江苏高考数学应用题题型归纳知识分享

GaoKao 应用题题型归纳
在备考中，需要重点关注以下几方面问题：
1.掌握常见函数如二次函数、三次函数、有理分式函数（尤其二次分式函数
、无理函数等最值的求法，用导数求函数最值要引起重视；
2.加强阅读理解能力的培养，对图形的辨认、识别、分析寻找等量关系式的训练要加强；
3.对于由图标(尤其表格)给出的函数应用题的训练要重视；
4.应用题的背景图形可能由平面多边形、空间多面体转为由平面曲线，如圆，抛物线等围成的图形；空间旋转体等的面积、体积的最值问题
5.熟悉应用题的解题过程：读题、建模、求解、评价、作答. “抓重点：等量关系是关键； 破难点：变量思想是主线.”
一、利润问题
1、某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．
（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
（2）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到．x 元．公司拟投入21(600)6
x -万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15
x 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入．．．与总投入．．．
之和？并求出此时商品的每件定价．
2、某小商品2012年的价格为8元/件,年销量为a 件，现经销商计划在2013年将该商品的价格降至5.5元/件到7.5元/件之间，经调查，顾客的期望价格为4元/件，经测算，该商品的价格下降后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格的差成反比，比例系数为k ，该商品的成本价格为3元/件。

（1）写出该商品价格下降后，经销商的年收益y 与实际价格x 的函数关系式。

（2）设2k
a =，当实际价格最低定为多少时，仍然可以保证经销商2013年的收益比2012年至少增长20%？
解：（1）设该商品价格下降后为x 元/件，销量增加到()4k a x +
-件，年收益()(3),5.57.54
k y a x x x =+-≤≤- ， （2）当2k a =时，有2()(3)(83)(120%)4
a
a x a x +
-≥-⨯+-解之得645x x ≥<≤或 又5.57.5x ≤≤所以67.5x ≤≤
因此当实际价格最低定为6元/件时，仍然可以保证经销商2013年的收益比2012年至少增长20%。

3.近年来,某企业每年消耗电费约24万元, 为了节能减排, 决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网, 安装这
种供电设备的工本费(单位: 万元)与太阳能电池板的面积(单位: 平方米)成正比, 比例系数约为0.5. 为了保证正常用电, 安装后采用太阳能和电能互补供电的模式. 假设在此模式下, 安装后该企业每年消耗的电费
C(单位:万元)与安装的这种太阳
能电池板的面积
x(单位:平方米)之间的函数关系是()(0,
20100
k
C x x k
x
=≥
+为常数). 记F为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该村15年共将消耗的电费之和.
(1)试解释
(0)
C
的实际意义, 并建立F关于
x的函数关系式;
(2)
当
x为多少平方米时, F取得最小值?最小值是多少万元?
4.某连锁分店销售某种商品,每件商品的成本为4元,并且每件商品需向总店交(13)
a a
≤≤元的管理费,预计当每件商品的售价为(79)
x x
≤≤元时,一年的销售量为2
(10)x
-万件．
（Ｉ）求该连锁分店一年的利润L（万元）与每件商品的售价x的函数关系式()
L x；
（II）当每件商品的售价为多少元时,该连锁分店一年的利润L最大,并求出L的最大值．
5.某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率P与日产量x（万件）之间大体满足关系：
1
,1,
6
2
,
3
x c
x
P
x c
⎧
≤≤
⎪⎪-
=⎨
⎪>
⎪⎩
（其中c为小于6的正常数）
（注：次品率=次品数/生产量，如0.1P =表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）
已知每生产1万件合格的仪器可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量. （1）试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T （万元）表示为日产量x （万件）的函数； （2）当日产量为多少时，可获得最大利润？ 解：（1）当x
c >时，23
P =，122103
3
T x x ∴=⋅-⋅=
当1x c ≤
≤时，1
6P x
=-，21192(1)2()1666x x T x x x x x
-∴=-
⋅⋅-⋅⋅=---
综上，日盈利额T （万元）与日产量x （万件）的函数关系为：
2
92,160,x x x c T x
x c ⎧-≤≤⎪
=-⎨⎪>⎩
（2）由（1）知，当x c >时，每天的盈利额为0 当1x c ≤≤时，2926x x T x -=-9152[(6)]6x x
=--+-15123≤-=
当且仅当3x =时取等号 所以()i 当36c ≤<时，max
3T =，此时3x =
()ii 当13c ≤<时，由222
224542(3)(9)(6)(6)x x x x T x x -+--'=
=
--知
函数2926x x T x -=
-在[1,3]上递增，2max 926c c T c
-∴=
-，此时x c =
综上，若36c ≤<，则当日产量为3万件时，可获得最大利润
若13c ≤<，则当日产量为c 万件时，可获得最大利润
6.为稳定房价,某地政府决定建造一批保障房供给社会.计划用1 600万元购得一块土地,在该土地上建造10幢楼房的住宅小区每幢楼的楼层数相同,且每层建筑面积均为 1 000平方米,每平方米的建筑费用与楼层有关,第x 层楼房每平方米的建筑费用为(kx +800)元(其中k 为常数) .经测算,若每幢楼为5层,则该小区每平方米的平均综合费用为1 270元.
(每平方米平均综合费用=购地费用+所有建筑费用
所有建筑面积).
(1)求k 的值;
(2)问要使该小区楼房每平方米的平均综合费用最低,应将这10幢楼房建成多少层?此时每平方米的平均综合费用为多少元? 解：(1)如果每幢楼为5层,那么所有建筑面积为10×1 000×5平方米,所有建筑费用为
[(k +800)+(2k +800)+(3 k +800)+(4k +800)+(5k +800)]×1 000×10,所以,
1270=16 000 000+［(k +800)+(2k +800)+(3k +800)+(4k +800)+(5k +800)］×1 000×10 10×1 000×5,解之得:k =50
(2)设小区每幢为n (n ∈N*)层时,每平方米平均综合费用为f (n ),由题设可知
f (n ) =
16 000 000+［(50 +800)+(100 +800)+…+(50n +800)］×1 000×10
10×1 000×n
=
1 600
n
+25n +825≥2 1 600×25+825=1225(元)
当且仅当
1 600
n
=25n ,即n =8时等号成立
7． 某单位决定对本单位职工实行年医疗费用报销制度,拟制定年医疗总费用在2万元至10万元(包括2万元和10万元)的报销方
案,该方案要求同时具备下列三个条件:①报销的医疗费用y (万元)随医疗总费用x (万元)增加而增加;②报销的医疗费用不得
低于医疗总费用的50%;③报销的医疗费用不得超过8万元.
(1)请你分析该单位能否采用函数模型y =0.05(x 2
+4x +8)作为报销方案;
(2)若该单位决定采用函数模型y =x -2ln x +a (a 为常数)作为报销方案,请你确定整数a 的值.(参考数据:ln2≈0.69,ln10≈2.3) 【解】(1)函数y =0.05(x 2
+4x +8)在[2,10]上是增函数,满足条件①, 当x =10时,y 有最大值7.4万元,小于8万元,满足条件③ ，
但当x =3时,y =2920<32,即y ≥x
2不恒成立,不满足条件②, 故该函数模型不符合该单位报销方案
(2)对于函数模型y =x -2ln x +a ,设f (x )= x -2ln x +a ,则f ´(x )=1-2x =x －2
x
≥0.
所以f (x )在[2,10]上是增函数,满足条件①, 由条件②,得x -2ln x +a ≥x 2,即a ≥2ln x -x
2
在x ∈[2,10]上恒成立,
令g (x )=2ln x -x 2,则g ´(x )=2x －12=4－x
2x
,由g ´(x )>0得x <4, ∴g (x )在(0,4)上增函数,在(4,10)上是减函数.
∴a ≥g (4)=2ln4-2=4ln2-2 ，由条件③,得f (10)=10-2ln10+a ≤8,解得a ≤2ln10-2 另一方面,由x -2ln x +a ≤x ,得a ≤2ln x 在x ∈[2,10]上恒成立, ∴a ≤2ln2, 综上所述,a 的取值范围为[4ln2-2,2ln2], 所以满足条件的整数a 的值为1 二、与几何图形有关的实际问题
1 .某个公园有个池塘，其形状为直角△ABC，∠C=90°，AB=200米，BC=100米．
(1)现在准备养一批供游客观赏的鱼，分别在AB 、BC 、CA 上取点D ，E ，F ，如图(1)，使得EF ‖AB ，EF⊥ED，在△DEF 喂食，求△DEF 面积S △DEF 的最大值；
(2)现在准备新建造一个荷塘，分别在AB ，BC ，CA 上取点D ，E ，F ，如图(2)，建造△DEF 连廊（不考虑宽度）供游客休憩，且使△DEF 为正三角形，设求△DEF 边长的最小值．
2.某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为ο
60（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为93平方米，且高度不低于3
米．记防洪堤横断面的腰长为x （米），外周长（梯形的上底线段．．．．．．．BC 与两．．
腰长的和．．．．）为y （米）.
⑴求
y 关于x 的函数关系式，并指出其定义域；
⑵要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长x 应在什么范围内？
⑶当防洪堤的腰长x 为多少米时，堤的上面与两侧面的水泥用料最省（即断面的外周长最小）？求此时外周长的值.
(第2题图）
C A
B
D
l
3、 如图，两座建筑物CD AB ,的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是9cm 和15cm ，从建筑物AB
的顶部
A 看建筑物CD 的视角︒=∠45CAD . (1) 求BC 的长度；
(2) 在线段BC 上取一点(P 点P 与点C B ,不重合），从点P 看这两座建筑物的视角分别为,,βα=∠=∠DPC APB 问点P 在
何处时，βα+最小？
4、某单位设计一个展览沙盘，现欲在沙盘平面内，布设一个对角线在l 上的四边形电气线路，如图所示．为充分利用现有材料，边BC ，CD 用一根5米长的材料弯折而成，边BA ，AD 用一根9米长的材料弯折而成，要求∠A 和∠C 互补，且AB ＝BC ．
（1）设AB ＝x 米，cosA ＝f(x)，求f(x)的解析式，并指出x 的取值范围； （2）求四边形ABCD 面积的最大值．
解：（1）在△ABD 中，由余弦定理得BD 2
＝AB 2
+AD 2
－2AB ·AD ·cosA ．
同理，在△CBD 中，BD 2
＝CB 2
+CD 2
－2CB ·CD ·cosC ．
因为∠A 和∠C 互补，所以AB 2
+AD 2
－2AB ·AD ·cosA ＝CB 2
+CD 2
－2CB ·CD ·cosC ＝CB 2
+CD 2
＋2CB ·CD ·cosA ． 即 x 2
+(9－x)2
－2 x(9－x) cosA ＝x 2
+(5－x)2
＋2 x(5－x) cosA ． 解得 cosA ＝2x ，即f( x)＝2
x ．其中x ∈(2，5)．
（2）四边形ABCD 的面积
A
B
D
C
P
β
α
第17题图
C
x
A
D
B
60o
S＝1
2
(AB·AD+ CB·CD)sinA＝
1
2
[x(5－x)+x(9－
x)]1－cos2A．
＝x(7－x)1－(
2
x
)2＝(x2－4)(7－x)2＝(x2－4)( x2－14x＋49)．
记g(x)＝(x2－4)( x2－14x＋49)，x∈(2，5)．
由g′(x)＝2x( x2－14x＋49)＋(x2－4)( 2 x－14)＝2(x－7)(2 x2－7 x－4)＝0，
解得x＝4(x＝7和x＝－
1
2
舍)．所以函数g(x)在区间(2，4)内单调递增，在区间(4，5)内单调递减．
因此g(x)的最大值为g(4)＝12×9＝108．所以S的最大值为108＝63．
5. 如图,有三个生活小区(均可看成点)分别位于,,
A B C三点处,AB AC
=,A到线段BC的距离
40
AO=,2
7
ABO
π
∠=(参考数据:
223
tan
7
π
≈). 今计划建一个生活垃圾中转站P,为方便运输,P准备建在线段AO(不含端点)上.
(1)设(040)
PO x x
=<<,试将P到三个小区距离的最远者S表示为x的函数,并求S的最小值；
(2)设2
(0)
7
PBO
π
αα
∠=<<,试将
P到三个小区的距离之和y表示为α的函数,并确定当α取何值时,可使y最小?
6360o的扇形的弧上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点,N M在OB上，设矩形PNMQ的面积为y,（1）按下列要求写出函数的关系式：
①设PN x
=，将y表示成x的函数关系式；
②设POBθ
∠=，将y表示成θ的函数关系式，
（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，求出y的最大值. P
A
Q
解：（1）①因为23ON
x =- ， 3
3
OM x =
， 所以2333MN
x x =--
，所以233(3),(0,)32
y x x x x =--∈. ②因为3sin PN θ=，3cos ON θ=，3
3sin sin OM θθ=
⨯=，所以3cos sin MN ON OM θθ=-=-，
所以3sin (3cos sin )y θθθ=-，
即
23sin cos 3sin y θθθ
=-，((0,))3
π
θ
∈
（2）选择
233sin cos 3sin 3sin(2)62y πθθθθ=-=+-，(0,)3πθ∈Q 52(,)666
πππ
θ∴+∈
所以max 3y
=
7、某企业有两个生产车间分别在A 、B 两个位置，A 车间有100名员工，B 车间有400名员工，现要在公路AC 上找一点D ，
修一条公路BD ，并在D 处建一个食堂，使得所有员工均在此食堂用餐，已知A 、B 、C 中任意两点间的距离均是1km ，设BDC α∠=，所有员工从车间到食堂步行的总路程为S . （1）写出S 关于α的函数表达式，并指出α的取值范围； （2）问食堂D 建在距离A 多远时，可使总路程S 最少？
解：（1）在BCD ∆中，∵
()
sin 60sin sin 120BD BC CD αα==
︒︒-， ∴3
2sin BD α
=，()sin 120sin CD αα︒-=.则()
sin 1201sin AD αα︒-=-.
()3
sin 120cos 42400100150503sin sin sin S ααααα︒-⎡⎤-=+-=-⎢⎥⎣⎦
g g ，其中233ππα≤< . （2）()22sin sin cos 4cos 14cos 503503sin sin S ααααα
αα
----'=
-=g g g
令0S '=，得1cos 4α=
. 当1
cos 4
α>时，0S '<，S 是α的单调减函数；
当1
cos 4
α<
时，0S '>，S 是α的单调增函数. ∴当1
cos 4
α
=
时，S 取得最小值. 此时，15sin α=
，
()31
cos sin sin 12013cos 2211sin sin 22sin AD ααααααα
+︒-=-=-=-
8、如图，ABC ∆是一块边长
m AC m AB 5,3==，m BC 7=的剩余角料.现要从中裁剪出一块面积最大的平行四边形用料
APQR ，要求顶点R Q P ,,分别在边CA BC AB ,,上.问点Q 在BC 边上的什么位置时，剪裁符合要求？并求这个最大值.
解：设BQ ＝x ，则CQ ＝7－x ，且0＜x ＜7.
由余弦定理，得A ＝120°，cosB ＝1114，cosC ＝1314， ∴sinB ＝5314，sinC ＝33
14.
在△PQB 中，由正弦定理，得PQ ＝xsinB sin120°.在△RQC 中，由正弦定理，得RQ ＝(7－x)sinC
sin120°.
∴S ▱APQR ＝PQ ·RQ ·sin120°＝
x(7－x)sinBsinC sin120°＝15398x(7－x)，当x ＝72时，取最大值153
8
.
故当Q 是BC 中点时，平行四边形APQR 面积最大，最大面积为153
8
米.
9、如图所示，某动物园要为刚入园的小老虎建造一间两面靠墙的三角形露天活动室，已知已有两面墙的夹角为60°（即60C ︒∠=）
，现有可供建造第三面围墙的材料6米（两面墙的长均大于6米），为了使得小老虎能健康成长，要求所建造的三角形露天活动室尽可能大，记ABC
θ∠=， 问当θ为多少时，所建造的三角形露天活动室的面积最大？
解：在ABC ∆中，由正弦定理：sin sin sin()
33
AC AB BC
ππθθ==
+ 化简得：43sin AC θ=⋅ 43sin()3BC πθ=⋅+ 所以1sin 23ABC S AC BC π
∆=⋅⋅
13
123sin sin()123sin (sin cos )3
22
πθθθθθ=⋅⋅+=⋅+
21cos 23
63(sin 3sin cos )63(sin 2)22
θθθθθ-=+⋅=+
163[sin(2)]26
π
θ=⋅+-
即63sin(2)336ABC S πθ∆=⋅-+2(0)3
π
θ<<
所以当2,6
2
π
π
θ
-
=
即3
π
θ=
时，max ()ABC S ∆=9
3
10. 如图，某海域中有甲、乙两艘测量船分别停留在相距
(
)
62+海里的M,N 两点，他们在同时观测岛屿上中国移动信号塔AB ，
设塔底延长线与海平面交于点O ．已知点M 在点O 的正东方向，点N 在点O 的南偏西︒15方向，22=ON 海里，在M 处测得塔底B 和塔顶A 的仰角分别为︒30和︒60． （1）求信号塔AB 的高度；
（2）乙船试图在线段ON 上选取一点P ，使得在点P 处观测信号塔AB 的视角最大，请判断这样的点P 是否存在，若存在，求出最大视角及OP 的长；若不存在，说明理由．
B
A
O M
N
第10题图
11 .如图，某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC ，其中OAE 是一个游泳池，计划在地块OABC 内修一条与池边AE 相切的直路l （宽度不计），切点为M ，并把该地块分为两部分．现以点O 为坐标原点，以线段OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，若池边AE 满足函数
22(02y x
x =-+≤≤的图象，且点M 到边OA 距离为24()33t t ≤≤．（1）当2
3
t =时，求直路
l 所在的直线方程；
（2）当t 为何值时，地块OABC 在直路l 不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？
12.如图，
,A B 为相距2km 的两个工厂，以AB 的中点O 为圆心，半径为2km 画圆弧。

MN
为圆弧上两点，且
,MA AB NB AB ⊥⊥ ，在圆弧MN 上一点P 处建一座学校。

学校P 受工厂A 的噪音影响度与AP 的平方成反比，比例系数为1，学校P 受工厂B 的噪音影响度与BP 的平方成反比，比例系数为4。

学校P 受两工厂的噪音影响度之和为y ，且设
AP xkm = 。

（1）求
()y f x = ，并求其定义域；
（2）当AP 为多少时，总噪音影响度最小？
13. 某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的抛物线一段．已知跳水板AB 长为2m ，跳水板距水面CD 的高BC 为3m ． 安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点A 处水平距hm （h ≥1）时达到距水面最大高度4m ．规定：以CD 为横轴，BC
N
P
为纵轴建立直角坐标系．
（1）当h=1时，求跳水曲线所在的抛物线方程；
（2）若跳水运动员在区域EF 内入水时才能达到比较好的训练效果，求此时h 的取值范围．
14、如图,某广场中间有一块扇形绿地OAB,其中O 为扇形所在圆的圆心,60AOB ∠=︒,广场管理部门欲在绿地上修建观光小路:
在»
AB 上选一点C,过C 修建与OB 平行的小路CD,与OA 平行的小路CE,问C 应选在何处,才能使得修建的道路CD 与CE 的总长最大,并说明理由.
A
· C
D
B
F E ·
2
3
5 6
2+h
学习资料
仅供学习与参考。