1.3.1 函数的单调性123

上是减函数。
2、单调性与单调区间的定义：
如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函
数，那么就说函数在这一区间上具有(严格的)
单调性，区间D叫做函数f(x)的单调区间。
问题探究：
1、定义在
上的函数 ，若存在
使得
时有
那么 在
函数，对吗？
上是增
2、若 在区间A上为减函数，在区间B上也为减函数，
则在
上也为减函数，对吗？
题型四：抽象函数的问题
４、已知
是定义在
上的增函数，且
解不等式：
5、已知函数
的定义域是R，且
（1）求
的值；
（2）求证：
是定义在R上增函数。
6.已知定义在 上的函数 同时满足下列三个条件：
（a）
;（b）对任意
都有
；（c）
；
（1）求
的值；
（2）证明
在 上为减函数；
课堂小结： 1. 函数单调性定义 2、函数单调区间的概念
方法五：单调法----- 先判定函数在区间上单调性, 再求得最值
求下列函数的值域
方 法 六 ： 换 元 法
有关最值讨论题
【例6】求f(x)=x2-2ax+2在 [ 2,4 ]上的最小值.
解:f (x) = (x-a) 2+2-a 2,
① 当a＜2时, f(x)在[ 2,4 ]上是增函数,
∴ f(x)min=f(2)=6－4a; ②当2≤a＜4 时，∴ f(x)min=f(a)=2－a2. ③当a≥4时, f(x)在[2,4]上是减函数.
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果 存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥M; （2）存在x0∈I，使得f(x0) = M 那么，称M是函数y=f(x)的最小值
注意：
1、函数最大（小）值首先应该是某一个函数 值，即存在x0∈I，使得f(x0) = M；
2、函数最大（小）值应该是所有函数值中最大 （小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M （f(x)≥M）．
的单调性相反；
③在公共区间内，增函数加增函数仍为增函数；减函 数加减函数仍为减函数；
④函数 区间上函数
在区间D上具有单调性，则在区间D的子 仍具有相同的单调性。
1.函数
的单调减区间为_[__43_,__.)
2.函数y=|2x-1|的单调增区间是_[_12_,___.)
3.函数
的单调区间.
题型三：已知函数的单调性求解一些问题 一起练一练：
要了解某函数在某一区间上是否具有单调性，从图象上进 行观察是一种常用的方法，但这种方法比较粗略。严格地 说，它还需要进行证明。
方法一：通过构图观察函数的单调区间
图象法是求函数的单调区间的种重要方 法!充分体现了数形结合的思想的重要性!
严谨、求实的学习生活态度是一个人成功 的关键!
切莫得意忘形!
例3、求下列函数的单调区间
(2)
1 、说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上 的单调性；
2 、 指出图象的最高点或最低点，并说明它能体 现函数的什么特征？
y
y
2
-1 o x
o
x
知识要点3、函数的最大（小）值
1．最大值
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果 存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M; （2）存在x0∈I，使得f(x0) = M 那么，称M是函数y=f(x)的最大值 2．最小值
1 234
比较f(1), f(2), f(3),
1,2,3,4在区间(0,+∞)上. 并且1<2<3<4,
得到f(1)<f(2)<f(3)<f(4)
结论:一般地,对函数f(x)=x2
x 如果x1,x2,x3,x4,在区间 (0,+∞)上,并且x1<x2<x3<x4, 则有f(x1)<f(x2)<f(x3)<f(x4)
题型四：抽象函数的问题 导学教程P19课堂限时巩固训练
1.3.1 函数的单调性 ---函数的最大(小)值 （第三课时）
•（一）创设情景，揭示课题．
• 【1】画出下列函数的图象，指出图象的最高点 或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？
•①
②
•③
④
画出下列函数的草图，并根据图象解答下列问题：
(1)
函数单调性的简单性质：
①函数
的单调性与函数
的单调性相反；
②当 函数
恒为正或恒为负时， 的单调性与函数
的单调性相反；
③在公共区间内，增函数加增函数仍为增函数；减函
数加减函数仍为减函数；
④函数
在区间D上具有单调性，则在区间D的子
区间上函数
仍具有相同的单调性。
知识应用：
题型一：证明或判断函数单调性 题型二：求函数的单调区间 方法一：通过构图观察函数的单调区间 方二：根据已知函数的单调性求一些函数的单调区间 题型三：已知函数的单调性求解一些问题
设点 作差 变形
定号 判断
变形这步是关键----常变为一些因式的积或商（目 的是有利于判断其差的符号）。
课堂练习：
1、 利用定义证明函数
上
是增函数。
2、 利用定义证明函数 减函数。
上是
感悟：一个函数在不同的区间上可以有不同 的单调性。
问题探究：
讨论函数
在区间上 的单调性.
1.增函数、减函数的定义； 2.图象法判断函数的单调性：
递减,则a的取值范围是………………( D )
A.a≥3
B.a≤3
C.a≥-3
D.a≤-3
【2】在已知函数f(x)=4x2-mx+1,在(-∞,-2]
上递减,在[-2,+∞)上递增,则f(x)在[1,2]上的值
域_[_2_1_,_4_9_]_.
【3】已知f(x)是R上的增函数, 若a+b>0,则 有f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b).
（4）单调区间的左右端点取不取——端点有定义取， 端点没定义坚决不取！
思考：下列命题中不正确的有（—1—）—（——2—）（3） (1)已知函数Y f (x)的两个递减区间是D1, D2， 则f (x)在D1 D2上也是递减的。 (2)函数y 2x 3在x 4和x 5上是增函数。 (3)若函数Y f (x)在区间[a, b]上满足 :
例3：“菊花”烟花是最壮观的烟花之一。制造时一般
是期望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度
hm与时间ts之间的关系
，
那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距
地面的高度是多少（精确到1m）？
• 例4．求函数
在区间[2，6] 上的
最大值和最小值．
题型五、求函数的最大(小)值或值域
例5.求函数
（2）说函数的单调区间一定要指明在哪个区间上。
（3）单调区间的左右端点取不取——端点有定义 取没定义坚决不取
题型一：证明或判断函数单调性
定义法证明函数在某区间上的单调性的常见步骤：
设点 作差
变形这步是关键---- 变形
常变为一些因式的积或 商（目的是有利于判断 其差的符号）。
定号 判断
讨论函数
在区间上 的单调性.
知识要点：
1、增函数与减函数的定义:
如果对于定义域I内某个区间D上的任意 两个自变量的值 x1，x2，当x1＜x2时，都有 f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上
是增函数。
如果对于定义域I内某个区间D上的任意 两个自变量的值 x1，x2 ，当x1＜x2时，都 有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D
m n [a, b]; f (m) f (n). 则f (x)在[a，b]上是增函数。
知识应用：
题型一：证明或判断函数单调性
例：物理学中的玻意尔定律 （k为正常 数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体 积V减小时，压强将增大。试用函数的单调性 证明之。
题型一：证明或判断函数单调性
定义法证明函数在某区间上的单调性的常见步骤：
3、若 的增区间为 与 在 上为增函数有 区别吗？
定义的理解：
（1）增函数、减函数的概念中， x1，x2 是某个区间M上 的任意两个自变量值，不是两个特殊的值。
（2）函数的单调性也叫函数的增减性。
（3）函数的单调区间是相对函数定义域的子区间而言， 它是一个局部概念。函数在其定义内的每个子区间都为 增（减），但在整个定义域内不一定为增（减）。所以 说函数的单调区间一定要指明在哪个区间上。
2010年10月19日
上升 增函数的图象从左到右 下降 减函数的图象从左到右
3.利用定义证明函数单调性的步骤:
设值 作差 变形 定号 得出结论
知
学
识 的
函数的单调性
习 生
拥
活
有
要
要 单
（第二课时）
和 谐
调
向
递
上
增
复习引入:
1. 函数单调性定义
2、函数单调区间的概念 （1）函数的单调区间是相对函数定义域的子区间而 言。函数在其定义内的每个子区间都为增（减），但 在整个定义域内不一定为增（减）。
∴ f(x)min=f(4) = 18－8a.
6 4a,
f
( x)min
2
a2,
18 8a,
(a 2), (2 ≤ a 4),
a ≥ 4.
练习:已知函数
在区间
上的最小值和最大值分别为
【能力提升】--------恒成立问题 例8.
变式训练:
教材P39 A组T4、5、6. 教材P39 B组T1.
题型二：求函数的单调区间
例1：如图是定义在闭区间[-5,5]上的函数y=f(x)的图象， 根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一个单调区 间上，y=f(x)是增函数还是减函数。
答：函数y=f(x)的单调区间
有： [-5,-2),[-2,1), [1,3), [3,5]; 其中 单调减区间是 [-5,-2), [1,3) ， 单调增区间是 [-2,1), [3,5] 。
跟踪训练：
作出下列函数的图象并指点出函数的单调区间
方法二：通过已知（学过）的函数直接写出单调区间 例4、指出下列函数的单调区间
方二：根据已知函数的单调性求一些函数的单调区间
练习：求下列函数的单调增区间
函数单调性的简单性质：
①函数
的单调性与函数
的单调性相反；
②当
恒为正或恒为负时，
函数
的单调性与函数
1.3.1函数的单调性
(第一课时)
观察下图中各个函数，说说它们的变化规律。 规定从左到右来看函数的变化趋势。
f(x)=x2 y
你能说出这个函 数的函数值的变
化情况吗?
在y轴的左边,函数值随
0
x 着x的增大而减小.
在y轴的右边.函数值随 着x的增大而增大.
若
f(4)的大小.
y 16
9 4 1 0
探利究用问函题数：的单调性比较大小
1、如果函数
对任意的
试比较
的大小．
2.已知函数f(x)在(0,+∞)上是减函数,则
的大小关系为___________.
3、已知函数
是
上的增函数，且
4.函数y=f(x)是定义在(-1,1)上的减函数,若f(2-a) > f(3-a), 求实数a 的取值范围
5、解方程：
求函数的值域(或最值)的常见方法
方法一：观察法----- 直接据函数的定义域及表达 式,结函数性质观察求得
方法二：配方法----- 针对关于变元(式)的二次函数
方法三：化分子为常数（分离常数）法------
针对关于变元(式)的一次分式函数
方法四：“△”法-- 针对关于变元的二次分式函
---
数且定义域为R
（1）函数
在（-∞，+∞）上单调递减，
则实数a的取值范围是
；
（2）函数
在区间
上Biblioteka Baidu调递增，
且在区间
上单调递减，
则实数m的取值范围是
；
（3）函数
在区间
则实数m的取值范围是
上单调递增， ；
解题后体会：知含参函数的单调性求参数的取值范围
变式训练： 已知函数 上单调递增，则实数a的取值范围是
在区间 ；
【1】函数f(x)=x2+4ax+2在区间(-∞,6]内
的最大值.
分析:设 则
确定
正负号的关键,是确定
的正负号.
由于x1, x2在同一区间内,
要使
则需
要使
则需
解：∵函数
在[2,4]上是减函数.
所以f(x)在[2,4]上有最大值,
∵函数
在[4,10]上是增函数.
所以f(x)在[4,10]上有最大值,
所以函数f(x)在[2,10]上的最大值是 求函数的最大(小)值或值域的常用方法有哪些?