北京大学1997年高等代数与解析几何试题及解答
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四. (20 分) A 是实数域 R 上的 3 维线性空间 V 上的一个线性变换, 对 V 的一组基 ε1, ε2, ε3, 有 A ε1 = 3ε1 + 6ε2 + 6ε3, A ε2 = 4ε1 + 3ε2 + 4ε3, A ε3 = −5ε1 − 4ε2 − 6ε3.
1. 求 A 的全部特征值和特征向量. 2. 设 B = A 3 − 5A , 求 B 的一个非平凡的不变子空间.
注 法二的想法源于蓝以中的《高等代数》第二版下册第 173 页的例 2.4.
六. 1. 设 λ 对应的一个特征向量为 ξ, 则 A ξ = λξ,
λ(ξ, ξ) = (A ξ, ξ) = −(ξ, A ξ) = −λ(ξ, ξ),
故 2λ(ξ, ξ) = 0, 由 ξ ̸= 0 知 (ξ, ξ) ̸= 0, 故 λ = 0.
0 或纯虚数.
1
一. 1. 对应的矩阵为
−132
−
3 2
1
−55 ,
5 −5 21
I1 = 2, I2 = −5/4, I3 = −5/4, 曲线为双曲线.
2. 对应的矩阵为
1 2
2 4
−510 ,
−10 5 −50
I1 = 5, I2 = 0, I3 = −625, 曲线为抛物线.
√ 五. (10 分) 设 f (x) 是有理数域 Q 上的一个 m 次多项式 (m ⩾ 0), n 是大于 m 的正整数. 证明: n 2 不是 f (x)
的实根. 六. (20 分) 设 A 是 n 维欧式空间 V 上的一个线性变换, 满足
(A α, β) = −(α, A β), (∀α, β ∈ V ). 1. 若 λ 是 A 的一个特征值, 证明 λ = 0. 2. 证明 V 内存在一组标准正交基, 使 A 2 在此组基下的矩阵为对角矩阵. 3. 设 A 在 V 的某组标准正交基下的矩阵为 A. 证明: 把 A 看做复数域 C 上的 n 阶方阵, 其特征值必为
2. rank(A + B) ⩽ rank(A) + rank(B) ⩽ n − l + n − m < 2n − n = n, 于是 (A + B)X = 0 必有非零解.
3. 唯一性: 若 α = β1 + γ1 = β + γ, 其中 β1, β 是 AX = 0 的解, γ1, γ 是 BX = 0 的解, 则 β1 − β = γ1 − γ 既是 AX = 0 的解, 又是 BX = 0 的解, 从而 β1 = β, γ1 = γ. 存在性: 若 ξ1, . . . , ξl 是 AX = 0 的 l 个线性无关解, η1, . . . , ηm 是 BX = 0 的 m 个线性无关解. 若能 证明 ξ1, . . . , ξl, η1, . . . , ηm 是线性无关的, 则就得到了 Kn 的一组基, 自然就保证了分解的存在性. 设
2
2. A 的特征值为 3 的特征子空间为 B 的一个非平凡的不变子空间.
√ 五. (法一) 若 n 2 是 f (x) 的实根, 则在 R[x] 中 (xn − 2, f (x)) ̸= 1, 于是在 Q[x] 中 (xn − 2, f (x)) ̸= 1, 又因为
xn − 2 是 Q[x] 中的不可约多项式, 故 xn − 2 | f (x), 矛盾.
三. 1. 因为 rank(AB) ⩽ rank(A), rank(AB) ⩽ rank(B), 故 n−rank(AB) ⩾ n−rank(A) ⩾ l, n−rank(AB) ⩾ n − rank(B) ⩾ m, 从而 n − rank(AB) ⩾ max(l, m), 因此 (AB)X = 0 至少有 max(l, m) 个线性无关 的解向量.
√
√√
√
(法二) 若 n 2 是 f (x) 的实根, 则 1, n 2, n 22, . . . , n 2m 在 Q 上是线性相关的, 存在最小的 k, 0 < k ⩽ m,
使得
√
√
√
√
n 2k = a0 + a1 n 2 + a2 n 22 + · · · + ak−1 n 2k−1.
令 f (x) = xk − a0 − a1x − · · · − ak−1xk−1, 用 f (x) 与 xn − 2 做带余除法, 可设 xn − 2 = f (x)q(x) + r(x), 由 k 的最小性得 r(x) = 0, f (x) | xn − 2, 矛盾.
ηTAη¯ = µ¯ηTη¯, − ηTAη¯ = µ¯ηTη¯,
因此 (µ¯ + µ)ηTη¯ = 0, 由于 ηTη¯ ̸= 0, 故 µ¯ + µ = 0, 故 µ 必为 0 或纯虚数.
3
四. 1.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A (ε1, ε2, ε3) = (ε1, ε2, ε3) 36
4 3
−−54 .
6 4 −6
记 A 在基 ε1, ε2, ε3 下的矩阵为 A, 则 |λE − A| = (λ2 + 3λ + 4) (λ − 3). λ = 3 对应的 A 的一个特征 向量为 (8, 15, 12)T, 从而 A 的特征值为 3, 对应的特征向量为 k(ε1, ε2, ε3)(8, 15, 12)T, k ̸= 0, k ∈ R.
a1ξ1 + · · · + alξl + b1η1 + · · · + bmηm = 0,
则
A(b1η1 + · · · + bmηm) = 0
B(b1η1 + · · · + bmηm) = 0 =⇒ b1η1 + · · · + bmηm = 0,
从而 b1 = · · · = bm = 0, a1 = · · · = al = 0.
面夹角为 α, 故
| cos α| = √
|yx| √
,
z2 + y2 z2 + x2
上述等式可以转化为
(z2 + y2)(z2 + x2) cos2 α = y2x2.
令 F (x, y, z) = (z2 + y2)(z2 + x2) cos2 α − y2x2, 则 F (x, y, z) = 0 即为交线的轨迹方程. 因为 F (tx, ty, tz) = t4F (x, y, z), 从而曲面为锥面.
注 丘维声的《解析几何》第三版第 166 页例 2.1.
二. 设 P (x, y, z) 是交线上一点, 且不是原点, 又因为原点也是交线上一点, 于是过 P 点且 x 轴的平面的法向量
为 (1, 0, 0) × (x, y, z) = (0, z, −y), 同样可得另一张平面的法向量为 (0, 1, 0) × (x, y, z) = (z, 0, −x), 由于平
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微信公众号：数学十五少 2019.05.25
一. (12 分) 判断下列二次曲线类型 1. x2 − 3xy + y2 + 10x − 10y + 21 = 0; 2. x2 + 4xy + 4y2 − 20x + 10y − 50 = 0.
二. (18 分) 过 x 轴和 y 分别做动平面, 交角 α 是常数, 求交线轨迹的方程, 并且证明它是一个锥面. 三. (20 分) 设 A, B 是数域 K 上的 n 阶方阵, X 是未知量 x1, · · · , xn 所成的 n × 1 矩阵. 已知齐次线性方程组
AX = 0 和 BX = 0 分别有 l, m 个线性无关解向量, 这里 l ⩾ 0, m ⩾ 0. 1. 证明 (AB)X = 0 至少有 max(l, m) 个线性无关的解向量. 2. 如果 l + m > n, 证明 (A + B)X = 0 必有非零解. 3. 如果 AX = 0 和 BX = 0 无公共非零解向量, 且 l + m = n; 证明 Kn 中任一向量 α 可唯一表成 α = β + γ, 这里 β, γ 分别是 AX = 0 和 BX = 0 的解向量.
2.
( A
2α,
) β
=
−
(A
α,
A
β)
=
( α,
A
2β)
,
于是 A 2 是对称变换, 故在 V 内存在一组标准正交基, 使 A 2 在此组基下的矩阵为对角矩阵. 3. 设 µ 为 A 的特征值, η 为对应的特征向量, 则 Aη = µη, η ̸= 0,
Aη¯ = µ¯η¯, ηTAT = µηT, 故
1. 求 A 的全部特征值和特征向量. 2. 设 B = A 3 − 5A , 求 B 的一个非平凡的不变子空间.
注 法二的想法源于蓝以中的《高等代数》第二版下册第 173 页的例 2.4.
六. 1. 设 λ 对应的一个特征向量为 ξ, 则 A ξ = λξ,
λ(ξ, ξ) = (A ξ, ξ) = −(ξ, A ξ) = −λ(ξ, ξ),
故 2λ(ξ, ξ) = 0, 由 ξ ̸= 0 知 (ξ, ξ) ̸= 0, 故 λ = 0.
0 或纯虚数.
1
一. 1. 对应的矩阵为
−132
−
3 2
1
−55 ,
5 −5 21
I1 = 2, I2 = −5/4, I3 = −5/4, 曲线为双曲线.
2. 对应的矩阵为
1 2
2 4
−510 ,
−10 5 −50
I1 = 5, I2 = 0, I3 = −625, 曲线为抛物线.
√ 五. (10 分) 设 f (x) 是有理数域 Q 上的一个 m 次多项式 (m ⩾ 0), n 是大于 m 的正整数. 证明: n 2 不是 f (x)
的实根. 六. (20 分) 设 A 是 n 维欧式空间 V 上的一个线性变换, 满足
(A α, β) = −(α, A β), (∀α, β ∈ V ). 1. 若 λ 是 A 的一个特征值, 证明 λ = 0. 2. 证明 V 内存在一组标准正交基, 使 A 2 在此组基下的矩阵为对角矩阵. 3. 设 A 在 V 的某组标准正交基下的矩阵为 A. 证明: 把 A 看做复数域 C 上的 n 阶方阵, 其特征值必为
2. rank(A + B) ⩽ rank(A) + rank(B) ⩽ n − l + n − m < 2n − n = n, 于是 (A + B)X = 0 必有非零解.
3. 唯一性: 若 α = β1 + γ1 = β + γ, 其中 β1, β 是 AX = 0 的解, γ1, γ 是 BX = 0 的解, 则 β1 − β = γ1 − γ 既是 AX = 0 的解, 又是 BX = 0 的解, 从而 β1 = β, γ1 = γ. 存在性: 若 ξ1, . . . , ξl 是 AX = 0 的 l 个线性无关解, η1, . . . , ηm 是 BX = 0 的 m 个线性无关解. 若能 证明 ξ1, . . . , ξl, η1, . . . , ηm 是线性无关的, 则就得到了 Kn 的一组基, 自然就保证了分解的存在性. 设
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2. A 的特征值为 3 的特征子空间为 B 的一个非平凡的不变子空间.
√ 五. (法一) 若 n 2 是 f (x) 的实根, 则在 R[x] 中 (xn − 2, f (x)) ̸= 1, 于是在 Q[x] 中 (xn − 2, f (x)) ̸= 1, 又因为
xn − 2 是 Q[x] 中的不可约多项式, 故 xn − 2 | f (x), 矛盾.
三. 1. 因为 rank(AB) ⩽ rank(A), rank(AB) ⩽ rank(B), 故 n−rank(AB) ⩾ n−rank(A) ⩾ l, n−rank(AB) ⩾ n − rank(B) ⩾ m, 从而 n − rank(AB) ⩾ max(l, m), 因此 (AB)X = 0 至少有 max(l, m) 个线性无关 的解向量.
√
√√
√
(法二) 若 n 2 是 f (x) 的实根, 则 1, n 2, n 22, . . . , n 2m 在 Q 上是线性相关的, 存在最小的 k, 0 < k ⩽ m,
使得
√
√
√
√
n 2k = a0 + a1 n 2 + a2 n 22 + · · · + ak−1 n 2k−1.
令 f (x) = xk − a0 − a1x − · · · − ak−1xk−1, 用 f (x) 与 xn − 2 做带余除法, 可设 xn − 2 = f (x)q(x) + r(x), 由 k 的最小性得 r(x) = 0, f (x) | xn − 2, 矛盾.
ηTAη¯ = µ¯ηTη¯, − ηTAη¯ = µ¯ηTη¯,
因此 (µ¯ + µ)ηTη¯ = 0, 由于 ηTη¯ ̸= 0, 故 µ¯ + µ = 0, 故 µ 必为 0 或纯虚数.
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四. 1.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A (ε1, ε2, ε3) = (ε1, ε2, ε3) 36
4 3
−−54 .
6 4 −6
记 A 在基 ε1, ε2, ε3 下的矩阵为 A, 则 |λE − A| = (λ2 + 3λ + 4) (λ − 3). λ = 3 对应的 A 的一个特征 向量为 (8, 15, 12)T, 从而 A 的特征值为 3, 对应的特征向量为 k(ε1, ε2, ε3)(8, 15, 12)T, k ̸= 0, k ∈ R.
a1ξ1 + · · · + alξl + b1η1 + · · · + bmηm = 0,
则
A(b1η1 + · · · + bmηm) = 0
B(b1η1 + · · · + bmηm) = 0 =⇒ b1η1 + · · · + bmηm = 0,
从而 b1 = · · · = bm = 0, a1 = · · · = al = 0.
面夹角为 α, 故
| cos α| = √
|yx| √
,
z2 + y2 z2 + x2
上述等式可以转化为
(z2 + y2)(z2 + x2) cos2 α = y2x2.
令 F (x, y, z) = (z2 + y2)(z2 + x2) cos2 α − y2x2, 则 F (x, y, z) = 0 即为交线的轨迹方程. 因为 F (tx, ty, tz) = t4F (x, y, z), 从而曲面为锥面.
注 丘维声的《解析几何》第三版第 166 页例 2.1.
二. 设 P (x, y, z) 是交线上一点, 且不是原点, 又因为原点也是交线上一点, 于是过 P 点且 x 轴的平面的法向量
为 (1, 0, 0) × (x, y, z) = (0, z, −y), 同样可得另一张平面的法向量为 (0, 1, 0) × (x, y, z) = (z, 0, −x), 由于平
北京大学 1997 年全国硕士研究生招生考试高代解几试题及解答
微信公众号：数学十五少 2019.05.25
一. (12 分) 判断下列二次曲线类型 1. x2 − 3xy + y2 + 10x − 10y + 21 = 0; 2. x2 + 4xy + 4y2 − 20x + 10y − 50 = 0.
二. (18 分) 过 x 轴和 y 分别做动平面, 交角 α 是常数, 求交线轨迹的方程, 并且证明它是一个锥面. 三. (20 分) 设 A, B 是数域 K 上的 n 阶方阵, X 是未知量 x1, · · · , xn 所成的 n × 1 矩阵. 已知齐次线性方程组
AX = 0 和 BX = 0 分别有 l, m 个线性无关解向量, 这里 l ⩾ 0, m ⩾ 0. 1. 证明 (AB)X = 0 至少有 max(l, m) 个线性无关的解向量. 2. 如果 l + m > n, 证明 (A + B)X = 0 必有非零解. 3. 如果 AX = 0 和 BX = 0 无公共非零解向量, 且 l + m = n; 证明 Kn 中任一向量 α 可唯一表成 α = β + γ, 这里 β, γ 分别是 AX = 0 和 BX = 0 的解向量.
2.
( A
2α,
) β
=
−
(A
α,
A
β)
=
( α,
A
2β)
,
于是 A 2 是对称变换, 故在 V 内存在一组标准正交基, 使 A 2 在此组基下的矩阵为对角矩阵. 3. 设 µ 为 A 的特征值, η 为对应的特征向量, 则 Aη = µη, η ̸= 0,
Aη¯ = µ¯η¯, ηTAT = µηT, 故