第四章固有特性近似计算

kk k k
1
2
3
m mm m
1
2
3
解：在例4.1中已经求出：
m 0 0
M
0
m0
0 0 m
1 1 1
d
1 k
1 1
2 2
2 3
1 1 1
则：d
Байду номын сангаас
M
m k
1 1
2 2
2 3
其迹为： trdM6m
k
矩阵迹 的表示
符号
故：w12 trδ1M0.16m k7
实际
w2 1
0.198k m
例4.式3 中已E知J为一梁均的匀抗悬弯臂刚梁度的，第M一为阶梁固的有质频量率，lW为1梁长3。.515
4.1 瑞利（Rayleigh）能量法
结论：若假设的{A}接近于第一阶主振型{A(1)}，由瑞利能量法
计算出来的w2确实接近于第一阶固有频率的平方值w12，而且比 实际值大（此即所谓的上限估值）。 证明如下：
对于n自由度系统存在n个特征值 wi2， 对应有n个特征矢量 {AN (i)}(设已经正则化），它们是相互线性独立的，可以构成n维
w2 RA0.21k4 w2 RA0.20k0
I
m
II
m
第三个假设振型{A}=[3 5 6]T ：相当在各质量上沿坐
标方向同时作用一单位力时三个质量的静态位移的相对
值。
w2 RA0.20k0 w2 RA0.19k8
I
m
II
m
实际振型{A(1)}=[0.455 0.801 1.000]T
实际 w2 0.198k 第三种假设振型与实际最接近，其第二瑞
1
m 利商与第一阶固有频率的平方最接近。
4.2 邓克利（Dunkerley）法
瑞利能量法给出了系统最低阶固有频率的上限估值。
邓克利法将给出系统最低阶固有频率的下限估值。
d n自由度系统的自由振动位移方程： X M X 0
设解为：
将其代入振动位移方程，并以w2除全式，得振型方程：
其特征方程为： w I2dMA0
EJ Ml3
设想系统只有一个质量mi存在，则成为单自由度系统，
其刚度为：
设这种假想的系统的固有频率为Wi，则有：
故，有：
4.2 邓克利（Dunkerley）法
系统最低阶固有频率的平方值w12的倒数，近似地等于
各质量mi（i=1，2，…，n）单独存在时所得各固有频率平
方值Wi2的倒数的和。
由于上式的左边舍去了一些正数项，由此求出1/w12的比实
A TM A 3m ATkAk
ATMdMA1m 42
k
w2A A T TM K A A R IA 0.3
3k3 m
w2A T A M T M δ M A A R IIA 0 .21 m k4
若取 {A}=[1 2 3]T, 可求得：
w2
RIA0.2
k 14
m
w2 RIIA0.20m k0
若取 {A}=[3 5 6]T, 可求得：
4.1 瑞利（Rayleigh）能量法
结论：若假设的{A}接
近于第一阶主振型
{A(1)}，由瑞利能量法
计算出来的w2确实接近 于第一阶固有频率的平 方值w12，而且比实际 值大（此即所谓的上限 估值）。
4.1 瑞利（Rayleigh）能量法
瑞利能量法也可用于由柔度矩阵[d]建立系统运动方程的情况：
4.2 邓克利（Dunkerley）法
特征方程：
当系统的质量矩阵[M]为对角阵时：
特征方程变为： 即：
展开得：
4.2 邓克利（Dunkerley）法
特征方程展 开后得
等式左边：考虑到系统的固有频率：
将各阶固有频 率代入特征方
程并相加得
则近似地只保留第一项1/w12。 等式右边：
是第i个质量处作用单位力时，系统在该处的柔度系数。
第四章 多自由度系统固有特性的近似计算
多自由度系统固有频率与主振型的计算是振动分析中 的最重要和最基本的计算。
当自由度数较大时，求解计算的工作量较大；
工程上可能只需求出较低阶的若干固有频率与主振型。
固有特性的近似计算方法：
瑞利能量法； 邓克利法； 李兹法； 矩阵迭代法； 子空间迭代法；(略) 传递矩阵法。
w2
RIA0.2
0k0 m
w2
RIIA0.1
9k8 m
第一个假设振型{A}=[1 1 1]T ：相当在质量m1上沿坐标
方向作用一单位力时三个质量的静态位移的相对值。
w2 RA0.33k3
I
m
w2 RA0.21k4
II
m
第二个假设振型{A}=[1 2 3]T ：相当在质量m3上沿坐
标方向作用一单位力时三个质量的静态位移的相对值。
际值偏大，即w12比实际值偏小，因此，用邓克利法将给出系统
最低阶固有频率的下限估值。 上式右边所有各项的和实际上是特征方程
w I2dM0
这里：n阶方 阵主对角线上 元素之和称为 矩阵的迹。
第二个矩阵的迹，故邓克利法又叫迹法。
邓克利法也适用质量矩阵为非对角阵的情况，只是对应矩阵迹的计算复杂些。
例4.2 用邓克利法估算例3.5中系统的第一阶固有频率。
A (i)TM A (j) 0
A (i) N
TkA N (i)
ω i2
A (i)TKA (j) 0
上限 估值
结论：若假设
的{A}接近于
第一阶主振型
{A(1)}，由瑞
利能量法计算 出来的w2确实 接近于第一阶 固有频率的平 方值w12，而且 比实际值大 （此即所谓的 上限估值）。
线性空间的一个完备基。任何一个假设振型{A}都可以表示为n个正
则振型{AN (i)}的线性组合：
其中c1，c2，…，cn为比例因子，表示相应主振型在假设振型中所 占比例的大小。
若假设的{A}接近于第一阶主振型{A(1)}，则有：
4.1 瑞利（Rayleigh）能量法
假 设
A N (i)TM A N (i) 1
k1k2k3k m1 m 2 m3 m
求此系统的固有频率和主振型。
解：前面已经算出系统的质量矩阵和刚度矩阵：
m 0 0
M
0
m0
0 0 m
2k k 0
K k 2k k
0 k k
1 1 1
柔度矩阵为：d
1 k
1
2
2
1 2 3
4.1 瑞利（Rayleigh）能量法
不妨先粗糙地取假设振型{A}=[1 1 1]T,由此假设振型可求得：
X dM X 0 X dM X
代入
dK1
得：
将
两次导数代入上式，得：
又因：
4.1 瑞利（Rayleigh）能量法
同样可以证明：对于同一假设振型{A},总存在有：
即用第二瑞利商算出的固有 频率比用第一瑞利商算出的 更接近真值。
例4.1 在如图（例3.5）所示的三自由度系统，