dsp第二章习题解

2．11习题
1.求下列各序列的序列傅里叶变换（DTFT ）:
（1）)2()(-=n n x δ （2）)7()2()(---=n u n u n x （3）)(3)(n u n x n -= （4）)1(3)(--=n u n x n
解 （1）[()]()j n
n DTFT x n x n e
ω∞
-=-∞
=
∑
2(2)j n
j n n e
e ωωδ∞
--=-∞
=
-=∑
（2）72()(2)(7)()()x n u n u n R n R n =---=-
[()]()j n
n DTFT x n x n e
ω∞
-=-∞
=
∑
[(2)(7)]j n
n u n u n e
ω∞
-=-∞=
---∑
6
1
j n
j n n n e
e ωω--===-∑∑
32s i n (7/2)
s i n s i n (/2)
s i n (/2)
j j e e ω
ωωωωω--=
- （3）[()]()j n
n DTFT x n x n e
ω∞
-=-∞
=
∑
3
()31
113
n
j n
n j n
n n j u n e
e e ωωω
∞
∞
----=-∞
=-=
==
-∑∑
（4）[()]()j n
n DTFT x n x n e
ω∞
-=-∞
=
∑
1
3(1)311111313
n
j n
n j n
n n j j u n e
e e e ωωω
ω∞
∞
--=-∞
=-=
--==-=---∑∑
2. 用)(ω
j e
X 和)(ωj e Y 分别表示)(n x 和)(n y 的序列傅里叶变换，求下列各序列的序列
傅里叶变换（DTFT ）:
(1))(n x - (2) )2(n x (3) )(*
n x (4) )()(n y n x * 解 （1） ()[()]()j j n
n X e DTFT x n x n e
ω
ω∞
-=-∞
==
∑
[()]()j n
n DTFT x n x n e
ω∞
-=-∞
-=
-∑
令m =－n ，代入上式，得
()()[()]()()()
j m
j m
m m j DTFT x n x m e
x m e
X e ωωω∞
∞
--=-∞
=-∞
--==
=∑∑
（2） ()[()]()j j n
n X e DTFT x n x n e
ω
ω∞
-=-∞
==
∑
[(2)](2)j n
n DTFT x n x n e
ω∞
-=-∞
=
∑
令m =2n ，代入上式，得/2[()]()j m m DTFT x m x m e ω-=
∑
取偶数。

令
0()()1
[()(1)()]2
n m x m x n m x n x n ⎧=⎨
⎩=+-取奇数取偶数
(/2)()()2
21
[(2)][()(1)()]2
11()()22
n j m n j j DTFT x n x n x n e X e X e ωω
ω
π∞
-=-∞-=
+-=+∑
（3）()[()]()j j n
n X e DTFT x n x n e
ω
ω∞
-=-∞
==
∑
()()[()]()[()]()
j n
n j n n j DTFT x n x n e
x n e X e ωωω∞
*
*
-=-∞∞
--*=-∞
*-=
==∑∑
（4）()[()]()j j n
n X e DTFT x n x n e
ω
ω∞
-=-∞==
∑
()[()]()j j n
n Y e DTFT y n y n e
ω
ω∞
-=-∞
==
∑
[()()]()()()()j n
n j n
n m DTFT x n y n x n y n e
x m y n m e ωω∞
-=-∞
∞∞
-=-∞=-∞
*=*=
-∑∑∑
令n-m=k ，代入上式，得：
[()()]()()()()()()
j m j k n k j m
j k
n k j j DTFT x n y n x m y k e e x m e
y k e X e Y e ωωωωωω∞∞
--=-∞=-∞
∞
∞
--=-∞
=-∞
*=
=
=∑∑
∑∑
3.若 ⎩
⎨⎧=-0)(0
n j j e e X ωω
πωωωω≤<<00,,
求)(ω
j e
X 的IDTFT 。

解 1()[()]()2j j j n x n IDTFT X e X e e d π
ω
ωωπ
ωπ
-
==⎰
00
000sin ()
12()
j n j n n n e e d n n ωωωω
ωωπ
π--
-=
=
-⎰
4.设)2()()(-+=n n n x δδ，将)(n x 以为6为周期进行周期延拓，形成)(~n x ，画出)
(n x
和)(~n x 的图形并求他们的序列傅里叶变换（DTFT ）。

解 2[
()][()(2)]1j n
j n D T F T x n n n
e e ωω
δδ∞
--=-∞
=+-=+
∑
()()
m x n x n N m ∞
=-∞
=
+∑
210
210
2222[()]()()()()[()(2)]1k N j kn N
n N j kn
N
n j k N
DTFT x n X k k N
N
X k x n e
n n e e
ππππ
πδωδδ∞
=-∞
--=--=-=
-
==+-=+∑
∑∑其中　
以上表达式中的N=6。

5.若)()(4n R n x =，求它的共轭对称序列)(n x e 和共轭反对称序列)(n x o ，画出他们的图形并分别求其序列傅里叶变换（DTFT ）。

解 4411
()[()*()][()()]22e x n x n x n R n R n =
+-=+- 11
[(3)(4)]()22
u n u n n δ=+--+
4411
()[()*()][()()]
22
11
[(3)(2)(1)][(1)(2)(3)]
22
o x n x n x n R n R n n n n n n n δδδδδδ=--=--=-++++++-+-+-
4
4
330033
2
2
1
[()][()()]21[]21sin 2sin 2[]
2
sin /2sin /2
3sin 2cos 2sin /2j n
e n j n j n n n j j DTFT x n R n R n e
e e e e
ωωωωωω
ω
ωωωω
ω∞
-=-∞
-==-=
+-=+=+=∑∑∑
443300332
2
1
[()][()()]2
1[]21sin 2sin 2[]
2
sin /2sin /2
3sin 2sin 2sin /2j n o n j n j n
n n j j DTFT x n R n R n e e e e e
j ωωωωωω
ω
ωωω
ω
ω∞
-=-∞-==-=
--=-=-=-∑∑∑
6. 若序列)(n h 是实因果序列，其序列傅里叶变换的实部为：ωω
2cos 1)(+=j R e H
求序列)(n h 及其序列傅里叶变换)(ω
j e
H 。

解 1
()[()](1cos 2)2j j n
e R h n IDTFT H e e
d π
ω
ωπωωπ
-
==
+⎰
2211[1()]22
11
()(2)(2)
22j j j n e e e d n n n π
ωωωπωπ
δδδ--=
++=+-++⎰
对因果实序列有：
00()()
02()0
e e
n h n h n n h n n <⎧⎪
==⎨⎪>⎩ ()()(2)h n n n δδ=+-
2[()][()(2)]1j n j n DTFT h n n n e e ωωδδ∞
--=-∞
=
+-=+∑
7. 若序列)(n h 是实因果序列，其序列傅里叶变换的虚部为：ωω
2sin )(-=j I e H
求序列)(n h 及其序列傅里叶变换)(ω
j e H 。

解 1
()[(
)](s i n 2)2j j n
o I h n IDTFT H e e d π
ω
ωπ
ωωπ
-
==-⎰
2211()22
11
(2)(2)22j j j n
e e e d n n πωωωπωπδδ--=
-=--+⎰
对因果实序列有：
00()()
02()0
o
n h n h n n h n n <⎧⎪
==⎨⎪>⎩ ()()(2)h n n n δδ=+-
2[()][()(2)]1j n j n DTFT h n n n e e ωωδδ∞
--=-∞
=
+-=+∑
8.若序列)(n h 是实因果序列，其序列傅里叶变换的实部如下：
ω
ω
ωcos 21cos 1)(2
a a a e H j R -+-=
1<a 求序列)(n h 及其序列傅里叶变换)(ω
j e
H 。

解 ()[()]j e R h n IDTFT H e ω
=
由序列傅里叶变换与z 变换的关系()()j j z e H z H e ωω
==得：
222
1c o s
()()
12c o s
11()2112()
211()21()
j j R R z e j j j j j j j j a H z H e a a a
e e a a e e a e e a a e e ωωωωωω
ωωωωωω=-----==+--+=
+-+-+=+-+
1121
11111()1()22()1()(1)(1)0.50.5(1)(1)
R a z z a z z H z a a z z az az az az ------+-+==+-+--=+
-- ()[()]e R h n IZT H z =且()e h n 为双边序列，上式的收敛域为1a z a -<< ()0.5()0.5()n n e h n a u n a u n -=-+
00()()
02()0
()(1)()
e e
n n n h n h n n h n n n a u n a u n δ<⎧⎪
==⎨⎪>⎩=+-=
1
[()]()1n j n j n DTFT h n a u n e ae
ωω
∞
--=-∞
=
=
-∑
9.若序列)(n h 是实因果序列，且1)0(=h ；其序列傅里叶变换的虚部如下：
ω
ω
ωcos 21sin )(2a a a e H j I -+-=
1<a
求序列)(n h 及其序列傅里叶变换)(ω
j e
H 。

解 ()[()]j o I h n IDTFT H e ω
=
由序列傅里叶变换与z 变换的关系()()j j z e H z H e ωω==得：
222s i n ()()
12c o s
1()21
12()
21
()21()
j j I I z e j j j j j j j j a H z H e a a a
e e j
a a e e a e e j a a e e ωωωωωωωωωωω
ω=-----==+---=
+-+--=
+-+
112111
11()()22()1()(1)(1)111[]2(1)(1)
I a z z a z z j j
H z a a z z az az j az az ------
---==
+-+--=--- ()[()]o I h n IZT H z =且()o h n 为双边序列，上式的收敛域为1a z a -<<
1()[()0.5()]2n
n o h n a u n a u n j
-=
-+ 00()(0)()()
02()0
()(1)()o o
n n n h n h n h n n h n n n a u n a u n δδ<⎧⎪
=+=⎨⎪>⎩=+-=
1
[()]()1n j n j n DTFT h n a u n e ae ωω
∞
--=-∞
=
=
-∑
10.已知t f t x a 02cos 2
1
)(π=
，式中KHz f 10=，以采样频率KHz f s 3=对进行采样， （1） 写出)(t x a 的傅里叶变换表示式)(Ωj X a ；
（2） 写出抽样信号)(ˆt x
a 和离散信号)(n x 的表示式； （3） 分别求)(ˆt x
a 的傅立叶变换和)(n x 的序列傅里叶变换。

解 （1）00()[(2)(2)]2
a X j f f π
δπδπΩ=
Ω++Ω-
（2）01ˆ()()()cos(2)()2a a m m x
t x t t mT f mT t mT δπδ∞
∞
=-∞
=-∞=⋅-=-∑∑ 其中 11
3
s T ms f =
= 01
1
2()()c o s (2)
c o s ()
223
a t n T
x n x t f n T n ππ==== (3) ˆ[()][()()]a a m FT x
t FT x t t mT δ∞
=-∞
=⋅-∑
0000122[(2)(2)]()2222[(2)(2)]2n n f f n
T T
n
f n f T
T T
πππ
δπδπδππ
ππδπδπ∞
=-∞
∞
=-∞
=⨯Ω++Ω-*Ω-=
Ω-++Ω--∑∑
因为12
()cos()23
x n n π=为周期信号，不满足绝对可和条件，不能直接用定义求序列傅里叶变换。

12
()cos()23
x n n π=的傅里叶级数为
21
012[()]cos()[()()]2
3433N j kn N
n N N N DFS x n n e
k k π
πδδ--===-++∑ 21
01
()[()()]433N j kn N
k N N N x n k k e N
πδδ-==
-++∑ 对上式两边求序列傅里叶变换得：
2101[()][()()][]433
N j kn N
k N N DTFT x n k k DTFT e π
δδ-==-++∑
1012[()()]2(2)433N k r N N k k k r N πδδπδωπ-∞
==-∞
=-++--∑∑
22[(2)(2)]
233
22[(2)(2)]233r r N N r r N N r r π
ππδωπδωππππδωπδωπ∞
=-∞∞=-∞=
-
⨯-++⨯-=--++-∑∑
11.求下列各序列的Z 变换和收敛域： （1）)(3n u n - （2）)1(3---n u n
（3）)(3n u n -- （4）)(3n u n
（5）)1(3--n u n
（6）)(3n u n
-
解 （1） 110
[3()]3
()(3)n
n
n
n n n ZT u n u n z
z ∞
∞
-----=-∞
==
=∑∑
1111133
z z --=
>-
（2） 1
1
11
[3(1)]3
(1)(3
)(3)n
n
n
n
n n n n ZT u n u n z
z z ∞
-∞
-----=-∞
=-∞
=--=
--=
=∑∑∑
1111133
z z --=-
<-
（3） 0
1
10
[3()]3
()(3
)(3)n
n
n
n
n n n n ZT u n u n z
z z ∞
∞
-----=-∞
=-∞
=-=
-=
=∑∑∑
11133
z z =
<-
（4） 10[3()]3()(3)n
n
n
n n n ZT u n u n z
z ∞
∞
--=-∞
==
=∑∑
1
1313z z -=
>-
（5） 1
111
[3(1)]3(1)(3)(3)n
n
n n n n ZT u n u n z
z
z ∞
-∞
---=-∞
=-∞
=--=
--=
=∑∑∑
1
1313z z -=-
<-
（6） 0
110
[3()]3()(3)(3)n
n
n
n
n n n n ZT u n u n z
z
z ∞
∞
---=-∞
=-∞
=-=
-=
=∑∑∑
11313z z
-=
<-
12. 求下列各序列的Z 变换和收敛域，并在Z 平面上画出零、极点分布图。

（1）)1(+n δ
（2）)4()()(--=n u n u n x 解 （1）[(1)](1)n
n ZT n n z
z z δδ∞
-=-∞
+=
+=<∞∑
（2）123
[()][()(4)]10n
n ZT x n u n u n z
z z z z ∞
----=-∞
=
--=+++≠∑
13.求下列)(z X 的逆变换)(n x ：
（1）21
,2
111)(1
>+=
-z z z X （2）21,8
1431211)(2
11
>++-=---z z z z z X
（3）21
,2
21)(11>--=--z z z z X
解 （1）11
()[()]()()2
n x n ZT X z u n -==-
（2）1
1211
11432()31111114824
z X z z z z z ------==-++++ 111
()[()]4()()3()()24n n x n ZT X z u n u n -==---
（3）1111
11113311211222()(1)112221122
z z z z X z z z z ----------==-⋅=-----
111131
()[()]()()(1)2222
n x n ZT X z n u n δ--==-+⋅-
1131
()()(1)242
n n u n δ-=-+-
14.已知
2
11
2523)(---+--=
z z z z X
求出)(z X 对应的所有可能的序列。

解 11
121121
3
311
2()51252121122z z X z z z z z z z -----------===+-+--+-
系统可能的收敛域为：112,2,22z z z ><<<
系统对应的时域信号分别为：
11
()[()]2()()()2n n x n ZT X z u n u n -==-+
11()[()]2(1)()()
2n n
x n ZT X z u n u n -==--+ 11
()[()]2(1)()(1)2n n x n ZT X z u n u n -==-----
15.设线性时不变系统由下面的差分方程描述：
)1(8.0)()1(5.0)(-++-=n x n x n y n y
（1）求系统的系统函数)(z H ，并画出零极点分布图；
（2）限定系统是因果的，确定)(z H 的收敛域，求出系统的单位脉冲响应)(n h ；
（3）限定系统是稳定的，确定)(z H 的收敛域，求出系统的单位脉冲响应)(n h 。

解 （1） [()][0.5(1)()0.8(1)]ZT y n ZT y n x n x n =-++-
1111
()0.5()()0.8()
10.8()10.5Y z z Y z X z z X z z H z z ----=+++=-
零点： z= - 0.8，极点：z=0.5
（2）若系统为因果系统，收敛域为1
2z >，
11
1()[()]() 1.3()(1)2n h n ZT H z n u n δ--==+-
（3）若系统为稳定系统，收敛域为1
2z >
111
()[()]() 1.3()(1)2n h n ZT H z n u n δ--==+-
16. 设线性时不变因果系统由下面的差分方程描述：
)1(5.0)()1()2(8.0)(-++---=n x n x n y n y n y
（1）求系统的系统函数)(z H ，并画出零极点分布图；
（2）确定)(z H 的收敛域，求出系统的单位脉冲响应)(n h ；
（3）写出系统传输函数)(ωj e H 。

解 （1） [()][0.8(2)(1)()0.5(1)]ZT y n ZT y n y n x n x n =---++-
2111
12
()0.8()()()0.5()
10.5()10.8Y z z Y z z Y z X z z X z z H z z z ------=-+++=+-
零点：120,0.5z z ==-
极点：120.5, 1.5z z =≈=≈-
（2）收敛域 1.5z >
1
121110.5111
()()10.8210.51 1.5z H z z z z z -----+==++--+ 11
()[()][0.5( 1.5)]()2n n h n ZT H z u n -==+-
（3） 1
122
10.510.5()()10.810.8j j j j j z e z j z e H e H z z z e e ωω
ωωω
ω------==++===+-+-。