北航数值分析2010-2011期末模拟试卷1-3

数值分析模拟试卷1
一、填空（共30分，每空3分） 1 设⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-=1511A ，则A 的谱半径=)(a ρ______，A 的条件数)(1A cond =________. 2 设
,2,1,0,,53)(2==+=k kh x x x f k ，则],,[21++n n n x x x f ＝________,
],,[321+++n n n n x x x x f ，＝________.
3 设⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-++≤≤+=2
1,121
0,)(2
323x cx bx x x x x x S ，是以0，1，2为节点的三次样条函数，则b=________,c=________.
4 设∞
=0)]([k k x q 是区间［0，1］上权函数为x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x q ，则
⎰=1
)(dx x xq k
________，=)(2
x q
________.
5 设⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ，当∈a ________时，必有分解式，其中L 为下三角阵，当
其对角线元素)3,2,1(=i L ii 满足条件________时，这种分解是唯一的. 二、（14分）设4
9,1,41,)(2102
3
===
=x x x x x f , （1）试求)(x f 在]4
9,41[上的三次Hermite 插值多项式)(x H 使满足
2,1,0),()(==i x f x H i i ，)()(11x f x H '='.
（2）写出余项)()()(x H x f x R -=的表达式.
三、（14分）设有解方程0cos 2312=+-x x 的迭代公式为n n x x cos 3
2
41+
=+， （1） 证明R x ∈∀0均有∙
∞
→=x x n x lim （∙
x 为方程的根）；
（2） 取40=x ，用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过，列出各次迭代值；
（3）此迭代的收敛阶是多少？证明你的结论.
四、(16分) 试确定常数A ，B ，C 和，使得数值积分公式
有尽可能高的代数精度. 试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss 型的？
五、（15分） 设有常微分方程的初值问题⎩⎨
⎧=='0
0)()
,(y x y y x f y ，试用Taylor 展开原理构造形如
)()(11011--++++=n n n n n f f h y y y ββα的方法，使其具有二阶精度，并推导其局部截断误
差主项.
六、（15分） 已知方程组b Ax ＝，其中⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=21,13.021b A ， （1） 试讨论用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解此方程组的收敛性. （2） 若有迭代公式)()()()
1(b Ax a x x
k k k ++=+，试确定一个的取值范围，在这个范围内
任取一个值均能使该迭代公式收敛. 七、（8分） 方程组，其中
，A 是对称的且非奇异.设A 有误差，则原方
程组变化为
，其中
为解的误差向量，试证明
.
其中1λ和2λ分别为A 的按模最大和最小的特征值.
数值分析模拟试卷2
填空题（每空2分，共30分）
1. 近似数231.0=*
x 关于真值229.0=x 有____________位有效数字； 2. 设
)(x f 可微，求方程)(x f x =根的牛顿迭代格式是
_______________________________________________；
3. 对1)(3
++=x x x f ，差商=]3,2,1,0[f _________________；=]4,3,2,1,0[f ________； 4. 已
知
⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛-='-=1223,)3,2(A x ，则
=
∞||||Ax ________________，
=)(1A Cond ______________________ ；
5. 用二分法求方程01)(3
=-+=x x x f 在区间[0,1]内的根，进行一步后根所在区间为
_________，进行二步后根所在区间为_________________；
6. 求解线性方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=+=+045
11532121x x x x 的高斯—赛德尔迭代格式为
_______________________________________；该迭代格式迭代矩阵的谱半径
=)(G ρ_______________；
7. 为使两点数值求积公式：
⎰
-+≈1
1
1100)()()(x f x f dx x f ωω具有最高的代数精确度，其
求积节点应为=0x _____ , =1x _____,==10ωω__________. 8. 求积公式
)]2()1([2
3
)(3
f f dx x f +≈⎰
是否是插值型的__________，其代数精度为
___________。

二、（12分）(1)设LU A =，其中L 为下三角阵，U 为单位上三角阵。

已知
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛------=210012*********
2A ，求L ，U 。

(2)设A 为66⨯矩阵，将A 进行三角分解：LU A =，L 为单位下三角阵，U 为上三角阵，试写出L 中的元素65l 和U 中的元素56u 的计算公式。

三、（12分）设函数)(x f 在区间[0,3]上具有四阶连续导数,试确定一个次数不超过3的多项式)(x H ，满足
3)1()1(,1)2()2(,1)1()1(,0)0()0(='='======f H f H f H f H ，
并写出插值余项。

（12分）线性方程组
⎩⎨
⎧=+=-2
211
2122b x x b x x ρρ
（1） 请写出解此方程组的赛德尔迭代法的迭代格式，并讨论收敛性。

（2） 设2=ρ，给定松弛因子2
1=
ω，请写出解此方程组的SOR 方法的迭代格式，并讨论
收敛性。

五、（7分）改写方程042=-+x x
为2ln /)4ln(x x -=的形式，问能否用迭代法求所给方程在[1,2]内的实根？
六、（7分）证明解方程0)(23=-a x 求3a 的牛顿迭代法仅为线性收敛。

七、（12分）已知.4
3
,21,41210===
x x x （1）推导以这3个点作为求积节点在[0,1]上的插值型求积公式；
（2）指明求积公式具有的代数精度；
（3） 用所求公式计算
⎰
1
2dx x 。

八、（8分）若i n x x x x x x x x f ),())(()(10---= 互异，求],,,[10p x x x f 的值，这里
.1+≤n p
数值分析模拟试卷3
一、填空题（每空3分，共30分）
1． 设1234)(2
4
8
+++=x x x x f ，则差商=]2,,2,2[8
1
f ； 2．在用松弛法(SOR)解线性方程组b Ax =时，若松弛因子ω满足1|1|≥-ω，则迭代法 ；
3．设,0)(,0)(**≠'=x f x f 要使求*
x 的Newton 迭代法至少三阶收敛，)(x f 需要满
足 ；
4. 设)133)(2()(2
3
-+-+=x x x x x f ,用Newton 迭代法求21-=x 具有二阶收敛的迭代格式为________________ ；求12=x 具有二阶收敛的迭代格式为___________________； 5．已知⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛--=1327A ，则=)(A ρ__________,=∞)(A Cond ______ 6. 若1>>x ，改变计算式1lg
lg 2--x x =___________________，使计算结果更为精确；
7．过节点(
)
)3,2,1,0(,3
=i x x i i 的插值多项式为_____________ ； 8. 利用抛物(Simpson)公式求
⎰
2
1
2dx x = 。

二、（14分）已知方阵⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=123111122A ，
(1) 证明： A 不能被分解成一个单位下三角阵L 和一个上三角阵U 的乘积；
(2) 给出A 的选主元的Doolittle 分解，并求出排列阵； (3) 用上述分解求解方程组b Ax =，其中T
b )4,2,5.3(=。

三、（12分）设函数)(x f 在区间[0,3]上具有四阶连续导数,试确定一个次数不超过3的多项式)(x H ，满足
40)1()1(,10)1()1(,1)1()1(,0)0()0(=''=''='='-====f H f H f H f H ，
并写出插值余项。

四、（10分）证明对任意的初值0x ，迭代格式n n x x cos 1=+均收敛于方程x x cos =的根，
且具有线性收敛速度。

五、（12分） 在区间[-1,1]上给定函数14)(3
+=x x f ，求其在},,1{2
x x Span =φ中关于
权函数1)(=x ρ的最佳平方逼近多项式。

（可用数据：
2
1
23)(,)(,1)(2210-=
==x x p x x p x p ） 六、(12
分
)(1)
试
导
出
切
比
雪
夫
(Chebyshev)
正
交
多
项
式
])1,1[,,2,1,0)(arccos cos()(-∈==x n x n x T n 的三项递推关系式：
⎪⎪
⎩⎪
⎪⎨
⎧
=-===-+)
,2,1()()(2)(,)(,1)(1110 n x T x xT x T x x T x T n n n （2）用高斯—切比雪夫求积公式计算积分dx x x x I ⎰
--=2
2)
2(1，问当节点数n 取何值时，
能得到积分的精确值？并计算它。

七、（10分）验证对⎪
⎪⎩⎪⎪⎨⎧
-+-+=++==++=∀+)
)1(,)1((),(),()(2
,13121311hK t y h t x f K thK y th x f K y x f K K K h y y t n n n n n n n n 为2阶格式.
参考答案1 一、1．6)(=
a ρ，)(1A cond =6.
2．],,[21++n n n x x x f =3，],,[321+++n n n n x x x x f ，=0. 3．b =－2，c=3.
4．⎪⎩⎪⎨⎧≠=0
,00,21
k k ；10356)(2
2+-=x x x q .
5．)3,2,1(0);2
1,
2
1(=>-
∈i l a ii
二、(1) 25
1
45023345026322514)(23-
++-
=x x x x H (2) ).4
9,41(),49()1)(41(169!41)(225
∈---=
-ξξx x x x R 三、（1）3
2=
L ;（2）347.3≈∙
x ;（3）线性收敛. 四、5
12,916,910-===
=αB C A ;求积公式具有5次代数精度，是Gauss 型的. 五、41472110＝－，＝，＝ββα；截断误差主项为)(8
33
n x y h '''. 六、（1）,16.0)(,6.0)(<==
GS J B B ρρ因此两种迭代法均收敛.
（2）当06
.011>>+a 时，该迭代公式收敛.
参考答案2 一、1．2
2．),1,0()
()
(1 ='-=+n x f x f x x n n n n 3．1, 0 4．7,
7
25 5．)4
3,21(),1,2
1
( 6. 12
1,2013531)1(1)
1(2)
(2
)1(1⎪⎩
⎪⎨⎧-=-=+++k k k k x x x x
7. 3
2,32
10=-=x x ; 1 8. 是, 1
二、(1) ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢
⎢⎢⎢⎢
⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥
⎥
⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎢⎣
⎡---=
10
04310003
2
1
000211,451000341
0002310002
U L (2)
)
(;
)(4654356532652165155565545643563256215616565u l u l u l u l a u u u l u l u l u l a l +++-=+++-=
三、 )2()1(!
4)
()(),2)(1(2)(2)4(--=---=x x x f x R x x x x x H ξ
四、(1) ⎪⎩
⎪
⎨⎧-=+=+++)1(12)1(2)
(21)1(12k k k k x b x x b x ρρ, 1<ρ 时收敛
(2) ⎪⎩
⎪⎨⎧-+=++=+++)
1(1
)(22)1(2)
(2
)(11)1(1
214212k k k k k k x x b x x x b x , 收敛 五、收敛 七、（1）
)4
3(32)21(31)41(32f f f +- （2）2 (3)
3
1 八、11
0时为时为+=≤n ，p n p
参考答案3 一、1．4
2．发散
3．0)(*
=''x f
4．),1,0()()(1 ='-
=+n x f x f x x n n n n ,),1,0()
()
(31 ='-=+n x f x f x x n n n n 5．
2608+, 49 6.
1
lg
2
-x x
7. 3
x 8.
3
7 二、(2) 先交换2、3两行，交换1、2两行，
⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=010001100,5.0003333.06667.001
23
,15.03333
.0016667
.000
1
P U L
(3) )5.4,1,5.1('-
三、3)4(2
)1(!
4)
()(,)1(9)1(11)(-=-+-+-=x x f x R x x x x x x H ξ
五、10512p p + 六、1=n ，2
π。