优质课件：对数的运算
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4.3.2对数的运算PPT课件(人教版)
请看课本P126：练习3
小结：1.积、商、幂的对数运算性质
如果 a > 0，a 1，M > 0，N > 0，那么：
(1)loga (MN ) loga M loga N
(2) loga
M N
loga M
loga N
(3)loga M n nloga M (n R)
思考：性质(1)是否可以推广到n个数的情形?
(1) log3 (27 92 ) log3[33 (32 )2 ]
log3[33 34 ] log3 37 7
（2）lg 5 lg 2 lg(5 2) lg10 1
（3）log 5
3 log5
1 3
log
5
(3
1) 3
log5 1
0
（4）log
3
5
log
3
15
log
3
5 15
log3 31 1
积、商、幂的对数运算性质： 如果a>0，a1，M>0，N>0，那么：
(1)loga (MN ) loga M loga N
M (2) loga N loga M loga N
(3)loga M n nloga M (n R)
请看课本P126：练习2
2.用lg x, lg y, lg z表示下列各式：
logc a x logc a
x logc a logc a
x
loga b
即证得
log
ab
logc logc
b a
－－－这就是对数里很重要的一个公式：换底公式
换底公式:
loga
b
logc logc
b a
4.3.2对数的运算课件(人教版)
对数的定义： loga N b ab N (a 0,且a 1, N 0) .
n
指数幂的运算性质： am an amn; am an amn ； am n amn; m an am .
在上一课中，我们知道，对数式可看作指数运算的逆运算， 你能从指数与对数的关系以及指数幂的运算性质， 得出相应的对数的运算性质吗?
N
b
a n an， N b，即loga M n n loga M.
探究二 对数换底公式
当a 0,且a 1,b 0时，若 ax b ①，则 loga b x ②.
在①的两边取以 c(c 0, 且c 1) 为底的对数，则 logc ax logc b ， 即 x logc a logc b ，
log5 5
3 4
log8 8
，
3
3
log553 log53 而 log884 log85 ，log53 log85，
即 a b ； 55 84 ，5 4log58，log58 1.25，b log85 0.8 ，
134 85 ，4 5log138 ，c log138 0.8 ， c b ， 综上， c b a .故选：A.
第 四 章 指数函数与对数函数
4.3.2 对数的运算
学习目标
通过指数幂的运算性质推导出对数的运算性质. 掌握对数换底公式，能够用换底公式简化问题.
准备好了吗？一起去探索吧！
对数运算性质及其推导过程. 换底公式及其应用.
换底公式的灵活运用.
难点
重点
导入
首先大家先复习对数的定义及指数幂的运算性质.
xy
√A.2
B.1
C. 1
2
D. 3
2
由题意可知 4x 6 ， 9y 6 ，即 x log4 6 ， y log9 6 ，
n
指数幂的运算性质： am an amn; am an amn ； am n amn; m an am .
在上一课中，我们知道，对数式可看作指数运算的逆运算， 你能从指数与对数的关系以及指数幂的运算性质， 得出相应的对数的运算性质吗?
N
b
a n an， N b，即loga M n n loga M.
探究二 对数换底公式
当a 0,且a 1,b 0时，若 ax b ①，则 loga b x ②.
在①的两边取以 c(c 0, 且c 1) 为底的对数，则 logc ax logc b ， 即 x logc a logc b ，
log5 5
3 4
log8 8
，
3
3
log553 log53 而 log884 log85 ，log53 log85，
即 a b ； 55 84 ，5 4log58，log58 1.25，b log85 0.8 ，
134 85 ，4 5log138 ，c log138 0.8 ， c b ， 综上， c b a .故选：A.
第 四 章 指数函数与对数函数
4.3.2 对数的运算
学习目标
通过指数幂的运算性质推导出对数的运算性质. 掌握对数换底公式，能够用换底公式简化问题.
准备好了吗？一起去探索吧！
对数运算性质及其推导过程. 换底公式及其应用.
换底公式的灵活运用.
难点
重点
导入
首先大家先复习对数的定义及指数幂的运算性质.
xy
√A.2
B.1
C. 1
2
D. 3
2
由题意可知 4x 6 ， 9y 6 ，即 x log4 6 ， y log9 6 ，
4.3.2 对数的运算 课件(共13张PPT) 高一数学人教A版(2019)必修第一册
3.对数的运算性质(1)可以推广到若干个正因数积的对数，即以下式子成立： loga (M1 M 2 M3 M k ) loga M1 loga M 2 loga M3 loga M k . (标
新课讲授
课堂总结
例1 求下列各式的值. （1）lg5 100;
(2)原式 (lg 2 lg 2)( lg 3 lg 3)
lg 3 lg 9 lg 4 lg 8
(lg 2 lg 2 )( lg 3 lg 3 ) lg 3 2 lg 3 2 lg 2 3lg 2
3lg 2 5lg 3 5 2 lg 3 6 lg 2 4
学习目标
新课讲授
课堂总结
总结归纳
1.在化简带有对数的表达式时，若对数的底不同，需利用换底公式;
2.常用的公式有：
log a
b logb
a
1，logan
bm
m n
loga
b,
loga
b
1 logb
a
等.
学习目标
新课讲授
课堂总结
练一练
已知log189＝a,18b＝5，试用a，b表示log3645.
解：∵log189＝a,18b＝5，
（2）log2(47 25)
解：(1) lg5
1
100 lg1005
1 lg100 2 ;
5
5
(2) log2(47 25) log2 47 log2 25 7 log2 4 5log2 2 7log2 22 5 725
19
学习目标
新课讲授
课堂总结
例2 用 ln x, ln y, ln z 表示 ln x2 y 3z
4.3.2 对数的运算
学习目标
新课讲授
课堂总结
例1 求下列各式的值. （1）lg5 100;
(2)原式 (lg 2 lg 2)( lg 3 lg 3)
lg 3 lg 9 lg 4 lg 8
(lg 2 lg 2 )( lg 3 lg 3 ) lg 3 2 lg 3 2 lg 2 3lg 2
3lg 2 5lg 3 5 2 lg 3 6 lg 2 4
学习目标
新课讲授
课堂总结
总结归纳
1.在化简带有对数的表达式时，若对数的底不同，需利用换底公式;
2.常用的公式有：
log a
b logb
a
1，logan
bm
m n
loga
b,
loga
b
1 logb
a
等.
学习目标
新课讲授
课堂总结
练一练
已知log189＝a,18b＝5，试用a，b表示log3645.
解：∵log189＝a,18b＝5，
（2）log2(47 25)
解：(1) lg5
1
100 lg1005
1 lg100 2 ;
5
5
(2) log2(47 25) log2 47 log2 25 7 log2 4 5log2 2 7log2 22 5 725
19
学习目标
新课讲授
课堂总结
例2 用 ln x, ln y, ln z 表示 ln x2 y 3z
4.3.2 对数的运算
学习目标
4.3.2对数的运算课件(人教版)
M log a M
(2).log a
N log a N
(3).log a ( MN ) log a M log a N
(4).log a M (log a M )
n
n
范例应用
1．计算log510－log52等于(
)A．log58 B．lg 5C．1
D．2
C
解析：log510－log52＝log55＝1.
＋lg 5)＋(lg 2)2
＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2
＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.
范例应用
解：
(3)原式=
1.8
21.8
1
=
2
（2+9−10）
1
2
1.8
=
18
10
21.8
=
范例应用
1．利用对数性质求值的解题关键是化
异为同，先使各项底数相同，再找真数间
范例应用
2．log23·log32＝
________.
解析：
log23·log32＝1.
范例应用
1
32
计算下列各式的值：(1) −
2
49
4
8 + 245
3
2
(2)5 +
2
8
3
+ 5 ∙ 20 + 2
2+3− 10
(3)
1.8
2
范例应用
解：
7
5
(2)
lg 5 100 .
讲授新知
探究
你能根据对数的定义推导出下面
的换底公式吗？
log c b
a 0, 且a 1; c 0, 且c 1; b 0.
(2).log a
N log a N
(3).log a ( MN ) log a M log a N
(4).log a M (log a M )
n
n
范例应用
1．计算log510－log52等于(
)A．log58 B．lg 5C．1
D．2
C
解析：log510－log52＝log55＝1.
＋lg 5)＋(lg 2)2
＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2
＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.
范例应用
解：
(3)原式=
1.8
21.8
1
=
2
（2+9−10）
1
2
1.8
=
18
10
21.8
=
范例应用
1．利用对数性质求值的解题关键是化
异为同，先使各项底数相同，再找真数间
范例应用
2．log23·log32＝
________.
解析：
log23·log32＝1.
范例应用
1
32
计算下列各式的值：(1) −
2
49
4
8 + 245
3
2
(2)5 +
2
8
3
+ 5 ∙ 20 + 2
2+3− 10
(3)
1.8
2
范例应用
解：
7
5
(2)
lg 5 100 .
讲授新知
探究
你能根据对数的定义推导出下面
的换底公式吗？
log c b
a 0, 且a 1; c 0, 且c 1; b 0.
对数的运算性质公开课课件
对数的运算性质公开课PPT课 件
汇报人:
2023-12-20
目ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
CONTENCT
录
• 对数的基本概念与性质 • 对数的运算法则 • 对数在数学中的应用 • 对数在生活中的实际应用 • 对数的运算技巧与注意事项 • 总结与回顾
01
对数的基本概念与性质
对数的定义及表示方法
定义
如果$a^x=N（a>0，且a≠1）$，那么数$x$叫做以$a$为底$N$ 的对数，记作$x=\log_aN$，读作以$a$为底$N$的对数，其中 $a$叫做对数的底数，$N$叫做真数。
分离常数项
将对数表达式中的常数项分离出来，以便进行后续的运算 。
对数的换底公式应用
换底公式的引入
介绍换底公式的基本原理和推导过程，说明其在解决对数运 算问题中的重要性。
换底公式的应用举例
通过具体实例，展示如何利用换底公式将对数表达式转换为 以其他数为底的对数形式，从而简化运算过程。
避免运算错误的方法
03
对数在连续复利计算中的应用
通过对连续复利公式中的指数部分进行对数运算，简化计算过程并求得
最终收益。
05
对数的运算技巧与注意事项
对数的化简技巧
利用对数的性质进行化简
使用对数的乘法、除法、指数和换底等性质，将复杂的对 数表达式化简为简单的形式。
合并同类项
将对数表达式中的同类项进行合并，减少运算的复杂性。
等式证明
通过对数运算性质，可以将等式两边的表达式进行化简和整理，从而证明等式成 立。
04
对数在生活中的实际应用
地震震级与里氏震级的关系
地震震级定义
对数在震级计算中的应用
衡量地震释放能量的大小，常用里氏 震级表示。
汇报人:
2023-12-20
目ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
CONTENCT
录
• 对数的基本概念与性质 • 对数的运算法则 • 对数在数学中的应用 • 对数在生活中的实际应用 • 对数的运算技巧与注意事项 • 总结与回顾
01
对数的基本概念与性质
对数的定义及表示方法
定义
如果$a^x=N（a>0，且a≠1）$，那么数$x$叫做以$a$为底$N$ 的对数，记作$x=\log_aN$，读作以$a$为底$N$的对数，其中 $a$叫做对数的底数，$N$叫做真数。
分离常数项
将对数表达式中的常数项分离出来，以便进行后续的运算 。
对数的换底公式应用
换底公式的引入
介绍换底公式的基本原理和推导过程，说明其在解决对数运 算问题中的重要性。
换底公式的应用举例
通过具体实例，展示如何利用换底公式将对数表达式转换为 以其他数为底的对数形式，从而简化运算过程。
避免运算错误的方法
03
对数在连续复利计算中的应用
通过对连续复利公式中的指数部分进行对数运算，简化计算过程并求得
最终收益。
05
对数的运算技巧与注意事项
对数的化简技巧
利用对数的性质进行化简
使用对数的乘法、除法、指数和换底等性质，将复杂的对 数表达式化简为简单的形式。
合并同类项
将对数表达式中的同类项进行合并，减少运算的复杂性。
等式证明
通过对数运算性质，可以将等式两边的表达式进行化简和整理，从而证明等式成 立。
04
对数在生活中的实际应用
地震震级与里氏震级的关系
地震震级定义
对数在震级计算中的应用
衡量地震释放能量的大小，常用里氏 震级表示。
4.3.2对数的运算 课件(共24张PPT)
∴log ( ) = log
− log
练习
练习
练习
对数的运算法则-数乘公式
n个M相乘
log = log ( × × ⋯ … × ）
n个log 相加
= log + log + ⋯ … + log
= log
练习
常用对数与自然对数
对数的基本运算
a＞0且 ≠ 1，log 1 = 0
a＞0且≠1，log = 1
a＞0且≠1，log = x
ln = 1
lg 10 = 1
ln 1 = 0
lg 1 = 0
对数恒等式
log
=
令 =
log
则
=
∴log = log
∵log =
lg
lg Leabharlann lg log b =
lg b
lg lg
∴log × log = × =1
lg
lg b
=
=
= log
练习
练习
练习
即=+
∴log () = +
∴log () = log + log
对数的运算法则-减法公式
令log = , log =
则 = , =
∴ = ÷ = −
即 =−
∴log ( ) = −
∴t=N
log
∴
=
练习
3log3 2 = 2
对数的运算课件
积、商、幂的对数运算法则：
如果 a > 0，a 1，M > 0， N > 0 有：
loga (MN) logaM logaN (1)
loga
M N
logaM
loga N
(2)
logaMn nlogaM(n R) (3)
其他重要公式:
log am
Nn
n m
log a
N
log a
N
log c N log c a
lg 7 lg(2 32 )
lg 2 lg 7 2(lg 7 lg 3) lg 7 (lg 2 2 lg 3) 0
计算：
（2） lg 243 lg 9
(3) lg 27 lg 8 3lg 10 lg 1.2
解： (2) lg 243
lg 9
lg 35 lg 32
5lg 3 2 lg 3
∴ N n amp
mp
N an
log a
N
m n
p
即证得
log am
Nn
n m
log
a
N
其他重要公式2:
log a
N
log c log c
N a
换底公式
(a,c (0,1) (1,), N 0)
证明：设 log a N p
由对数的定义可以得： N a p , log c N log c a p , logc N p logc a,
xy
x2 y
(1)loga z ;
(2) loga 3 z
解（1）
log a
xy z
loga (xy) loga
z
loga x loga y loga z
如果 a > 0，a 1，M > 0， N > 0 有：
loga (MN) logaM logaN (1)
loga
M N
logaM
loga N
(2)
logaMn nlogaM(n R) (3)
其他重要公式:
log am
Nn
n m
log a
N
log a
N
log c N log c a
lg 7 lg(2 32 )
lg 2 lg 7 2(lg 7 lg 3) lg 7 (lg 2 2 lg 3) 0
计算：
（2） lg 243 lg 9
(3) lg 27 lg 8 3lg 10 lg 1.2
解： (2) lg 243
lg 9
lg 35 lg 32
5lg 3 2 lg 3
∴ N n amp
mp
N an
log a
N
m n
p
即证得
log am
Nn
n m
log
a
N
其他重要公式2:
log a
N
log c log c
N a
换底公式
(a,c (0,1) (1,), N 0)
证明：设 log a N p
由对数的定义可以得： N a p , log c N log c a p , logc N p logc a,
xy
x2 y
(1)loga z ;
(2) loga 3 z
解（1）
log a
xy z
loga (xy) loga
z
loga x loga y loga z
对数的运算课件
错误的原因在于忽视了原式中的三个对数式隐含的 条件，x>0，y>0，x－2y>0，所以 x>2y>0，所以 x＝y 不成立．
[正解] 因为 lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，
所以 xy＝(x－2y)2x＝y 或 x＝4y，因为 x>0，y>0，x－2y>0，
所以 x＝y 应舍去，所以 x＝4y，即xy＝4，所以
＝4.
根据指数式与对数式的互化可知，真数实际上是指
数式中的指数幂，故为正数．所以在求解含有对数式的问题时，
一定要注意真数的取值范围，保证真数大于零．求解过程不等
价时，在求出答案后需进一步进行检验．
【题后反思】 解对数应用题的一般步骤为： (1)理解题意，弄清各字母的含义； (2)恰当地设未知数，建立数学模型，即已知 ax＝N(a，N 是常 数，且 a>0，a≠1)，求 x； (3)可以利用图象法，也可以利用换底公式借助计算器来解决数 学模型； (4)还原为实际问题，归纳结论．
误区警示 因忽略真数大于 0 而出错 【示例】 已知 lg x＋lg y＝2lg (x－2y)，求 log 2xy的值． [错解] 因为 lg x＋lg y＝2lg(x－2y)， 所以 xy＝(x－2y)2，即 x2－5xy＋4y2＝0， 所以 x＝y 或 x＝4y，即xy＝1 或xy＝4， 所以 log 2yx＝0，或 log 2xy＝4.
解 (1)原式＝
＋lg(25×4)＋2＋1
＝32＋lg 102＋3＝32＋2＋3＝123.
(2)法一 原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5·(1＋lg 2)＋(lg 2)2
＝2(lg 5＋lg 2)＋lg 5＋lg 2(lg 5＋lg 2)
＝2＋lg 5＋lg 2＝2＋1＝3.
[正解] 因为 lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，
所以 xy＝(x－2y)2x＝y 或 x＝4y，因为 x>0，y>0，x－2y>0，
所以 x＝y 应舍去，所以 x＝4y，即xy＝4，所以
＝4.
根据指数式与对数式的互化可知，真数实际上是指
数式中的指数幂，故为正数．所以在求解含有对数式的问题时，
一定要注意真数的取值范围，保证真数大于零．求解过程不等
价时，在求出答案后需进一步进行检验．
【题后反思】 解对数应用题的一般步骤为： (1)理解题意，弄清各字母的含义； (2)恰当地设未知数，建立数学模型，即已知 ax＝N(a，N 是常 数，且 a>0，a≠1)，求 x； (3)可以利用图象法，也可以利用换底公式借助计算器来解决数 学模型； (4)还原为实际问题，归纳结论．
误区警示 因忽略真数大于 0 而出错 【示例】 已知 lg x＋lg y＝2lg (x－2y)，求 log 2xy的值． [错解] 因为 lg x＋lg y＝2lg(x－2y)， 所以 xy＝(x－2y)2，即 x2－5xy＋4y2＝0， 所以 x＝y 或 x＝4y，即xy＝1 或xy＝4， 所以 log 2yx＝0，或 log 2xy＝4.
解 (1)原式＝
＋lg(25×4)＋2＋1
＝32＋lg 102＋3＝32＋2＋3＝123.
(2)法一 原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5·(1＋lg 2)＋(lg 2)2
＝2(lg 5＋lg 2)＋lg 5＋lg 2(lg 5＋lg 2)
＝2＋lg 5＋lg 2＝2＋1＝3.
人教A版高中数学必修一《对数与对数运算》课件(共24张PPT)
解：(1) log2 (47 25) log2 47 log2 25
7 log2 4 5log2 2 7 2 51 19
2
（2） lg 5 100 lg105
2
5
1.课本68页练习2，3
练习
3（1）log2 6 log2 3
log
2
6 3
log2 2 1
（2） lg 5 lg 2 lg(5 2) lg10 1
例如：
42 16
log 4 16 2
102 100
log10 100 2
1
42 2
log 4
2
1 2
102 0.01
log10 0.01 2
例1 将下列指数式写成对数式：
（1） 54 625 log5 625 4
（2）
26 1 64
log 2
1 64
6
（3） 3a 27 log3 27 a
语言表达: 两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和
两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差
一个正数的n次方的对数等于这个正数的对数n倍
例4 用 log a x, log a y, log a z 表示下列各式：
xy
x2 y
(1)loga
解（1） xy
z
;
(2) log a 3 z
loga z loga (xy) loga z
（3）
log 5
3
log 5
1 3
（4） log3 5 log3 15
log
5
(3
1) 3
log5 1
0
log
3
5 15
log3 31 1
对数与对数运算PPT
思考:
在指数式 ax N和对数式 x= loga N中， a，x ，N 各自的地位有什么不同？
指数式 ax N 对数式 x= loga N
a Nx
指数的底 幂 幂指数 数
对数的底 真 对数 数数
对数式与指数式的互换
42 16 化为对数式 log4 16 2
102 100 化为指数式 log10 100 2
1
4 2 2 化为对数式
102 0.01 化为指数式
1 log 4 2 2
log10 0.01 2
对数的运算
对数运算的三条基本性质
（1）loga M loga N loga (M N)
（2）loga
M
loga
N
loga
M N
（3）loga M n n loga M
对数运算的三个常用结论
ax N x= loga N
介绍两种特殊的对数：
1．常用对数：以10作底 log10 N写成 lg N
例如：log10 3简记作lg 3，log10 2.3简记作lg 2.3 ；
2．自然对数：以无理数e = 2.71828…作
底 log e N 写成 ln N
例如：loge 3 简记作 ln 3，loge 7.1简记作ln 7.1 ；
（1）loga a 1; （2） loga 1 0;
（3） aloga N N.
课堂练习
试用 loga x，loga y ，loga z表示下式：
（1） loga
x2 y
（2）loga yz2
小结：
1°对数的定义
2°互换(对数与指数会互化)
3 °对数的运算性质
课后延续
1、认真复习；
对数运算法则ppt课件
值呢？
x
x
设 log 3 5 x ，则 3 5 ，从而 lg 3 lg 5 ，即 x lg 3 lg 5 ，
所以 x
lg 5
，
lg 3
也就是说 log 3 5
lg 5 0.699 0
1.4651 .
lg 3 0.477 1
换底公式
一般地，我们有
log a b
log c b
5
lg 27 lg 8
lg 4 lg 25
1
1
lg 5 3lg 3 3lg 2 lg 5 9
，故 B 错误；对于 C， log 2 25 log3 log5
16
9
lg 9 2 lg 2 2 lg 5 2 lg 3 8
log 2 52 log 3 24 log 5 32
4 log8 27
3log 2 3
log 2 27
1 ，
，
9
log 2 3 log 2 8 log 2 3 3log 2 3
( 2 3)0 1 ， log 3 1 0 ， 2lg 5 lg 4 lg 52 4 lg102 2 ， 5log5 2 2 ，
60
则 log z m 的值为_____________.
解析： log x m 24 ， log y m 40 ， log xyz m 12 ， log m x
log m xyz
1
1
， log m y
，
24
40
1
1
1
1
1
对数的运算 课件(39张)
x
x
=x,则 log25=xlog23,即 log25=log23 ,从而有 3 =5,将
其化为对数式得 x=log35,若将对数函数的底数 2 换成 c(c>0 且 c≠1),
=log35 还成立吗?
提示:成立,证明如下:
设
x
x
=x,则 logc5=xlogc3,即 logc5=logc3 ,从而有 5=3 ,即 x=log35,
数学
(2)loga = logaM-logaN .
即两个正数商的对数等于同一底数的被除数的对数减去除数的对数.
(3)logaMn= nlogaM(n∈R) .
即正数幂的对数等于幂指数乘同一底数幂的底数的对数.
特别地,logaaN=N.
数学
2.换底公式及导出公式
[问题 2] 假设
=(lg 5)2+(1+lg 5)lg 2
=(lg 5)2+lg 2·lg 5+lg 2
=(lg 5+lg 2)lg 5+lg 2
=lg 5+lg 2=1.
数学
+ +
(2)
-
-
;
(3)log535-2log5 +log57-log51.8.
= (lg 2+lg 5)
= lg 10= .
数学
法二
=lg
原式=lg
×
×
=lg( × )
=lg
= .
4.2.1对数的运算性质课件(北师大版)
M
log a
log a M log a N
N
log a M b blog a M (b R)
二、新知探究
log a ( M N ) log a M log a N
M
log a
log a M log a N
N
log a M b blog a M (b R)
三、例题巩固
(1)log 2 (64 512)；
(2) lg 0.0001;
(3)log 3 5 81.
三、例题巩固
已知log 2 3 a, log 2 5 b, 用a, b表示下列各数的值：
(1) log 2 30;
5
(2) log 2 ;
9
3
(3) log 2
15
.
20
三、例题巩固
3
7
lg(2 7) 2lg lg 7 lg(2 32 )
3
lg 2 lg 7 2(lg 7 lg3)
lg 7 (lg 2 2lg 3)
0.
三、例题巩固
例4. 计算(1) lg 243 ；
lg 9
解
lg 243 lg 35
(1)
lg 9
lg 32
常用对数
lg N 自然对数 ln N
二、新知探究
指数幂的运算性质
任意的, 为正实数，, 为实数
∙ = + ,
= ,
∙
= ∙ .
对数是否也具有类
似的运算性质？
二、新知探究
你猜到的性质是什么？
第一组
式
log 2 8
log a
log a M log a N
N
log a M b blog a M (b R)
二、新知探究
log a ( M N ) log a M log a N
M
log a
log a M log a N
N
log a M b blog a M (b R)
三、例题巩固
(1)log 2 (64 512)；
(2) lg 0.0001;
(3)log 3 5 81.
三、例题巩固
已知log 2 3 a, log 2 5 b, 用a, b表示下列各数的值：
(1) log 2 30;
5
(2) log 2 ;
9
3
(3) log 2
15
.
20
三、例题巩固
3
7
lg(2 7) 2lg lg 7 lg(2 32 )
3
lg 2 lg 7 2(lg 7 lg3)
lg 7 (lg 2 2lg 3)
0.
三、例题巩固
例4. 计算(1) lg 243 ；
lg 9
解
lg 243 lg 35
(1)
lg 9
lg 32
常用对数
lg N 自然对数 ln N
二、新知探究
指数幂的运算性质
任意的, 为正实数，, 为实数
∙ = + ,
= ,
∙
= ∙ .
对数是否也具有类
似的运算性质？
二、新知探究
你猜到的性质是什么？
第一组
式
log 2 8
2.2.1.3对数的运算-优质课件
组织中的碳14含量。设生物体 死亡时，体内每克组织中的碳14的含量为1，1年后的残留量为x， 由于死亡机体中原有的碳14按确定的规律衰减，所以生物体的死 亡年数t与其体内每克组织的碳14含量P有如下关系。
死亡年数t
1
2
3
…
t
…
碳14含量P
x
x2
x3
…
xt
…
因此，生物死亡t年体内碳14的含量P＝xt
(a
0, 且a
1,
c
0, 且c
1, b
0)
推论：（1）log
ab
1
log ba
;
a a (2) log mbn n log b
m
课后作业
1．阅读教材P.64-P.69； 2．完成目标检测p.66-p.67.
思 考:
1.
证明 loga x logab x
1
log a
b.
2. 已知loga1 b1 loga2 b2
由于大约每过5730年，死亡生物体的碳14 含量衰减为原来的一半，所以
x 1 5730
2
于是
1
1 1
5730
( ) x 5730
2 2
t
这样生物死亡t年后体内碳14的含量
P
(
1
5730
)
2
t
由对数与指数的关系，指数式
1 5730 P( )
可写成
对数式
P
1
2
t log 5730
2
1 2
lg
10 2
2 lg
3
死亡年数t
1
2
3
…
t
…
碳14含量P
x
x2
x3
…
xt
…
因此，生物死亡t年体内碳14的含量P＝xt
(a
0, 且a
1,
c
0, 且c
1, b
0)
推论：（1）log
ab
1
log ba
;
a a (2) log mbn n log b
m
课后作业
1．阅读教材P.64-P.69； 2．完成目标检测p.66-p.67.
思 考:
1.
证明 loga x logab x
1
log a
b.
2. 已知loga1 b1 loga2 b2
由于大约每过5730年，死亡生物体的碳14 含量衰减为原来的一半，所以
x 1 5730
2
于是
1
1 1
5730
( ) x 5730
2 2
t
这样生物死亡t年后体内碳14的含量
P
(
1
5730
)
2
t
由对数与指数的关系，指数式
1 5730 P( )
可写成
对数式
P
1
2
t log 5730
2
1 2
lg
10 2
2 lg
3
4.3.1对数的概念与对数运算(两课时)课件(人教版)
当a>0,a≠1时，ax=N
x=㏒aN
※性质
0和负数没有对数，即N > 0；
1的对数等于0，即loga1=0；
底数的对数等于1，即logaa=1；
④对数恒等式 a
log a N
N.
探究角度1 对数式与指数式的互化
[例1] 将下列对(或指)数式化成指(或对)数式.
(1)lo
x=3;
(2)logx64=-6;
对数定律说明书》中阐明了对数原理,后人称为纳皮尔对数
.
对数的主要作用是简化运算
解下列方程
(1)2 8
x
(3)1.11 2
x
(2)2
x
2
(4)1.11 3
x
一般地，
对数概念
如果ax=N(a>0,且a≠1)，那么数x叫做以a为底N 的对数,记
作x=logaN，其中a叫做对数的底数，N 叫做真数
loga N
N (对数恒等式）
对数的运算性质
如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么：
（1）logaM n = n logaM (n∈R)
（2）loga(MN)=logaM+logaN
M
(3) log a
log a M log a N
N
探究点一
对数运算法则
[例1] 计算:
(2)
+
+
解:(1)由log8[log7(log2x)]=0,得log7(log2x)=1,即log2x=7,所以x=27.
(2)log2[log3(log2x)]=1.
解:(2)由log2[log3(log2x)]=1,所以log3(log2x)=2,所以log2x=9,所以x=29.
x=㏒aN
※性质
0和负数没有对数，即N > 0；
1的对数等于0，即loga1=0；
底数的对数等于1，即logaa=1；
④对数恒等式 a
log a N
N.
探究角度1 对数式与指数式的互化
[例1] 将下列对(或指)数式化成指(或对)数式.
(1)lo
x=3;
(2)logx64=-6;
对数定律说明书》中阐明了对数原理,后人称为纳皮尔对数
.
对数的主要作用是简化运算
解下列方程
(1)2 8
x
(3)1.11 2
x
(2)2
x
2
(4)1.11 3
x
一般地，
对数概念
如果ax=N(a>0,且a≠1)，那么数x叫做以a为底N 的对数,记
作x=logaN，其中a叫做对数的底数，N 叫做真数
loga N
N (对数恒等式）
对数的运算性质
如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么：
（1）logaM n = n logaM (n∈R)
（2）loga(MN)=logaM+logaN
M
(3) log a
log a M log a N
N
探究点一
对数运算法则
[例1] 计算:
(2)
+
+
解:(1)由log8[log7(log2x)]=0,得log7(log2x)=1,即log2x=7,所以x=27.
(2)log2[log3(log2x)]=1.
解:(2)由log2[log3(log2x)]=1,所以log3(log2x)=2,所以log2x=9,所以x=29.
《对数与对数运算》PPT省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
2、求下列各式旳值：
1
(1)
log 1
2
2
_1___
(2) log2 2 _1___ （3） lg10 ___1_
(4) ln e ___1
思索：你发觉了什么？怎样用对数式表达？
3、求下列各式旳值：
2 (1) log2 3 _3__
(2) 5log5 0.6 0_._6_
(3) 0.8log0.8100 1_0_0_
学习目旳
1、了解对数、常用对数、自然对数旳概念 ； 2、掌握指数式与对数式旳互化； 3、会求简朴旳对数值。
问题：求下列各式中旳 x, 并指出求 x
进行旳是什么运算？
(1)x2 2
求底数进行旳是开方运算
(2)x 24
求幂进行旳是乘方运算
(3)2x 6
求指数进行旳是？运算
观察 2x 6, 1.08x 2, 怎样定义对数？
(1)log1 16=4
16= (1) 4
2
2
(2)log2128=7
128=27
(3)log100.01= -2
0.01=10-2
(4)loge10=2.303
10=e 2.303
Hale Waihona Puke 理论迁移例2.求下列各式中x 旳值：
（1）log64 x
2 3
（2）logx 8 4
（3）lg1000 x
(4) ln e3 x
思索：你发觉了什么？怎样用式子表达？
思索:
loga 1 ? loga a ? aloga N ?
小结:
对数旳概念 常用对数与自然对数 指对恒等式及有关结论 两种题目:①指对互化②求值
三、指数式与对数式旳互化
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答案：D
1 1 3．已知2 ＝5 ＝10，则a＋b＝________.
a b
解析：因为2a＝5b＝10，所以a＝log210，b＝log510.根据 1 1 1 1 换底公式得a＝lg 2，b＝lg 5，所以a＋b＝lg 2＋lg 5＝1.
答案：1
4．方程lg x＋lg(x＋3)＝1的解是x＝________.
1 n
x－y x＋ y － 1 x＋y ⑧成立，由于 loga ＝loga( ) ＝－loga . x＋y x－ y x－y [答案] A
24×53 (2)[解] ①原式＝lg 1 ＝lg 104＝4. 5 1 1 2log73 2log52· log52 n · log7234 ②原式＝ ＝－3log32×log23＝－3. 2＝ 2 1 log72 log523－1· log72 3 － log53· 2
log58 log5125)
2log25 log25 2log52 3log52 ＝3log25＋2log 2＋3log 2log52＋2log 5＋3log 5 2 2 5 5 1 log22 ＝3＋1＋3log25· (3log52)＝13log25· ＝13. log 5 2
换底公式的应用
[例 2] log1258)． (2)已知 log189＝a,18b＝5，求 log3645. log225 log25 log54 3 [解] (1)法一： 原式＝(log25 ＋ log 4 ＋log 8)(log52＋log 25＋ 2 2 5 (1)计算：(log2125＋log425＋log85)· (log52＋log254＋
[类题通法] 解对数方程的方法 根据目前的知识我们只能求解两种简单的对数方程： (1)等号两边为底数相同的对数式，则真数相等； (2)化简后得到关于简单对数式(形如 lg x)的一元二次方程， 再由对数式与指数式的互化解得 x. 注意在解方程时，需检验得到的 x 是否满足所有真数都大 于零．
[对点训练]－1)； (2)log4(3－x)＋log0.25(3＋x)＝log4(1－x)＋log0.25(2x＋1)．
[对点训练] 求下列各式的值： (1)lg 52＋lg 2×lg 50＋(lg 2)2； (2)log2 7 1 ＋log212－ log242； 48 2
lg 5· lg 8 000＋lg 2 32 (3) ； 1 1 lg 600－ lg 0.036－ lg 0.1 2 2 (4)lg( 3＋ 5＋ 3－ 5)．
法二：原式＝log2 4
7 1 1 ×12× ＝－2. 3 7×6
(3)分子＝lg 5(3＋3lg 2)＋3(lg 2)2＝3lg 5＋3lg 2(lg 5＋lg 2) ＝3lg 5＋3lg 2＝3(lg 5＋lg 2)＝3； 分母＝(lg 6＋2)－lg 3 ∴原式＝4. 1 1 2 (4)原式＝2lg( 3＋ 5＋ 3－ 5) ＝2lg(3＋ 5＋3－ 5＋ 1 1 2 9－5)＝2lg 10＝2. 36 1 6 1 000×10＝lg 6＋2－lg 100＝4.
解：(1)原式＝2lg 5＋lg 2×lg(5×10)＋(lg 2)2＝2lg 5＋lg 2× lg 5＋lg 2＋(lg 2)2＝2lg 5＋lg 2×(lg 5＋lg 2)＋lg 2＝2lg 5＋ lg 2＋lg 2＝2(lg 5＋lg 2)＝2. 1 1 (2) 法一： 原式＝ 2 (log27 － log248) ＋ log23 ＋ 2log22 － 2 (log22 ＋ 1 1 1 1 1 log23＋log27)＝2log27－2log23－2log216＋2log23＋2－2－ 1 1 2log27＝－2.
log24 4 对于④，取 x＝4，y＝2，a＝2，则log 2＝2≠log22＝1， 2 logax x ∴ log y＝logay不成立； a 对于⑤，取 x＝4，a＝2，n＝3，则(log24)3＝8≠ log243＝6，∴(logax)n＝logaxn 不成立； 1 － － － ⑥成立，由于－logax＝－logax 1＝loga(x 1) 1＝logax； ⑦成立，由于 loga n 1 x＝logax ＝nlogax；
【常考题型】
对数运算性质的应用
[例 1] (1)若 a>0，且 a≠1，x>y>0，n∈N*，则下列各式：
①logax· logay＝loga(x＋y)； ②logax－logay＝loga(x－y)； logax x ③loga(xy)＝logax· logay；④ log y＝logay； a 1 ⑤(logax) ＝logax ；⑥logax＝－logax；
(2)由 log5(2x＋1)＝log5(x2－2)得 2x＋1＝x2－2，即 x2－2x－3＝0， 解得 x＝－1 或 x＝3. 检验：当 x＝－1 时，2x＋1<0，x2－2<0，不满足真数大于 0， 舍去； 当 x＝3 时，2x＋1>0，x2－2>0.故 x＝3. (3)原方程整理得(lg x)2＋3lg x－10＝0，即(lg x＋5)(lg x－2)＝0， 所以 lg x＝－5 或 lg x＝2， 解得 x＝10－5 或 x＝102. 经检验知：x＝10－5，x＝102 都是原方程的解．
解析：原方程可化为lg(x2＋3x)＝1， x>0， ∴x＋3>0， x2＋3x－10＝0.
解得x＝2.
答案：2
5．计算下列各式的值； 7 (1)log535－2log53＋log57－log51.8； (2)2(lg 2)2＋lg 2· lg 5＋ lg 22－lg 2＋1； (3)lg25＋lg 2＋lg 2· lg 5.
13lg 5 lg 2 ＝ 3lg 2 3lg 5＝13.
(2)因为 log189＝a,18b＝5，所以 log185＝b，于是 log189＋log185 a＋b log1845 log189×5 法一：log3645＝log 36＝ ＝ . 2 ＝ 18 2log 18 － log 9 2 － a 18 18 18 log18 9 lg 9 法二：因为lg 18＝log189＝a，所以 lg 9＝alg 18， 同理得 lg 5＝blg 18， lg 9＋lg 5 alg 18＋blg 18 lg 45 lg9×5 所以 log3645＝lg 36＝ 182 ＝ ＝ ＝ 2lg 18－lg 9 2lg 18－alg 18 lg 9 a＋b . 2－a
3
③原式＝2log32－(log332－log39)＋3log32－3＝5log32－(5log32－ 2log33)－3＝－1. ④原式＝log2( 8＋4 3· 8－4 3)＝log24＝2.
[答案] (1)A
[类题通法] 解决对数运算的常用方法 解决对数的运算问题，主要依据是对数的运算性质． 常用方法有： (1)将真数化为“底数”、“已知对数的数”的幂的积， 再展开； (2)将同底数的对数的和、差、倍合并； (3)利用常用对数中的 lg 2＋lg 5＝1.
1 2 1 2
解：(1)原方程整理得 lg(x－1) ＝lg(x－1)，则(x－1) ＝x－1，解 得 x＝1 或 x＝2.检验：当 x＝1 时，(x－1) ＝x－1＝0，不满足真 数大于 0，舍去；当 x＝2 时，满足所有真数都大于 0.故 x＝2.
1 2
(2)因为 0.25＝4－1，所以原方程整理得 log4(3－x)－log4(3＋x)＝ 3－x 1－x 3－x 1－x log4(1－x)－log4(2x＋1)， 即 log4 ＝log4 ， 则 ＝ ， 3＋x 2x＋1 3＋x 2x＋1 解得 x＝7 或 x＝0.检验：当 x＝7 时，3－x<0,1－x<0，不满足真 数大于 0，舍去；当 x＝0 时，满足所有真数都大于 0.故 x＝0.
法二：原式＝
lg 125 lg 25 lg 5lg ＋ ＋ lg 4 lg 8lg lg 2 3lg 5 2lg ＝ lg 2 ＋2lg
2 lg 4 lg 8 ＋ ＋ 5 lg 25 lg 125
5 lg 5 lg 2 2lg 2 3lg 2 2＋3lg 2lg 5＋2lg 5＋3lg 5
14 a＋2log14 7 log 7 ＋ log 4 a ＋ 2log 2 log1428 14 14 14 解：log3528＝log 35＝ ＝ ＝ log147＋log145 a＋b a＋b 14 a＋21－log147 a＋21－a 2－a ＝ ＝ ＝ . a＋ b a＋b a＋b
[类题通法] 换底公式的应用技巧 (1)换底公式的作用是将不同底数的对数式转化成同底数 的对数式， 将一般对数式转化成自然对数式或常用对数式来运 算．要注意换底公式的正用、逆用及变形应用． (2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数 式进行互化，统一成一种形式．
[对点训练] 已知 log147＝a，log145＝b，用 a，b 表示 log3528.
对数的运算
【知识梳理】
1.对数的运算性质 若 a>0，且 a≠1，M>0，N>0，那么： (1)loga(M· N)＝ logaM＋logaN ， M log M－log N a a (2)loga N ＝ ， (3)logaMn＝ nlogaM (n∈R)．
2.换底公式
logcb (a>0，且 a≠1，b>0) log a 若 c>0 且 c≠1，则 logab＝ c ．
对数方程的求解
[例 3] 解下列关于 x 的方程：
(1)log2(2x＋1)＝log2(3x)； (2)log5(2x＋1)＝log5(x2－2)； (3)(lg x)2＋lg x3－10＝0.
[解] (1)由 log2(2x＋1)＝log2(3x)得 2x＋1＝3x， 解得 x＝1. 检验：当 x＝1 时，2x＋1>0,3x>0.故 x＝1.
1 1 3．已知2 ＝5 ＝10，则a＋b＝________.
a b
解析：因为2a＝5b＝10，所以a＝log210，b＝log510.根据 1 1 1 1 换底公式得a＝lg 2，b＝lg 5，所以a＋b＝lg 2＋lg 5＝1.
答案：1
4．方程lg x＋lg(x＋3)＝1的解是x＝________.
1 n
x－y x＋ y － 1 x＋y ⑧成立，由于 loga ＝loga( ) ＝－loga . x＋y x－ y x－y [答案] A
24×53 (2)[解] ①原式＝lg 1 ＝lg 104＝4. 5 1 1 2log73 2log52· log52 n · log7234 ②原式＝ ＝－3log32×log23＝－3. 2＝ 2 1 log72 log523－1· log72 3 － log53· 2
log58 log5125)
2log25 log25 2log52 3log52 ＝3log25＋2log 2＋3log 2log52＋2log 5＋3log 5 2 2 5 5 1 log22 ＝3＋1＋3log25· (3log52)＝13log25· ＝13. log 5 2
换底公式的应用
[例 2] log1258)． (2)已知 log189＝a,18b＝5，求 log3645. log225 log25 log54 3 [解] (1)法一： 原式＝(log25 ＋ log 4 ＋log 8)(log52＋log 25＋ 2 2 5 (1)计算：(log2125＋log425＋log85)· (log52＋log254＋
[类题通法] 解对数方程的方法 根据目前的知识我们只能求解两种简单的对数方程： (1)等号两边为底数相同的对数式，则真数相等； (2)化简后得到关于简单对数式(形如 lg x)的一元二次方程， 再由对数式与指数式的互化解得 x. 注意在解方程时，需检验得到的 x 是否满足所有真数都大 于零．
[对点训练]－1)； (2)log4(3－x)＋log0.25(3＋x)＝log4(1－x)＋log0.25(2x＋1)．
[对点训练] 求下列各式的值： (1)lg 52＋lg 2×lg 50＋(lg 2)2； (2)log2 7 1 ＋log212－ log242； 48 2
lg 5· lg 8 000＋lg 2 32 (3) ； 1 1 lg 600－ lg 0.036－ lg 0.1 2 2 (4)lg( 3＋ 5＋ 3－ 5)．
法二：原式＝log2 4
7 1 1 ×12× ＝－2. 3 7×6
(3)分子＝lg 5(3＋3lg 2)＋3(lg 2)2＝3lg 5＋3lg 2(lg 5＋lg 2) ＝3lg 5＋3lg 2＝3(lg 5＋lg 2)＝3； 分母＝(lg 6＋2)－lg 3 ∴原式＝4. 1 1 2 (4)原式＝2lg( 3＋ 5＋ 3－ 5) ＝2lg(3＋ 5＋3－ 5＋ 1 1 2 9－5)＝2lg 10＝2. 36 1 6 1 000×10＝lg 6＋2－lg 100＝4.
解：(1)原式＝2lg 5＋lg 2×lg(5×10)＋(lg 2)2＝2lg 5＋lg 2× lg 5＋lg 2＋(lg 2)2＝2lg 5＋lg 2×(lg 5＋lg 2)＋lg 2＝2lg 5＋ lg 2＋lg 2＝2(lg 5＋lg 2)＝2. 1 1 (2) 法一： 原式＝ 2 (log27 － log248) ＋ log23 ＋ 2log22 － 2 (log22 ＋ 1 1 1 1 1 log23＋log27)＝2log27－2log23－2log216＋2log23＋2－2－ 1 1 2log27＝－2.
log24 4 对于④，取 x＝4，y＝2，a＝2，则log 2＝2≠log22＝1， 2 logax x ∴ log y＝logay不成立； a 对于⑤，取 x＝4，a＝2，n＝3，则(log24)3＝8≠ log243＝6，∴(logax)n＝logaxn 不成立； 1 － － － ⑥成立，由于－logax＝－logax 1＝loga(x 1) 1＝logax； ⑦成立，由于 loga n 1 x＝logax ＝nlogax；
【常考题型】
对数运算性质的应用
[例 1] (1)若 a>0，且 a≠1，x>y>0，n∈N*，则下列各式：
①logax· logay＝loga(x＋y)； ②logax－logay＝loga(x－y)； logax x ③loga(xy)＝logax· logay；④ log y＝logay； a 1 ⑤(logax) ＝logax ；⑥logax＝－logax；
(2)由 log5(2x＋1)＝log5(x2－2)得 2x＋1＝x2－2，即 x2－2x－3＝0， 解得 x＝－1 或 x＝3. 检验：当 x＝－1 时，2x＋1<0，x2－2<0，不满足真数大于 0， 舍去； 当 x＝3 时，2x＋1>0，x2－2>0.故 x＝3. (3)原方程整理得(lg x)2＋3lg x－10＝0，即(lg x＋5)(lg x－2)＝0， 所以 lg x＝－5 或 lg x＝2， 解得 x＝10－5 或 x＝102. 经检验知：x＝10－5，x＝102 都是原方程的解．
解析：原方程可化为lg(x2＋3x)＝1， x>0， ∴x＋3>0， x2＋3x－10＝0.
解得x＝2.
答案：2
5．计算下列各式的值； 7 (1)log535－2log53＋log57－log51.8； (2)2(lg 2)2＋lg 2· lg 5＋ lg 22－lg 2＋1； (3)lg25＋lg 2＋lg 2· lg 5.
13lg 5 lg 2 ＝ 3lg 2 3lg 5＝13.
(2)因为 log189＝a,18b＝5，所以 log185＝b，于是 log189＋log185 a＋b log1845 log189×5 法一：log3645＝log 36＝ ＝ . 2 ＝ 18 2log 18 － log 9 2 － a 18 18 18 log18 9 lg 9 法二：因为lg 18＝log189＝a，所以 lg 9＝alg 18， 同理得 lg 5＝blg 18， lg 9＋lg 5 alg 18＋blg 18 lg 45 lg9×5 所以 log3645＝lg 36＝ 182 ＝ ＝ ＝ 2lg 18－lg 9 2lg 18－alg 18 lg 9 a＋b . 2－a
3
③原式＝2log32－(log332－log39)＋3log32－3＝5log32－(5log32－ 2log33)－3＝－1. ④原式＝log2( 8＋4 3· 8－4 3)＝log24＝2.
[答案] (1)A
[类题通法] 解决对数运算的常用方法 解决对数的运算问题，主要依据是对数的运算性质． 常用方法有： (1)将真数化为“底数”、“已知对数的数”的幂的积， 再展开； (2)将同底数的对数的和、差、倍合并； (3)利用常用对数中的 lg 2＋lg 5＝1.
1 2 1 2
解：(1)原方程整理得 lg(x－1) ＝lg(x－1)，则(x－1) ＝x－1，解 得 x＝1 或 x＝2.检验：当 x＝1 时，(x－1) ＝x－1＝0，不满足真 数大于 0，舍去；当 x＝2 时，满足所有真数都大于 0.故 x＝2.
1 2
(2)因为 0.25＝4－1，所以原方程整理得 log4(3－x)－log4(3＋x)＝ 3－x 1－x 3－x 1－x log4(1－x)－log4(2x＋1)， 即 log4 ＝log4 ， 则 ＝ ， 3＋x 2x＋1 3＋x 2x＋1 解得 x＝7 或 x＝0.检验：当 x＝7 时，3－x<0,1－x<0，不满足真 数大于 0，舍去；当 x＝0 时，满足所有真数都大于 0.故 x＝0.
法二：原式＝
lg 125 lg 25 lg 5lg ＋ ＋ lg 4 lg 8lg lg 2 3lg 5 2lg ＝ lg 2 ＋2lg
2 lg 4 lg 8 ＋ ＋ 5 lg 25 lg 125
5 lg 5 lg 2 2lg 2 3lg 2 2＋3lg 2lg 5＋2lg 5＋3lg 5
14 a＋2log14 7 log 7 ＋ log 4 a ＋ 2log 2 log1428 14 14 14 解：log3528＝log 35＝ ＝ ＝ log147＋log145 a＋b a＋b 14 a＋21－log147 a＋21－a 2－a ＝ ＝ ＝ . a＋ b a＋b a＋b
[类题通法] 换底公式的应用技巧 (1)换底公式的作用是将不同底数的对数式转化成同底数 的对数式， 将一般对数式转化成自然对数式或常用对数式来运 算．要注意换底公式的正用、逆用及变形应用． (2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数 式进行互化，统一成一种形式．
[对点训练] 已知 log147＝a，log145＝b，用 a，b 表示 log3528.
对数的运算
【知识梳理】
1.对数的运算性质 若 a>0，且 a≠1，M>0，N>0，那么： (1)loga(M· N)＝ logaM＋logaN ， M log M－log N a a (2)loga N ＝ ， (3)logaMn＝ nlogaM (n∈R)．
2.换底公式
logcb (a>0，且 a≠1，b>0) log a 若 c>0 且 c≠1，则 logab＝ c ．
对数方程的求解
[例 3] 解下列关于 x 的方程：
(1)log2(2x＋1)＝log2(3x)； (2)log5(2x＋1)＝log5(x2－2)； (3)(lg x)2＋lg x3－10＝0.
[解] (1)由 log2(2x＋1)＝log2(3x)得 2x＋1＝3x， 解得 x＝1. 检验：当 x＝1 时，2x＋1>0,3x>0.故 x＝1.