dsp第二章习题解
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2．11习题
1.求下列各序列的序列傅里叶变换（DTFT ）:
（1）)2()(-=n n x δ （2）)7()2()(---=n u n u n x （3）)(3)(n u n x n -= （4）)1(3)(--=n u n x n
解 （1）[()]()j n
n DTFT x n x n e
ω∞
-=-∞
=
∑
2(2)j n
j n n e
e ωωδ∞
--=-∞
=
-=∑
（2）72()(2)(7)()()x n u n u n R n R n =---=-
[()]()j n
n DTFT x n x n e
ω∞
-=-∞
=
∑
[(2)(7)]j n
n u n u n e
ω∞
-=-∞=
---∑
6
1
j n
j n n n e
e ωω--===-∑∑
32s i n (7/2)
s i n s i n (/2)
s i n (/2)
j j e e ω
ωωωωω--=
- （3）[()]()j n
n DTFT x n x n e
ω∞
-=-∞
=
∑
3
()31
113
n
j n
n j n
n n j u n e
e e ωωω
∞
∞
----=-∞
=-=
==
-∑∑
（4）[()]()j n
n DTFT x n x n e
ω∞
-=-∞
=
∑
1
3(1)311111313
n
j n
n j n
n n j j u n e
e e e ωωω
ω∞
∞
--=-∞
=-=
--==-=---∑∑
2. 用)(ω
j e
X 和)(ωj e Y 分别表示)(n x 和)(n y 的序列傅里叶变换，求下列各序列的序列
傅里叶变换（DTFT ）:
(1))(n x - (2) )2(n x (3) )(*
n x (4) )()(n y n x * 解 （1） ()[()]()j j n
n X e DTFT x n x n e
ω
ω∞
-=-∞
==
∑
[()]()j n
n DTFT x n x n e
ω∞
-=-∞
-=
-∑
令m =－n ，代入上式，得
()()[()]()()()
j m
j m
m m j DTFT x n x m e
x m e
X e ωωω∞
∞
--=-∞
=-∞
--==
=∑∑
（2） ()[()]()j j n
n X e DTFT x n x n e
ω
ω∞
-=-∞
==
∑
[(2)](2)j n
n DTFT x n x n e
ω∞
-=-∞
=
∑
令m =2n ，代入上式，得/2[()]()j m m DTFT x m x m e ω-=
∑
取偶数
。
令
0()()1
[()(1)()]2
n m x m x n m x n x n ⎧=⎨
⎩=+-取奇数取偶数
(/2)()()2
21
[(2)][()(1)()]2
11()()22
n j m n j j DTFT x n x n x n e X e X e ωω
ω
π∞
-=-∞-=
+-=+∑
（3）()[()]()j j n
n X e DTFT x n x n e
ω
ω∞
-=-∞
==
∑
()()[()]()[()]()
j n
n j n n j DTFT x n x n e
x n e X e ωωω∞
*
*
-=-∞∞
--*=-∞
*-=
==∑∑
（4）()[()]()j j n
n X e DTFT x n x n e
ω
ω∞
-=-∞==
∑
()[()]()j j n
n Y e DTFT y n y n e
ω
ω∞
-=-∞
==
∑
[()()]()()()()j n
n j n
n m DTFT x n y n x n y n e
x m y n m e ωω∞
-=-∞
∞∞
-=-∞=-∞
*=*=
-∑∑∑
令n-m=k ，代入上式，得：
[()()]()()()()()()
j m j k n k j m
j k
n k j j DTFT x n y n x m y k e e x m e
y k e X e Y e ωωωωωω∞∞
--=-∞=-∞
∞
∞
--=-∞
=-∞
*=
=
=∑∑
∑∑
3.若 ⎩
⎨⎧=-0)(0
n j j e e X ωω
πωωωω≤<<00,,
求)(ω
j e
X 的IDTFT 。
解 1()[()]()2j j j n x n IDTFT X e X e e d π
ω
ωωπ
ωπ
-
==⎰
00
000sin ()
12()
j n j n n n e e d n n ωωωω
ωωπ
π--
-=
=
-⎰
4.设)2()()(-+=n n n x δδ，将)(n x 以为6为周期进行周期延拓，形成)(~n x ，画出)
(n x