数列是特殊的函数.

关键词:数列，等差数列，等比数列，函数

近日，参加市教研室“入班落实教研”活动，有幸零距离接触到各级示范高中老师们的课堂实践，虽然大家进度不一，但所授内容都是北京师范大学出版社《普通高中课程标准实验教科书·数学（必修五）数列》部分（以下简称教材）.活动结束后，笔者感到问题严重，现状堪忧！

一、调研的现状

因为是一次教学诊断活动，也是为了能掌握教学一线的真实情况，本次活动事前不打招呼，直接入班听课，所以比较真实地了解到目前高中老师对数列的理解和教学处理.

1.对概念教学的认识有了进步，对概念生成和公式推导不再“重

结论轻过程”了，这是一个可喜的变化.

2.对推出的通项公式a n、前n项和公式s n的分析，普遍存在“只顾方程不及函数”的低纬度认识，强调求解a1,a n,s n,n,q时“知三求二”的方程思想，但无言顾及与函数的联系.

3.对数列中的具体结论和技巧热情高涨，补充了大量的具体性质，而忽视通性通法在解题中的重要作用.

4.对两个特殊数列求和的认识缺乏高度，普遍存在重技巧轻本质的现象.

5.过于强调数列的函数性，而忽视作为特殊函数的数列的离散性，这又从一个极端走向了另一个极端.

数列作为函数内容的延续，我们该如何在整体上把握这块内容？这取决于我们在宏观上如何认识数列！

二、从函数的高度认识数列

函数是中学数学的核心内容和核心概念，而作为离散型函数的数列，其地位与作用无需赘言.

1.教材对数列的函数性反复强调

数列是特殊的函数，这一点大家耳熟能详，而且教材用了大量的篇幅强调这一点.首先，教材在第一节《数列的概念》中特别说明：“数列也可以看作定义域为正整数集N+(或它的有限子集)的函数，当自变量从小到大依次取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列……，数列的通项公式就是相应函数的解析式”；其次，教材专门在第1.2节《数列的函数特征》中浓墨重彩地加以描述，最后，在等

差数列中，教材又不惜笔墨地加以强调“下面我们从函数的角度研究等差数列”.教材的例题、习题选取，边框的思考、探究设置页无时不在地刻意引导用函数的观点看数列，在“本章小结建议”中还特意提醒：“体会等差数列及等比数列与一次函数、指数函数的关系”，“本章哪些地方体现了函数思想”.教材对数列函数性的反复强调，是否引起了一线教师的高度重视了呢？

2.教学实践中对数列的函数性关注不够

入班教研时，我们不幸地发现，老师们只是在相关章节的教学中，注意了有关知识，但在以后的教学中似乎完全忘记了从函数的角度研究数列.对等差数列和等比数列的通项公式a n 和前n 项和公式s n 的认识，只强调解题时“知三求二”的方程思想（这当然是对的），但忽视了数列的函数特性.

如在某省级示范高中听课时，一位老师使用了下面这道例题： “在等差数列{}n a 中，10a >，9109100,0a a a a <+>，求使S n >0的最

大的n 的值”.经过师生共同分析，首先得出了9100,0a a ><，d ＜0,且910

a a >.由9100a a +>，求出1811899()9()0s a a a a =+=+>,再191191019()1902

s a a a =+=< 应该说，这位老师对等差数列的性质很关注，应

用得也很纯熟.但纵观整个解题过程，

之笔？是不是缺失了数学的味道？如果注9100,0a a ><,d ＜0,所以S 9最大，又9100a a +>

s

10s 8.做出s n 对应的二次函数图像，如右图.设抛物线的对称轴为

0x x =，则099.5x <<，所以018219x <<，即1819A x <<,因此使S n 0的

最大的n 的值是18. 这样的解题，无论是意境还是内涵，是不是有所提升呢？

3.等差数列与一次、二次函数的联系 等差数列的通项公式a n =a 1+(n-1)d ，可以变形为a n =dn ＋

（a 1-d ）=dn+b,从中可以看出：当d ≠0时，等差数列是关于n 的一

次函数，所以等差数列的通项a n 的图象是均匀地分布在直线上的点，

根据两点确定一条直线，也就很容易理解为什么已知等差数列的任意两项，可确定一个等差数列了. 同样道理，等差数列

前n 项和公式S n ＝na 1+d n n 2)1(-，可以变形为S n =122()22d

d n a n An Bn +-=+,当d ≠0时，S n 是关于n 的常数项

为0的二次函数,于是可以利用二次函数的观点和方法解决“求等差数列前n 项的和”的有关问题，特别是求S n 的增减变化，最大（小）

值问题时，更要联想到S n 的二次函数性.

4.等比数列与指数型函数的联系 在等比数列中，通项公式a n =a 1q n-1=n q a q 1=kq n (a 1≠0，q ≠0), 因此a n 是关于n 的指数型函数；其前n 项和S n ＝111(1)(1)111

n n n a q a a q mq m q q q q -=-=-≠---，所以S n 是关于n 的指数型函数，因此，在解决等比数列的有关问题时，应注意结合指数函数的有关性质.