数理统计第二章抽样分布2.8节完全统计量

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n k ( k ) 0， 0< k 0 k
n
上式左边是 的多项式，因此必然有
n ( k ) =0，k 0,1, , n k
即 (k ) 0, k 0,1,
n
,n
因此T ( X )= X i 是完全(完备)统计量.
i 1 k
=(1 , 2 ,
, k ) *
为指数族，令 T ( X ) (T1 ( X ), T2 ( X ),
, Tk ( X ))
若自然参数空间*作为Rk的子集有内点，则
T ( X ) (T1 ( X ), T2 ( X ),
, Tk ( X ))是完全统计量.
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例2.8.4(例2.8.1续)设X=(X1,X2,…,Xn)是从总体 n b(1, ) 中抽取的样本，则 T ( X )= X i i 1 是完全统计量(利用定理2.8.1). 证明:将样本X ( X 1 , X 2 , , X n )的联合分布
对一切
的 (T ( X ))，都有
P ( (T ( X )) 0) 1 对一切
则称T ( X )为一完全统计量(完备统计量).
若T ( X )为一完全统计量， 则它的任一函数g(T )也是完全统计量.
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例2.8.1设X=(X1,X2,…,Xn)是从总体 b(1, ) n 中抽取的样本，则 T ( X )= X i i 1 是完全统计量.
表示为指数族的自然形式(标准形式)
f ( x , ) T ( x ) (1 )nT ( X ) =(1+e ) n exp{T ( x )}h( x ) 其中h( x ) 1, log ，自然参数空间为 1 由于*有内点， * ={ :-< <}=(-, )
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h( x ) 1，1 = / , 2
2
1 2
2
, ( 1 , 2 )
自然参数空间为
={ (1 , 2 ):- <1 < , - < 2 <0}
*
由于*有内点，
因此根据定理2.8.1, T ( X ) ( X i , X i2 )为完全统计量.
i 1 i 1 n n
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例2.8.6 验证一个统计量不是完全统计量
设X ( X 1 , X 2 , , X n )是从均匀分布U ( 1/ 2, 1/ 2) 中抽取的样本，则T ( X ) ( X (1) , X ( n ) )是充分统计量， 但不是完全统计量.
T ( X ) ( X (1) , X ( n ) )的充分性在例2.7.8中已证. 证明： 下证明其不是完全统计量. 要证明一个统计量T ( X )不是完全的，只要 找到一个实函数 ( t )使得 E ( (T )) 0
n k n k ( k ) (1 ) 0, k 0 k
n
n k
0< 1

n (k ) 0， 0< 1 k 0 k 1
令

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n
=
则上式等价于
n k ( k ) 0， 0< k 0 k
i 1
6
例2.8.2设X=(X1,X2,…,Xn)是从均匀分布 U (0, ) 中抽取的样本，则 T ( X )=X ( n ) 是完全统计量.
证明：T ( X )=X ( n )的密度为
nt n1 / n ,0 t g ( t )= 其它 0,
设 (t )是任一实函数，满足
证明：显然T ( X )= X i ~ b( n, )
n k n k P (T ( X ) k ) (1 ) , k 0,1, , n k 设 (t )是任一实函数，满足
E (T ( X )) 0, 对一切0< 1
4
n
i 1
E (T ( X )) 0, 对一切0< 1
n 1
( )=0，对一切 0
即 (t )=0，对一切t 0
因此T ( X )=X ( n )是完全(完备)统计量.
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2.8.2 指数族中统计量的完全性
定理2.8.1:设样本X ( X1 , X 2 , , X n )的概率函数为
f ( x , ) C ( )exp{ iTi ( x )}h( x )
i 1 i 1 n n
证明：根据例2.6.6可知样本X的分布属于指数族， 其自然形式(标准形式)为
f ( x , ) C * ( )exp{1T1 ( x ) 2T2 ( x )}h( x )
其中
h( x ) 1，1 = / , 2
2
1 2
2
, (1 , 2 )
E (T ( X )) 0, 对一切0< 1
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E (T ( X )) 0, 对一切0< 1
n


n


0
( t )t
n 1
n 1
dt =0，对一切 0



0
(t )t
dt =0，对一切 0
对上式两边关于 求导得到
( )=0，对一切 0
但是 (T ) 0，a.e. P 是不成立的即可.
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令Yi X i ( 1/ 2), i 1, 2,
,n
则 Y1 , Y2 ,
, Yn i .i .d .～U (0,1)
与 无关
而
Z X ( n ) X (1) Y(n ) Y(1)
找常数a b, 使得
的分布也与 无关.
P ( Z a ) P ( Z b) 0
定义
1， Z a ( t )= -1, Z b 0, 其他
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则易见 (t )满足
E ( (T )) 0
但是 (t ) 0
按照定义T ( X ) ( X (1) , X (n ) )不是完全统计量.
第二章 抽样分布 及若干预备知识
2.8 完全统计量(完备统计量)
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2.8 完全统计量(完备统计量)
完全统计量的概念与正交函数中的完全性概念相似， 但是其统计背景不像充分统计量那样好说明. 以后通过相关问题看这个概念的意义.
本节介绍完全统计量的定义及其例子.
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2.8.1 定义和例子
定义2.8.1:设F { F ( x ) : }为一分布族， 其中为参数空间.设T T ( X )为一统计量， 若对任何满足条件 E (T ( X )) 0,
因此根据定理2.8.1, T ( X ) X i 为完全统计量.
i 1 n
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例2.8.5设X=(X1,…,Xn)是从正态总体N ( , 2 )中抽 取的样本,参数空间 ={ ( , 2 ) : , 2 >0}
则 T ( X ) ( X i , X i2 ) 为完全统计量