命题与逻辑关系

命题及逻辑关系知识讲解之训练

一、命题及其关系

二、基本逻辑连接词

1、逻辑连接词：逻辑连接词。

p∨，读作“p或或：用连接词“或”把命题p和命题q联接起来，就得到一个新命题，记作q q”（“∨”读作“合作”）

p∧，读作“p且且：用连接词“且”把命题p和命题q联接起来，就得到一个新命题，记作q q”（“∧”读作“析取”）

⌝，读作“非p”或“p的否定”。

非：对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作p

2、简单命题与复合命题：简单命题：复合命题：

复合命题的形式：（1）p或q ，记作 p∨q ；（2）p且q ，记作 p∧q；

（3）非p (命题的否定)，记作⌝p。

3、复合命题“p或q”，“p且q”，“非p”的真假判断：

（1）“p或q”形式的复合命题：“同假为假，其余为真”

（2）“p且q”形式的复合命题：“同真为真，其余为假”

（3）“非 p”形式的复合命题：“为真非为假、为假非为真”

4、常用的正面叙述词语和他的否定词语：存在、任意、至少有一个、二个，至多、唯一一个

5、充分必要条件区别及方法

命题与简易逻辑

一．典例分析

考点1．四种命题及其关系

例1．（１）设原命题是“当c>0时，若a>b，则ac>bc”，写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假．

（2）若a、b、c∈R，写出命题“若ac<0，则ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这三个命题的真假

变式训练1：命题“若 x = y 则 |x| = |y|”写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它的真假

考点2：充分、必要、充要条件的概念与判断

例2．指出下列命题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．

(1)在△ABC中，p：∠A＝∠B，q：sin A＝sin B；

(2)对于实数x、y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6；

(3)非空集合A、B中，p：x∈A∪B，q：x∈B；

(4)已知x、y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.

例3．已知不等式|x－m|<1成立的充分不必要条件是1

3

1

2

，则m的取值范围是____________．

变式训练1：指出下列各组命题中，p是q的什么条件（在“充分而不必要条件”、“必要而不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种）？

⑴p：(x-2)(x-3)=0；q：x-2=0.

⑵p：同位角相等；q：两直线平行.

⑶p：x=3；q：x2=9.

⑷p：四边形的对角线相等；q：四边形是平行四边形.

变式训练2：用“充分而不必要条件”、“必要而不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”填空，并说明理由：

（1）“a 和b 都是偶数”是“a+b 也是偶数”的 条件； （2） “四边相等”是“四边形是正方形”的 条件； （3）“x ≠3”是“|x|≠3”的 条件； （4）“x-1=0”是“x2-1=0”的 条件；

（5）“两个角是对顶角”是“这两个角相等”的 条件； （6）“至少有一组对应边相等”是“两个三角形全等”的 条件；

（7）对于一元二次方程ax2+bx+c=0（其中a,b,c 都不为0）来说，“b2-4ac ≥0”是“这个方程有两个正根”的 条件；

（8）“a=2，b=3”是“a+b=5”的 条件；

（9）“a+b 是偶数”是“a 和b 都是偶数”的 条件；

（10）“个位数字是5的自然数”是“这个自然数能被5整除”的 条件. 考点3：命题的否定与否命题

例4．写出下列命题的否命题及命题的否定，并判断它们的真假。 （1）若27,01452

-===--x x x x

或则

（2）已知R d c b a ∈,,,,若d c b a ==,，则d b c a +=+ 例5．（1）命题“存在x ∈R ，使得0522

=++x x ”的否定是___________．

（2）若命题：存在R x ∈，使得01)1(2

<+-+x a x 是假命题，则实数a 的取值范围

___________．

变式训练1：写出命题：“若 xy = 6则 x = 3且 y = 2”的否命题和“非p ”形式，并判断它们的真假

考点4．根据含有逻辑联结词的命题的真假，求参数的取值范围

例7．已知命题p ：方程x2＋mx ＋1＝0有两个不等的负实数根；命题q ：方程4x2＋4(m －2)x ＋1＝0无实数根．若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求m 的取值范围．

变式训练1：已知11

2:<-x x

p ，0)3)((:>--x a x q ，若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1)

B ．[1,3]

C ．[1，＋∞)

D ．[3，＋∞)

综合提高训练

1、“()24

x k k Z π

π=+

∈”是“tan 1x =”成立的 （ ）

（A ） 充分不必要条件. （B ）必要不充分条件.（C ）充分条件. （D ）既不充分也不必要条件. 2、“a ＞0”是“a ＞0”的

（ ）

(A) 充分不必要条件（B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件

3、“14

m <

”是“一元二次方程2

0x x m ++=”有实数解的 （ ） A ．充分非必要条件 B.充分必要条件 C ．必要非充分条件 D.非充分必要条件 4、函数2

()1f x x mx =++的图像关于直线1x =对称的充要条件是 （ ） （A ）2m =- （B ）2m = （C ）1m =- （D ）1m = 5、若,a b 为实数，则“01ab <<”是11

a b b a

<

>或的 （ ） （A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条 6．命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定．．

是 （ ） （A ）所有不能被2整除的数都是偶数 （B ）所有能被2整除的数都不是偶数 （C ）存在一个不能被2整除的数是偶数（D ）存在一个能被2整除的数不是偶数 7. 设集合M={1,2}，N={a 2

},则“a=1”是“N ⊆M ”的 （ ）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分又不必要条件 8．设,a b 是向量，命题“若a b =-，则a b =”的逆命题是 （ ） （A ）若a b ≠-则a b ≠ （B ）若a b =-则a b ≠ （C ）若a b ≠则a b ≠- （D ）若a b =则a b =- 9．下面四个条件中，使a b ＞成立的充分而不必要的条件是 （ ） （A ）1a b >+ （B ）1a b >- （C ）22a b > （D ）33a b > 10.若a ∈R ，则a=2是（a-1）（a-2）=0的 （ ）

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充要条件 C ．既不充分又不必要条件

11．对于实数a ，b ，c ，“a ＞b ”是“ac 2＞bc 2

”的

( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

12．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是 ( )

A ．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”

B ．“若一个数的平方是正数，则它是负数”

C ．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”