数理统计第二章抽样分布2.8节完全统计量
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概率论与数理统计教案统计量和抽样分布
概率论与数理统计教案-统计量和抽样分布一、教学目标1. 理解统计量的概念，掌握常见统计量的计算方法。
2. 了解抽样分布的定义，掌握正态分布、t分布、卡方分布等常见抽样分布的特点及应用。
3. 学会使用抽样分布进行假设检验和置信区间的估计。
二、教学内容1. 统计量的概念及计算方法统计量的定义样本均值、样本方差、样本标准差等常见统计量2. 抽样分布的定义及特点抽样分布的定义正态分布、t分布、卡方分布等常见抽样分布的特点3. 抽样分布的应用假设检验置信区间的估计三、教学方法1. 讲授法：讲解统计量的概念、计算方法，抽样分布的定义及特点。
2. 案例分析法：通过具体案例，让学生学会使用抽样分布进行假设检验和置信区间的估计。
3. 互动教学法：引导学生参与课堂讨论，提问、解答问题，提高学生的积极性和主动性。
四、教学步骤1. 引入统计量的概念，讲解样本均值、样本方差、样本标准差等常见统计量的计算方法。
2. 讲解抽样分布的定义，介绍正态分布、t分布、卡方分布等常见抽样分布的特点及应用。
3. 通过具体案例，让学生学会使用抽样分布进行假设检验和置信区间的估计。
五、课后作业1. 复习本节课的内容，整理笔记。
2. 完成课后习题，加深对统计量和抽样分布的理解。
3. 选择一个感兴趣的话题，运用抽样分布进行实际问题的分析。
六、教学评估1. 课堂提问：通过提问了解学生对统计量和抽样分布的理解程度。
2. 课后习题：检查学生对课堂内容的掌握情况。
3. 实际案例分析：评估学生运用抽样分布解决实际问题的能力。
七、拓展与延伸1. 引导学生探讨抽样分布在其他领域的应用，如经济学、生物学等。
2. 介绍与抽样分布相关的高级主题，如非参数统计、贝叶斯统计等。
3. 鼓励学生参加相关竞赛、研究项目，提高实践能力。
八、教学资源1. 教材：概率论与数理统计相关教材。
2. 课件：PPT课件，辅助学生理解统计量和抽样分布的概念及应用。
3. 案例资料：提供具体案例，方便学生学会使用抽样分布进行假设检验和置信区间的估计。
数理统计学：统计量与抽样分布
主要内容
1.1 总体和样本 1.2 统计量与估计量 1.3 抽样分布 1.4 次序统计量 1.5 充分统计量 1.6 常用的概率分布族
数理统计学 是探讨随机现象统计规律性的一门学科, 它以概率论为理论基础,研究如何以有效的方式收集、 整理和分析受到随机因素影响的数据,从而对所研究对 象的某些特征做出判断。
1.1.2 样本
(2) 抽样, 即从总体抽取若干个个体进行检查或观察,用所 获得的数据对总体进行统计推断。 由于抽样费用低,时间 短,实际使用频繁。本书将在简单随机抽样的基础上研究各 种合理的统计推断方法,这是统计学的基本内容。应该说, 没有抽样就没有统计学
1.1.2 样本
• 从总体中抽出的部分(多数场合是小部分)个体组成的集合 称为样本。
(2)
(n 1)s2
2
~χ2(n-1);
(3) x与s2相互独立。
1.3.2 样本方差的抽样分布
例1.3.3
分别从正态总体N(μ1,σ2)和N(μ2,σ2)中抽取容
量为n1和n2的两个独立样本,其样本方差分别
为
s2 1
和
s2 2
。
(1)证明:对α∈(0,1),
s s s 2 2 (1) 2
Fn(x)依概率收敛于F(x)
1.2.3 样本的经验分布函数及样本矩
定理1.2.1(格里汶科定理)
对任给的自然数n,设x1,x2,…,xn是取自总体分布函数F(x) 的一组样本观察值,Fn(x)为其经验分布函数,记
则有
Dn sup Fn x F x
x
P
lim
n
Dn
0
1
1.2.3 样本的经验分布函数及样本矩
0
Fn x k / n
1.1 总体和样本 1.2 统计量与估计量 1.3 抽样分布 1.4 次序统计量 1.5 充分统计量 1.6 常用的概率分布族
数理统计学 是探讨随机现象统计规律性的一门学科, 它以概率论为理论基础,研究如何以有效的方式收集、 整理和分析受到随机因素影响的数据,从而对所研究对 象的某些特征做出判断。
1.1.2 样本
(2) 抽样, 即从总体抽取若干个个体进行检查或观察,用所 获得的数据对总体进行统计推断。 由于抽样费用低,时间 短,实际使用频繁。本书将在简单随机抽样的基础上研究各 种合理的统计推断方法,这是统计学的基本内容。应该说, 没有抽样就没有统计学
1.1.2 样本
• 从总体中抽出的部分(多数场合是小部分)个体组成的集合 称为样本。
(2)
(n 1)s2
2
~χ2(n-1);
(3) x与s2相互独立。
1.3.2 样本方差的抽样分布
例1.3.3
分别从正态总体N(μ1,σ2)和N(μ2,σ2)中抽取容
量为n1和n2的两个独立样本,其样本方差分别
为
s2 1
和
s2 2
。
(1)证明:对α∈(0,1),
s s s 2 2 (1) 2
Fn(x)依概率收敛于F(x)
1.2.3 样本的经验分布函数及样本矩
定理1.2.1(格里汶科定理)
对任给的自然数n,设x1,x2,…,xn是取自总体分布函数F(x) 的一组样本观察值,Fn(x)为其经验分布函数,记
则有
Dn sup Fn x F x
x
P
lim
n
Dn
0
1
1.2.3 样本的经验分布函数及样本矩
0
Fn x k / n
数理统计统计量及其分布PPT课件
.
9
• 证明: 为任意给定常数c
2
2
xi
c
xi
xxc
2
2
xi x nxi c 2xi xxi c
2
2
2
xi x nxi c xi x
.
10
• 定理5.3.3 设x1,x2,…,xn是来自某个总体的样本，x为
样本均值
1) 若总体分布为 N(,2)，则 x~N(,n2)
2) 若总体分布未知或者不是正态分布,但
这五个数来大致描述一批数据的轮廓
.
43Βιβλιοθήκη 5.3.7 五数概括与箱线图
• 一、单批数据箱线图 • 二、多批数据箱线图
.
44
1) 单批数据箱线图
• 用箱线图初步考察测验成绩的分布 sas程序如下:
.
45
.
46
.
47
.
48
2) 多批数据箱线图
对于多批数据，我们可以将各批数据的箱线 图并列起来，从而进行分布特征的比较. sas程序如下：
11 00 11 2 12 12 2
01 20 12 2 21 12 2
02 10 12 1 11 11 1
1 0 2 0 1 2 .2 2 2 2 2 2
32
x(1), x(2), x(3)的分布列分别如下
显然x(1),x(2),x(3)分布不相同
x1和x2的联合分布列为
P x(1)
0, x(2)
.
37
例5.3.9 设总体分布为U(0,1) x1,x2,xn为样, 本
则X(1),X(n) 的联合密度函数为
p 1 ,n ( y ,z ) 极n ( n 差 1 )z (y ) n 2 ,0 y z 1
《数理统计》教案——抽样分布
问题：假定在一段时间内，到达服务窗口的顾客数服从泊松
分布，那么，相继到达的两顾客的间隔时间服从什么分布？ 分析与推导：
如果在[0, t ]内到达服务窗口的顾客数N (t )服从参数为 t 的泊松分布 ( t ) k t 即 P N (t ) k e , k 0,1, 2,, k! 由于 EN (t ) t，故 表示平均单位时间到达的顾客人数。
定额抽样法要求调查设计人员有丰富的经验知识以及相应的 统计资料。若对某地区的各指标的分布情况未能作出全面正 确的判断，则样本就不能很好地代表总体。 定额抽样法要求访问员能正确判断访问对象是否符合要求？ 倘若有两个或更多的人都符合要求，则访问员就得考虑，究 竟访问谁？由此可见，正确有效地实施定额抽样法离不开人 的主观判断与选择。主观判断与选择有可能出错。 1948年的美国总统选举——三家民意调查机构全都错了
例：航空客机配餐问题：根据统计资料，有60%的飞机乘客 要求提供米饭。一个航班有300位乘客，如果要以至少95%的 把握保证，想吃米饭的乘客能得到米饭，航班需准备多少份 米饭？ 利用Excel或其它软件，可轻松得到解决。
泊松定理
当 n 较大，p 较小，但乘积np 大小适中时，二项分 布诸概率有很好的近似公式：对任意的非负整数 k ， lim C p (1 p)
记为： X ~ b(n, p) b(n, p) 的均值 EX np ; b(n, p) 的方差 DX np(1 p) Excel函数命令： 输入“=binomdist(k,n,p,0)”则得二项分布的概率P(X=k); 输入“=binomdist(k,n,p,1)”则得二项分布的(左)累积概率P(X≤k) 输入“=1-binomdist(k-1,n,p,1)”则得二项分布的(右)累积概率 P(X≥k)。
数理统计CH抽样分布00002
10
2.3.1 Z统计量分位数
(1)Z统计量分位数zα
PZz 1z
zα蕴含 统计量观察值zα 事件Z>zα 概率α
事件Z≤zα 分布函数F(zα)
五方面的信息
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王玉顺：数理统计02_抽样分布
11
2.3.1 Z统计量分位数
(3)分位数zα的对称性 z1 z 1 z 1 1
(a)
n1S2
2
~2n1
(b) X 与S2独立
其中：X1 ni n1Xi
S21 n n1i1
2
XiX
定理二的证明详见教材P172的附录
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王玉顺：数理统计02_抽样分布
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2.4 抽样分布定理
(3)正态总体样本方差及分布
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王玉顺：数理统计02_抽样分布
15
2.3.2 χ2统计量分位数
(1)χ2统计量分位数χα2(n) P2 2 n 1 F2 n
χα2(n)蕴含 观察值χα2(n) 事件χ2>χα2(n) 概率α
事件χ2≤χα2(n) 分布函数F(χα2(n))
n1S2 1 n
2
2
2 i1 Xi X
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2.3.2 χ2统计量分位数
(1)χ2统计量分位数χα2(n)
设χ2~χ2(n)，并χ2统计量分位数记作χα2(n) 则分位数χα2(n)、事件χ2>χα2(n)、尾概率α、 事件χ2≤χα2(n)、分布函数F{χα2(n)}五者满足下 面的关系：
P2 2n 1F2n
数理统计的基本概念与抽样分布
第二章 数理统计的基本概念与抽样分布
第二章 数理统计的基本概念 与抽样分布
§2.1 §2.2 §2.3 §2.4 数理统计的基本概念 经验分布函数与直方图 常用的概率分布 抽样分布
2019/1/1
福州大学
1
第二章 数理统计的基本概念与抽样分布
§2.1
数理统计的基本概念
一、总体与样本 总体：研究的问题所涉及的对象的全体
1. 设X1,X2, …,Xn是取自总体X的样本，对应的 次序统计量为X(1) X(2) … X(n) ，观测值为x(1) x(2) … x(n)。 2.选取a(略小于x(1) )和b(略大于x(n))，则所有样 本观测值全部落入区间[a , b]内，将区间[a , b] 等分成m个小区间(ai , ai+1](i=1,2,…,m)， a1=a, am+1=b，每个小区间的长度h=(b-a)/m称为组距。
n 1X 1
X
i 2
n
2 i
服从什么分布？
解: X i ~ N (0,4), i 2
n 1X 1
2 X i i 2 n
2 X i
n
4
n
X1 ~ (n 1), ~ N (0,1) 2
2
X1 2
2 X i i 2
~ t (n 1)
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第二章 数理统计的基本概念与抽样分布
定理(格列汶科定理)
设总体X的分布函数是F(x) ，经验分布函数是 Fn(x)，则有
P{lim sup Fn ( x) F ( x) 0} 1
n x
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第二章 数理统计的基本概念 与抽样分布
§2.1 §2.2 §2.3 §2.4 数理统计的基本概念 经验分布函数与直方图 常用的概率分布 抽样分布
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第二章 数理统计的基本概念与抽样分布
§2.1
数理统计的基本概念
一、总体与样本 总体：研究的问题所涉及的对象的全体
1. 设X1,X2, …,Xn是取自总体X的样本，对应的 次序统计量为X(1) X(2) … X(n) ，观测值为x(1) x(2) … x(n)。 2.选取a(略小于x(1) )和b(略大于x(n))，则所有样 本观测值全部落入区间[a , b]内，将区间[a , b] 等分成m个小区间(ai , ai+1](i=1,2,…,m)， a1=a, am+1=b，每个小区间的长度h=(b-a)/m称为组距。
n 1X 1
X
i 2
n
2 i
服从什么分布？
解: X i ~ N (0,4), i 2
n 1X 1
2 X i i 2 n
2 X i
n
4
n
X1 ~ (n 1), ~ N (0,1) 2
2
X1 2
2 X i i 2
~ t (n 1)
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第二章 数理统计的基本概念与抽样分布
定理(格列汶科定理)
设总体X的分布函数是F(x) ，经验分布函数是 Fn(x)，则有
P{lim sup Fn ( x) F ( x) 0} 1
n x
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数理统计第二章抽样分布2.7节充分统计量
I
n1
t
n
例2.7.4 设X=(X1,X2,…,Xn)是从正态总体 N ( ,1) 中抽取的样本，则 T ( X ) X1 不是充分统计量 证明：在 T ( X ) X 1 条件下，
X1,X2,…,Xn的条件密度为 f ( x1 , , xn , T ( x ) x1 ) f (x1 , x2 , , xn | T ( x ) x1 ) fT ( x1 ) n 1 1 2 f (x2 , , xn ) exp ( xi ) 2 2 i 2 与 有关. 因此T ( X ) X1不是充分统计量. 18
n
,n
9
由定理2.2.3的证明过程可知
Y X
2 i 1 i i 1
n
n
2 i
且Y1 ,Y2 , , Yn相互独立，其中
Y1 ~ N ( n ,1)
Yi ~ N (0,1), i 2, 3, , n
显然，X 对原样本X ( X 1 , X 2 , , X n )的充分性
等价于Y1对样本Y1 , Y2 , , Yn的充分性 因此只要证明给定Y1 =y1时(Y1 , Y2 , , Yn )
n1
n 1 n exp( t )，当yi 0, yi t , i 1, 2, , n 1 i 1 0, 其它
14
由于
T ( X ) X i ~ G ( n, )
i 1
n
因此 T ( X )
n
n n 1 t fT ( t ) t e I[ t 0] t e I[ t 0] ( n) ( n 1)!
n
n
i 1
n
06统计量及其抽样分布
数理统计的任务就是研究怎样有效 地收集、整理、分析所获得的有限的资 料，对所研究的问题, 尽可能地作出精 确而可靠的结论.
在数理统计中，不是对所研究的对 象全体(称为总体)进行观察，而是抽取 其中的部分(称为样本)进行观察获得数 据（抽样），并通过这些数据对总体进 行推断.
由于推断是基于抽样数据，抽样数 据又不能包括研究对象的全部信息. 因 而由此获得的结论必然包含不肯定性.
共100万包
即使 PA 是0.99，即种子 公司出售的一百万包中
有99万包是可接受的，
那些包是可 接受的呢？？
零售商购买的200包仍有可能“碰巧” 是从不可接受的一万包中选取的.
这样他就要损失一笔资金.
这一类不肯定性是由于“随机性”所 引起的.
在已知 PA 的条件下，这种不肯定性 的程度已在概率论部分作过讨论.
独立，则称随机变量
F U n1 V n2
服从自由度为n1及 n2 的F分布，n1称为第自 由度，n2称为第二自由度，记作
F~F(n1,n2) .
由定义可见，
1 V n2 F U n1
~F(n2,n1)
若F~F(n1,n2)， F的概率密度为
几个常见统计量
样本平均值
样本方差
它反映了总体 方差的信息
X
1 n
n i 1
Xi
它反映了 总体均值 的信息
S 2
1 n1
n i 1
(Xi
X )2
n
1
1
n
X
2 i
i 1
nX
2
样本标准差
S
1 n
n
1
(
i 1
X
i
X
)2
数理统计2
这样，总体就可以用一个随机变量X（或 (Y, Z)）及其分布来描述.
2. 样本 为推断总体分布及其各种特征，按一定规则
从总体中抽取若干个体进行观察试验，以获得有 关总体的信息，这一抽取过程称为 “抽样”，所 抽取的部分个体称为样本. 样本中所包含的个体 数目称为样本容量.
从国产轿车中抽5辆 进行耗油量试验
样本：
X1, X 2 , X3,
x11, x12 , x13 ,
Xn
, x1n
x21, x22 , x23 ,
, x2n
x31, x32 , x33,
,,,
, x3n
,
f (x1, ), f (x2, ), f (x3,), , f (xn,)
若总体 X 的分布函数为F(x)，则其简单随机样 本X1, X2,…, Xn的联合分布函数为
它反映了总体方差 的信息
样本方差
它反映了总体均值 的信息
X
1 n
n i 1
Xi
S 2
1 n1
n i 1
(Xi
X )2
样本均方差 S
1 n 1
n i 1
(Xi
X
)2
定理：设总体X 的数学期望E(X)= ，方差D(X)= 2，
X2,…, Xn是来自总体的样本，则有
EX ,
2
DX ,
ES 2 2,
我们用样本对总体进行推断的做法大体如下: 首先明确要了解的总体特性, 构造包含这个总体特 性信息的统计量, 然后求出统计量的分布, 并由此 给出统计推断的结论或解释.
三. 统计三大分布
1 . 2 分布
定义: 设 X1, X2, …, Xn 相互独立, 都服从正态分布 N(0,1), 则称随机变量：
2. 样本 为推断总体分布及其各种特征，按一定规则
从总体中抽取若干个体进行观察试验，以获得有 关总体的信息，这一抽取过程称为 “抽样”，所 抽取的部分个体称为样本. 样本中所包含的个体 数目称为样本容量.
从国产轿车中抽5辆 进行耗油量试验
样本：
X1, X 2 , X3,
x11, x12 , x13 ,
Xn
, x1n
x21, x22 , x23 ,
, x2n
x31, x32 , x33,
,,,
, x3n
,
f (x1, ), f (x2, ), f (x3,), , f (xn,)
若总体 X 的分布函数为F(x)，则其简单随机样 本X1, X2,…, Xn的联合分布函数为
它反映了总体方差 的信息
样本方差
它反映了总体均值 的信息
X
1 n
n i 1
Xi
S 2
1 n1
n i 1
(Xi
X )2
样本均方差 S
1 n 1
n i 1
(Xi
X
)2
定理：设总体X 的数学期望E(X)= ，方差D(X)= 2，
X2,…, Xn是来自总体的样本，则有
EX ,
2
DX ,
ES 2 2,
我们用样本对总体进行推断的做法大体如下: 首先明确要了解的总体特性, 构造包含这个总体特 性信息的统计量, 然后求出统计量的分布, 并由此 给出统计推断的结论或解释.
三. 统计三大分布
1 . 2 分布
定义: 设 X1, X2, …, Xn 相互独立, 都服从正态分布 N(0,1), 则称随机变量：
数理统计CH2抽样分布ppt课件
2020/12/21
王玉顺：数理统计02_抽样分布
28
2.2.1 2 分布
(4) 2统计量的概率密度
2 统计量的概率密度是观测x和自由度n的函数
df n
x z12 z22 zn2
f
x;n
2(x;n)
2n
1
2n
2
xn21e2x，x
0
0, x0
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王玉顺：数理统计02_抽样分布
2020/12/21
王玉顺：数理统计02_抽样分布
8
2.1 总体和样本
(1)总体(Population)
➢由于随机变量X代表所有可能的观察值，即 它代表所研究问题的总体，故常称总体X ➢今后，所研究问题的总体常用随机变量X来
指代，即采用下面的陈述： 总体 X ~ B n , p 总体 X ~ P
率密度称作抽样分布。
2020/12/21
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2
2 抽样分布
复习两个概念
样本空间(Sample Space)
随机试验的所有可能结果所组成的集 合称为样本空间，样本空间里的元素，即 随机试验的每一个结果，称为样本点。
(sample point)
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王玉顺：数理统计02_抽样分布
总体 X ~ N , 2
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2.1 总体和样本
(2)个体(Individual, Unit)
➢构成研究对象整体的一个分割单位（单位） ➢随机试验的一个可能结果（样本点） ➢随机变量X的一个可能观察值（变量值） ➢个体有数值型和非数值型两种
总体和个体是彼此对立的两个概念
充分统计量与完备统计量
三、完备统计量
为了介绍完备统计量的概念，首先需要引入完备分 布函数族的概念。
定义 1.5 设总体 X 的分布函数族为F( x; ), ，
若对任意一个满足
E g( X ) 0，对一切
的随机变量 g( X )，总有
（1.5）
P g( X ) 0 1，对一切 ， 则称F( x; ), 为完备的分布函数族。
族——指数型分布族。它包含了一些常用分布，如泊松
分布、正态分布、指数分布、二项分布和 分布等，对这
类分布族，寻找参数的充分完备统计量是方便的。
定理 1.5 设总体 X 的分布密度 f ( x; )为指数型分布
族，即样本的联合分布密度具有如下形式：
n i 1
f
( x;
)
C (
) exp
m j1
=T(X1,X2,…,Xn) 也有一个抽样分布FT(t) 。
当我们期望用统计量T 代替原始样本并且不
损失任何有关 的信息时，也就是期望抽样分布 FT(t) 像 F(x) 一样概括了有关 的一切信息。
这即是说在统计量T 的取值为 t 的情况下
样本 x 的条件分布F(x|T=t) 已不含 的信息，
bj (
)Tj ( x1 ,
x2 ,,
xn
)
h( x1 , x2 ,, xn ),
2.9
其中 (1,2 ,,m )， 。如果中包含有一个m 维矩形，
而且 B (b ( ),b ( ),,b ( ))的值域包含一个m 维开集，则
1
2
m
T (T ( X , X ,, X ),T ( X , X ,, X ),T ( X , X ,, X ))
完备统计量的含义不如充分统计量那么明确，但由
数理统计第二章抽样分布2.8节完全统计量
n 1
( )=0，对一切 0
即 (t )=0，对一切t 0
因此T ( X )=X ( n )是完全(完备)统计量.
8
2.8.2 指数族中统计量的完全性
定理2.8.1:设样本X ( X1 , X 2 , , X n )的概率函数为
f ( x , ) C ( )exp{ iTi ( x )}h( x )
证明：显然T ( X )= X i ~ b( n, )
n k n k P (T ( X ) k ) (1 ) , k 0,1, , n k 设 (t )是任一实函数，满足
E (T ( X )) 0, 对一切0< 1
4
n
i 1
E (T ( X )) 0, 对一切0< 1
但是 (T ) 0，a.e. P 是不成立的即可.
13
令Yi X i ( 1/ 2), i 1, 2,
,n
则 Y1 , Y2 ,
, Yn i .i .d .～U (0,1)
与 无关
而
Z X ( n ) X (1) Y(n ) Y(1)
找常数a b, 使得
5
n k ( k ) 0， 0< k 0 k
n
上式左边是 的多项式，因此必然有
n ( k ) =0，k 0,1, , n k
即 (k ) 0, k 0,1,
n
,n
因此T ( X )= X i 是完全(完备)统计量.
i 1
6
例2.8.2设X=(X1,X2,…,Xn)是从均匀分布 U (0, ) 中抽取的样本，则 T ( X )=X ( n ) 是完全统计量.
( )=0，对一切 0
即 (t )=0，对一切t 0
因此T ( X )=X ( n )是完全(完备)统计量.
8
2.8.2 指数族中统计量的完全性
定理2.8.1:设样本X ( X1 , X 2 , , X n )的概率函数为
f ( x , ) C ( )exp{ iTi ( x )}h( x )
证明：显然T ( X )= X i ~ b( n, )
n k n k P (T ( X ) k ) (1 ) , k 0,1, , n k 设 (t )是任一实函数，满足
E (T ( X )) 0, 对一切0< 1
4
n
i 1
E (T ( X )) 0, 对一切0< 1
但是 (T ) 0，a.e. P 是不成立的即可.
13
令Yi X i ( 1/ 2), i 1, 2,
,n
则 Y1 , Y2 ,
, Yn i .i .d .～U (0,1)
与 无关
而
Z X ( n ) X (1) Y(n ) Y(1)
找常数a b, 使得
5
n k ( k ) 0， 0< k 0 k
n
上式左边是 的多项式，因此必然有
n ( k ) =0，k 0,1, , n k
即 (k ) 0, k 0,1,
n
,n
因此T ( X )= X i 是完全(完备)统计量.
i 1
6
例2.8.2设X=(X1,X2,…,Xn)是从均匀分布 U (0, ) 中抽取的样本，则 T ( X )=X ( n ) 是完全统计量.
概率论与数理统计教案统计量和抽样分布
一、统计量和抽样分布的概念介绍1.1 统计量的定义讲解统计量的概念，即根据样本数据所定义的量，用来描述样本的某些特征。
例如，样本均值、样本方差等。
1.2 抽样分布的定义解释抽样分布是指在一定的抽样方法下，统计量的概率分布。
例如，正态分布、t分布等。
二、统计量的估计方法2.1 点估计介绍点估计的概念，即用一个具体的数值来估计总体参数。
例如，用样本均值来估计总体均值。
2.2 区间估计讲解区间估计的方法，即根据样本数据，给出总体参数估计的一个区间，该区间以一定的概率包含总体参数。
例如，置信区间。
三、抽样分布的性质及应用3.1 抽样分布的性质讲解抽样分布的一些基本性质，如独立性、对称性、无偏性等。
3.2 抽样分布的应用介绍抽样分布在实际问题中的应用，如利用抽样分布来判断总体均值的假设检验问题。
四、假设检验的基本概念和方法4.1 假设检验的定义解释假设检验是一种统计推断方法，通过观察样本数据，对总体参数的某个假设进行判断。
4.2 假设检验的方法讲解常见的假设检验方法，如单样本t检验、双样本t检验、卡方检验等。
4.3 假设检验的判断准则介绍假设检验的判断准则，如P值、显著性水平等，并解释其含义和作用。
六、正态分布及其应用6.1 正态分布的定义与性质详细介绍正态分布的概念、概率密度函数、累积分布函数以及其性质，如对称性、钟形曲线等。
6.2 标准正态分布解释标准正态分布的概念，即均值为0，标准差为1的正态分布。
讲解标准正态分布表的使用方法。
6.3 正态分布的应用介绍正态分布在实际问题中的应用，如利用正态分布来分析和估计总体均值、方差等参数。
七、t 分布及其应用7.1 t 分布的定义与性质讲解t 分布的概念、概率密度函数、累积分布函数以及其性质。
解释t 分布与正态分布的关系。
7.2 t 分布的自由度介绍t 分布的自由度概念，即样本量。
讲解自由度对t 分布形状的影响。
7.3 t 分布的应用介绍t 分布在实际问题中的应用，如利用t 分布进行小样本推断、假设检验等。
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h( x ) 1，1 = / , 2
2
1 2
2
, ( 1 , 2 )
自然参数空间为
={ (1 , 2 ):- <1 < , - < 2 <0}
*
由于*有内点，
因此根据定理2.8.1, T ( X ) ( T ( X )= X i ~ b( n, )
n k n k P (T ( X ) k ) (1 ) , k 0,1, , n k 设 (t )是任一实函数，满足
E (T ( X )) 0, 对一切0< 1
4
n
i 1
E (T ( X )) 0, 对一切0< 1
n k n k ( k ) (1 ) 0, k 0 k
n
n k
0< 1
n (k ) 0， 0< 1 k 0 k 1
令
1
n
=
则上式等价于
n k ( k ) 0， 0< k 0 k
对一切
的 (T ( X ))，都有
P ( (T ( X )) 0) 1 对一切
则称T ( X )为一完全统计量(完备统计量).
若T ( X )为一完全统计量， 则它的任一函数g(T )也是完全统计量.
3
例2.8.1设X=(X1,X2,…,Xn)是从总体 b(1, ) n 中抽取的样本，则 T ( X )= X i i 1 是完全统计量.
15
n 1
( )=0，对一切 0
即 (t )=0，对一切t 0
因此T ( X )=X ( n )是完全(完备)统计量.
8
2.8.2 指数族中统计量的完全性
定理2.8.1:设样本X ( X1 , X 2 , , X n )的概率函数为
f ( x , ) C ( )exp{ iTi ( x )}h( x )
第二章 抽样分布 及若干预备知识
2.8 完全统计量(完备统计量)
1
2.8 完全统计量(完备统计量)
完全统计量的概念与正交函数中的完全性概念相似， 但是其统计背景不像充分统计量那样好说明. 以后通过相关问题看这个概念的意义.
本节介绍完全统计量的定义及其例子.
2
2.8.1 定义和例子
定义2.8.1:设F { F ( x ) : }为一分布族， 其中为参数空间.设T T ( X )为一统计量， 若对任何满足条件 E (T ( X )) 0,
但是 (T ) 0，a.e. P 是不成立的即可.
13
令Yi X i ( 1/ 2), i 1, 2,
,n
则 Y1 , Y2 ,
, Yn i .i .d .～U (0,1)
与 无关
而
Z X ( n ) X (1) Y(n ) Y(1)
找常数a b, 使得
的分布也与 无关.
P ( Z a ) P ( Z b) 0
定义
1， Z a ( t )= -1, Z b 0, 其他
14
则易见 (t )满足
E ( (T )) 0
但是 (t ) 0
按照定义T ( X ) ( X (1) , X (n ) )不是完全统计量.
i 1 k
=(1 , 2 ,
, k ) *
为指数族，令 T ( X ) (T1 ( X ), T2 ( X ),
, Tk ( X ))
若自然参数空间*作为Rk的子集有内点，则
T ( X ) (T1 ( X ), T2 ( X ),
, Tk ( X ))是完全统计量.
9
例2.8.4(例2.8.1续)设X=(X1,X2,…,Xn)是从总体 n b(1, ) 中抽取的样本，则 T ( X )= X i i 1 是完全统计量(利用定理2.8.1). 证明:将样本X ( X 1 , X 2 , , X n )的联合分布
因此根据定理2.8.1, T ( X ) X i 为完全统计量.
i 1 n
10
例2.8.5设X=(X1,…,Xn)是从正态总体N ( , 2 )中抽 取的样本,参数空间 ={ ( , 2 ) : , 2 >0}
则 T ( X ) ( X i , X i2 ) 为完全统计量
i 1 i 1 n n
证明：根据例2.6.6可知样本X的分布属于指数族， 其自然形式(标准形式)为
f ( x , ) C * ( )exp{1T1 ( x ) 2T2 ( x )}h( x )
其中
h( x ) 1，1 = / , 2
2
1 2
2
, (1 , 2 )
5
n k ( k ) 0， 0< k 0 k
n
上式左边是 的多项式，因此必然有
n ( k ) =0，k 0,1, , n k
即 (k ) 0, k 0,1,
n
,n
因此T ( X )= X i 是完全(完备)统计量.
表示为指数族的自然形式(标准形式)
f ( x , ) T ( x ) (1 )nT ( X ) =(1+e ) n exp{T ( x )}h( x ) 其中h( x ) 1, log ，自然参数空间为 1 由于*有内点， * ={ :-< <}=(-, )
E (T ( X )) 0, 对一切0< 1
7
E (T ( X )) 0, 对一切0< 1
n
n
0
( t )t
n 1
n 1
dt =0，对一切 0
0
(t )t
dt =0，对一切 0
对上式两边关于 求导得到
( )=0，对一切 0
i 1
6
例2.8.2设X=(X1,X2,…,Xn)是从均匀分布 U (0, ) 中抽取的样本，则 T ( X )=X ( n ) 是完全统计量.
证明：T ( X )=X ( n )的密度为
nt n1 / n ,0 t g ( t )= 其它 0,
设 (t )是任一实函数，满足
i 1 i 1 n n
12
例2.8.6 验证一个统计量不是完全统计量
设X ( X 1 , X 2 , , X n )是从均匀分布U ( 1/ 2, 1/ 2) 中抽取的样本，则T ( X ) ( X (1) , X ( n ) )是充分统计量， 但不是完全统计量.
T ( X ) ( X (1) , X ( n ) )的充分性在例2.7.8中已证. 证明： 下证明其不是完全统计量. 要证明一个统计量T ( X )不是完全的，只要 找到一个实函数 ( t )使得 E ( (T )) 0
h( x ) 1，1 = / , 2
2
1 2
2
, ( 1 , 2 )
自然参数空间为
={ (1 , 2 ):- <1 < , - < 2 <0}
*
由于*有内点，
因此根据定理2.8.1, T ( X ) ( T ( X )= X i ~ b( n, )
n k n k P (T ( X ) k ) (1 ) , k 0,1, , n k 设 (t )是任一实函数，满足
E (T ( X )) 0, 对一切0< 1
4
n
i 1
E (T ( X )) 0, 对一切0< 1
n k n k ( k ) (1 ) 0, k 0 k
n
n k
0< 1
n (k ) 0， 0< 1 k 0 k 1
令
1
n
=
则上式等价于
n k ( k ) 0， 0< k 0 k
对一切
的 (T ( X ))，都有
P ( (T ( X )) 0) 1 对一切
则称T ( X )为一完全统计量(完备统计量).
若T ( X )为一完全统计量， 则它的任一函数g(T )也是完全统计量.
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例2.8.1设X=(X1,X2,…,Xn)是从总体 b(1, ) n 中抽取的样本，则 T ( X )= X i i 1 是完全统计量.
15
n 1
( )=0，对一切 0
即 (t )=0，对一切t 0
因此T ( X )=X ( n )是完全(完备)统计量.
8
2.8.2 指数族中统计量的完全性
定理2.8.1:设样本X ( X1 , X 2 , , X n )的概率函数为
f ( x , ) C ( )exp{ iTi ( x )}h( x )
第二章 抽样分布 及若干预备知识
2.8 完全统计量(完备统计量)
1
2.8 完全统计量(完备统计量)
完全统计量的概念与正交函数中的完全性概念相似， 但是其统计背景不像充分统计量那样好说明. 以后通过相关问题看这个概念的意义.
本节介绍完全统计量的定义及其例子.
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2.8.1 定义和例子
定义2.8.1:设F { F ( x ) : }为一分布族， 其中为参数空间.设T T ( X )为一统计量， 若对任何满足条件 E (T ( X )) 0,
但是 (T ) 0，a.e. P 是不成立的即可.
13
令Yi X i ( 1/ 2), i 1, 2,
,n
则 Y1 , Y2 ,
, Yn i .i .d .～U (0,1)
与 无关
而
Z X ( n ) X (1) Y(n ) Y(1)
找常数a b, 使得
的分布也与 无关.
P ( Z a ) P ( Z b) 0
定义
1， Z a ( t )= -1, Z b 0, 其他
14
则易见 (t )满足
E ( (T )) 0
但是 (t ) 0
按照定义T ( X ) ( X (1) , X (n ) )不是完全统计量.
i 1 k
=(1 , 2 ,
, k ) *
为指数族，令 T ( X ) (T1 ( X ), T2 ( X ),
, Tk ( X ))
若自然参数空间*作为Rk的子集有内点，则
T ( X ) (T1 ( X ), T2 ( X ),
, Tk ( X ))是完全统计量.
9
例2.8.4(例2.8.1续)设X=(X1,X2,…,Xn)是从总体 n b(1, ) 中抽取的样本，则 T ( X )= X i i 1 是完全统计量(利用定理2.8.1). 证明:将样本X ( X 1 , X 2 , , X n )的联合分布
因此根据定理2.8.1, T ( X ) X i 为完全统计量.
i 1 n
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例2.8.5设X=(X1,…,Xn)是从正态总体N ( , 2 )中抽 取的样本,参数空间 ={ ( , 2 ) : , 2 >0}
则 T ( X ) ( X i , X i2 ) 为完全统计量
i 1 i 1 n n
证明：根据例2.6.6可知样本X的分布属于指数族， 其自然形式(标准形式)为
f ( x , ) C * ( )exp{1T1 ( x ) 2T2 ( x )}h( x )
其中
h( x ) 1，1 = / , 2
2
1 2
2
, (1 , 2 )
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n k ( k ) 0， 0< k 0 k
n
上式左边是 的多项式，因此必然有
n ( k ) =0，k 0,1, , n k
即 (k ) 0, k 0,1,
n
,n
因此T ( X )= X i 是完全(完备)统计量.
表示为指数族的自然形式(标准形式)
f ( x , ) T ( x ) (1 )nT ( X ) =(1+e ) n exp{T ( x )}h( x ) 其中h( x ) 1, log ，自然参数空间为 1 由于*有内点， * ={ :-< <}=(-, )
E (T ( X )) 0, 对一切0< 1
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E (T ( X )) 0, 对一切0< 1
n
n
0
( t )t
n 1
n 1
dt =0，对一切 0
0
(t )t
dt =0，对一切 0
对上式两边关于 求导得到
( )=0，对一切 0
i 1
6
例2.8.2设X=(X1,X2,…,Xn)是从均匀分布 U (0, ) 中抽取的样本，则 T ( X )=X ( n ) 是完全统计量.
证明：T ( X )=X ( n )的密度为
nt n1 / n ,0 t g ( t )= 其它 0,
设 (t )是任一实函数，满足
i 1 i 1 n n
12
例2.8.6 验证一个统计量不是完全统计量
设X ( X 1 , X 2 , , X n )是从均匀分布U ( 1/ 2, 1/ 2) 中抽取的样本，则T ( X ) ( X (1) , X ( n ) )是充分统计量， 但不是完全统计量.
T ( X ) ( X (1) , X ( n ) )的充分性在例2.7.8中已证. 证明： 下证明其不是完全统计量. 要证明一个统计量T ( X )不是完全的，只要 找到一个实函数 ( t )使得 E ( (T )) 0