(10)刚体习题课分解

6.机械能守恒定律
Ek
1 J 2
2
E p mghc
当只有保守力矩作功 Ek Ep 恒量
2
说明： （1）粘接在一起的两个圆盘（或圆柱）形状的刚体，要把它们看 成一个刚体，不要分开考虑。
它们的和均相同，但不同半径处的和a不同。
如 图 ， 在r处 ：
or
r at r an 2 / r
R
在R处 :
o
为零，称该点为打击中心。试求：
（1）打击中心A与支撑轴o之间的距离RA。 RA
（2）如果用质量为m=M，速度为v的弹
Rc
性球沿水平方向击中A点，碰撞后轴o对
细杆的作用力将如何？
F
解(1)由转动定律 FRA J
质心运动定理 F Mac
1 ML2
3
ac rc
L 2
联立可得：
RA
2 3
L
Fy
Fx c A
得到： 0
由质心运动定理：
dt
yF J
t
F
y
切向：F Rx
法向：
m
Ry
l 2
d
dt
mg
于是得到：Rx
(1
3y)F 2l
m
l 2
2 Ry
mg
9F

2 y2 (t)2 2l 3m
12
例7、如图所示，以水平力F打击悬
挂着的质量为M、长度为L的均匀细杆。
如果打击点A选择得合适，在打击的过
程中，支撑轴o对细杆的水平切向力Fx
dM 2rf (2rdr) 4kvr2dr
o
4kr3dr
r
M R 4kr3dr kR4 0
dr
由转动定理：J
d
dt
M
1 2
mR2
d
dt
kR4
2kR 2
d
2kR2 dt
m
d 2kR2
0
m
t
dt
0
0e
m
t
9
例5. 质量为M长为L的均质细棒静止平放在滑动摩
擦系数为 的水平桌面上。它可绕O点垂直于桌面
TA TB TD 但 TB T（C 忽略绳子的质量）
（3）两个圆盘的角速度和角加速度不相等。
1 2 1 2
4
例1. 现有质量相同，厚度相同的铁质和木质圆板各一个。令其 各自绕通过圆板中心且与圆板垂直的光滑轴转动。设其角速度 也相同。某时刻起两者受到同样大小的阻力矩，问：哪种质料 的圆板先停止转动？
0
1 MgL
2
（3）
Mdt Jd
有：
t 0
Mf dt
J
0
d
（4）
由以上四式解出： t 2mv1 v2
Mg
11
例6、质量为M，长为 l 的均匀棒，如图，若用水平力F
打击在离轴下 y处，求：轴对棒的作用力。 Ry
解：设轴的作用力为: Rx Ry 由转动定律: yF J
d
Rx
t 为作用时间
刚体定轴转动习题课
1
1.刚体定轴转动定律：
M J
2.刚体的转动惯量： J mi ri2
J r 2dm
平行轴定理： J J c md 2
3.刚体定轴转动的角动量定理：
Mz
dLz dt
(Lz J )
4.角动量守恒定律：Mz=0
Lz1 Lz2 恒量
5.刚体转动的功和能：
A 2 Md 1
的固定光滑轴转动。另有一水平运动的质量为m的
小滑块，从侧面垂直于棒方向与棒发生碰撞， 设碰
o 撞。时求间细极 棒短 碰。 撞已 后知直碰到撞静前止后所小需滑的块时速间度是分多别少为？v1 和v2
解： m与M碰撞过程，
系统（m,M）对O轴角动量守恒
mv 1 L mv 2 L J （1） v2 v1
M
Rmg
R
m 2
g
1 2
Rmg
设u为人相对绳的匀速度，v 为重物上升
m
的速度, 则系统对o轴的角动量为:
m 2
L
R
m 2
v
Rm
u
v
J
J 1 m R2 2 4
L 13 mRv mRu
8
7
R
o
m 4
v
m
m 2
M 1 Rmg L 13 mRv mRu
2
根据角动量定理：
M
8
dL
dt
atA = atB
rA A = rBB 3
则：FA : FB = 1 : 2 6
例3、一轻绳绕过一半径为R，质量为m/4的滑轮。质量
为m的人抓住了绳的一端，在绳的另一端系一个质量为
m/2的重物，如图所示。求当人相对于绳匀速上爬时，
重物上升的加速度是多少？
解：选人、滑轮与重物为系统
R
o
m 4
v
对O轴，系统所受的外力矩为：
1 mgR d 13 mRv mRu
2
dt 8
du 0 a dv 4 g
dt
dt 13
8
例4、质量为m，半径为R的圆盘，可绕过盘中心且垂直
于盘面的轴转动，在转动过程中单位面积所受空气的阻
力为 f kv ，t 0 时，圆盘的角速度为0 ，求盘在任
意时刻的速度 (t)。
解:先求阻力力矩, 取半径为r宽为dr的圆带
解： 铁质和木质圆板的转动惯量分别为：
J铁
1 2
m R铁2
J木
1 2
m R木2
R铁 R木
由角动量定理得：M L J t t
M相同，也相同, 所以：
J铁 J木
J铁 J木 t铁 t木
t木
J木 J铁
t铁
t铁
因此，铁圆板先停
5
例2. 如图，转轮A、B可分别独立地绕o轴转动。
A、B轮的质量分别为m A 10kg和mB 20kg,
13
（2）如果用质量为m=M，速度为v1的弹性球 沿水平方向击中A点，碰撞后轴o对细杆的作用
Fy
力将如何？
球打在A点，轴间仍没有x方向轴力 球和棒系统，水平方向动量守恒
o RA Rc c
mv1 mv 2 MVc
系统角动量守恒
A
v 1
RA mv1 RA mv 2 J RAmv
半径
分
别
为rA
和rB。
现
用
力f
A和f
分别拉系
B
在
轮
上
的 细 绳 且 使 绳 与 轮 间 无滑 动 。 为 使A、B两 轮 边 缘 处
切向加速度相同，相应的拉力f A、f B之比为多少？
解：A、B滑轮视为两个刚体
rB
它们的和将不再相同。
o
rA
由转动定律：rA f A = J A A 1
fB
fA
由题意： rB fB = JBB 2
R at R an 2 / R
（2）用一根绳连接两个或多个刚体时，要把刚体分开考 虑。
3
BC
1 同一根绳上各点的切向
M2 o2 R2
o
R
1
1
M1
加速度和线速度相同；
A
m2
D at A = at B = at C = at D C D
m1
（2）跨过有质量的圆盘两边的绳子中的张力不相等；
J 1 ML2 3
（2）
碰后细棒转动直至停止，受摩擦阻力矩作用
10
mv 1 L mv 2 L J （1）
J 1 ML2 （2）
碰后：
3
dm dx o
v1
x
任意质点所受阻力： df dN gdm gdx
任意质点所受阻力矩： dM f xdf
M f xdf
由角动量定理 L
L x dx g