第8章轴向拉伸与压缩
第8章 材料在拉伸和压缩时的力学性能
• 例 图中AB为d＝10mm的圆截面钢杆，从 AB杆的强度考虑，此结构的许可荷载[F ]＝ P 6.28kN。若AB杆的强度安全系数n＝1.5，试 求材料的屈服极限。
A
F NAB
N AB
O 30
B
F NBC F P
N BC
C
F P P
解：受力分析，以B点为研究对象
å F x = 0 ,
o F BC - F AB cos 30 = 0 N N
å F y = 0 ,
可得：
o F AB sin 30 - F = 0 N P
F AB = 2 P , F BC = 3 P F F N N
[ P 以AB杆考虑，当F ＝[ F ]时， [F AB ] = 2 F ] N P P
3 4
O
Dl
• 应力应变图
• 四个阶段
– （１）弹性阶段 – （２）屈服阶段 – （３）强化阶段 – （４）局部颈缩阶段
(1) 低碳钢拉伸的弹性阶段 (OB段)
材料的变形是弹性变形，若在此阶段内卸载，变 形可完全消失。 1、OA – 线弹性阶段
s 比例极限 p
解：求正应力
F 4 F s = = 2 = 127 3 MPa . A pd
注意：此处为名义正应力
应力低于材料的比例极限，在线弹性阶段
Dl e = = 6 07 ´ 10 4 . l
s E = = 210 GPa e
Dd e ¢ = = -1 7 ´ 10 4 . d e¢ n= = 0 28 .
s = E e
2、AB－微弯段
E = tg a
s 弹性极限 e
轴向拉伸与压缩的概念与实例
2.3 直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力
假想地用一平面沿斜 F 截面k－k将杆分成两
个部分, 取左段为研究
对象。
F
k
α
k k
F Fα
以 Fα 表 示 斜 截 面 上 的 内力, 以pα表示斜截面 上的应力。
k pα
与证明横截面上的应 力是均匀分布的方法 一样, 可以证明斜截面 上的应力也是均匀分 布的。
FN
=
FR 2
=
pbd 2
σ = FN = pbd = pd A 2bδ 2δ
=
2×106 × 0.2 2 × 5×10−3
=
40 ×106
Pa
=
40
MPa
2.3 直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力
前面讨论了轴向拉伸或压缩时, 直杆横截面上的正应力, 它是今后强度计算的依据。但不同材料的实验表明, 拉 (压)杆的破坏并不总是沿横截面发生, 有时却是沿斜截 面发生的。为此, 应进一步讨论斜截面上的应力。
=
−42.4
MPa
是压应力
例: 长为b、内径d＝200 mm、壁厚 δ＝5 mm的薄壁圆环, 承受
p＝2 MPa的内压力作用, 如图所示。试求圆环径向截面上的拉
应力。
薄壁容器（参考内容）
解: 薄壁圆环在内压力作用下要均匀胀大, 故在包含圆环轴线 的任何径向截面上, 作用有相同的法向拉力FN。为求该拉力, 可 假想地用一直径平面将圆环截分为二, 并研究留下的半环的平 衡。半环上的内压力沿y方向的合力为
FB FN3
轴力图如右图
C
FC C
FC FN4
FN
5F
2F
D
FD D
FD D
拉伸与压缩
材料力学学习指导与练习第二章2.1预备知识一、基本概念1、 轴向拉伸与压缩承受拉伸或压缩杆件的外力作用线与杆轴线重合，杆件沿杆轴线方向伸长或缩短，这种变形形式称为轴向拉伸或轴向压缩。
2、 轴力和轴力图轴向拉压杆的内力称为轴力，用符号F N 表示。
当F N 的方向与截面外向法线方向一致时，规定为正，反之为负。
求轴力时仍然采用截面法。
求内力时，一般将所求截面的内力假设为正的数值，这一方法称为“设正法”。
如果结果为正，则说明假设正确，是拉力；如是负值，则说明假设错误，是压力。
设正法在以后求其他内力时还要到。
为了形象的表明各截面轴力的变化情况，通常将其绘成“轴力图”。
作法是：以杆的左端为坐标原点，取χ轴为横坐标轴，称为基线，其值代表截面位置，取F N 轴为纵坐标轴，其值代表对应截面的轴力值，正值绘在基线上方，负值绘在基线下方。
3、 横截面上的应力根据圣维南(Saint-Venant)原理，在离杆一定距离之外，横截面上各点的变形是均匀的，各点的应力也是均匀的，并垂直于横截面，即为正应力，设杆的横截面面积为A ，则有AN =σ 正应力的符号规则：拉应力为正，压应力为负。
4、 斜截面上的应力与横截面成α角的任一斜截面上，通常有正应力和切应力存在，它们与横截面正应力σ的关系为：()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=αστασσαα2sin 22cos 12α角的符号规则：杆轴线x 轴逆时针转到α截面的外法线时，α为正值；反之为负。
切应力的符号规则：截面外法线顺时针转发900后，其方向和切应力相同时，该切应力为正值；反之为负值。
当α=00时，正应力最大，即横截面上的正应力是所有截面上正应力中的最大值。
当α=±450时，切应力达到极值。
5、轴向拉伸与压缩时的变形计算与虎克定律（1） 等直杆受轴向拉力F 作用，杆的原长为l ，面积为A ，变形后杆长由l 变为l +∆l ，则杆的轴向伸长为EAFl l =∆用内力表示为EAll N F =∆ 上式为杆件拉伸（压缩）时的虎克定律。
第八章 轴向拉伸与压缩
A F F
B
C
D
F
19
§8-4 材料在拉伸与压缩时的力学性能
一、拉伸试验与应力—应变图 实验条件： 常温、静载下（缓慢平稳的加载）试验 标准试件 标距尺寸：l=10d 或 l=5d
解：1、分段计算轴力 AB段 Fx 0
1 F2
FN1 F1 0
FN1 F1 10kN
BC段 Fx 0 FN2 F2 F1 0
F1
FN2 F1 F2 10kN
F4
25
FN(kN) 10 10
CD段 Fx 0 F4 FN3 0 FN3 F4 25kN 2、绘制轴力图
20
三种材料的共同特点： 断裂时均有较大的残余变形，均属塑 性材料
o
0.2%
27
§8-4 材料在拉伸与压缩时的力学性能
铸铁拉伸时的力学性能 对于脆性材料(铸铁)，拉伸时的应 力应变曲线为微弯的曲线，没有屈服和 颈缩现象，试件突然拉断。断后伸长率 约为 0.5%。为典型的脆性材料。
b
o
b—强度极限，是衡量脆性材料(铸铁)
屈服：应力基本不变，而变形显著增长的现象
s —屈服极限或屈服应力，屈服段内最低应力值
F F 滑移线：材料屈服时试件表面出 现的线纹
23
§8-4 材料在拉伸与压缩时的力学性能
III、硬化阶段（恢复抵抗变形的 能力） 应变硬化：经过屈服滑移后， 材料重新呈现抵抗变形的能力 b —强度极限，硬化阶段内 e 最高应力值，也是材料所 能承受的最大应力
材料力学课后答案
- 1 -第8章 杆件的拉伸与压缩8-1 填空题：8-1(1) 如图拉杆的左半段是边长为b 的正方形，右半段是直径为b 的圆杆。
两段许用应力均为 ][σ，则杆的许用荷载 =][F ][4π2σb 。
8-1(2) 图示拉杆由同种材料制成，左部分是内径为D 、外径为D 2的空心圆杆，右部分为实心圆杆，要使两部分具有相同的强度，右部分的直径应取 D3 。
8-1(3) 杆件轴向拉伸或压缩时，其斜截面上切应力随截面方位的不同而不同，而切应力的最大值发生在与轴线间的夹角为 45° 的斜截面上。
8-1(4) 图中两斜杆的抗拉刚度为EA ，A 点的竖向位移为EAFa 2 。
8-1(5) 图中结构中两个构件的厚度b 相同，则它们的挤压面积 =A αcos ab。
8-1(6) 图中结构中，若 h d D 32==，则螺栓中挤压应力、拉伸应力和剪切应力三者的比例关系是 9:24:8 。
题 8-1(5) 图题 8-1(1) 图题 8-1(2) 图题 8-1(6)图F题 8-1(4) 图- 2 -分析：222bs 3π4)(π4d F d D F =−=σ， 2tπ4d F =σ， 22π3πd F hd F ==τ，故有 9:24:883:1:31::tbs ==τσσ。
8-2 单选题：8-2(1) 图示的等截面杆左端承受集中力，右端承受均布力，杆件处于平衡状态。
1、3两个截面分别靠近两端，2截面则离端部较远。
关于1、2、3这三个截面上的正应力的下列描述中，正确的是 C 。
A ．三个截面上的正应力都是均布的 B ．1、2两个截面上的正应力才是均布的 C ．2、3两个截面上的正应力才是均布的 D ．1、3两个截面上的正应力才是均布的8-2(2) 若图示两杆的材料可以在铸铁和钢中选择，那么，综合强度和经济性两方面的因素， C 更为合理。
A ．两杆均选钢 B ．两杆均选铸铁C ．① 号杆选钢，② 号杆选铸铁D ．① 号杆选铸铁，② 号杆选钢8-2(3) 图示承受轴向荷载的悬臂梁中，在加载前的一条斜直线KK 在加载过程中所发生的变化是 D 。
工程力学第8章 变形及刚度计算
39
40
解 （1）静力方面 取结点 A为研究对象，分析其受 力如图 8.15（b）所示，列出平衡方程：
（2）几何方面
（3）物理方面 由胡克定律，有：
41
（4）补充方程 式（u）代入式（t），得：
再积分一次，得挠度方程
15
16
17
18
例8.5 图8.7所示等截面简支梁受集中力F作用，已 知梁的抗弯刚度为EI，试求C截面处的挠度yC和A截面 的转角θA。
19
解 取坐标系如图所示，设左、右两段任一横截面 形心的坐标、挠度和转角分别为x1，y1，θ1和x2，y2， θ2。梁的支反力为
20
2
3
8.1.2 横向变形及泊松比 定义
4
5
8.2 圆轴扭转时的变形和刚度计算
8.2.1 圆轴扭转时的变形 在7.6节中提到，圆轴扭转时的变形可用相对扭转角 φ来表示，而扭转变形程度可用单位长度扭转角θ来表示。 由7.6.2节中的式（d），即
6
8.2.2 刚度计算 有些轴，除了满足强度条件外，还需要对其变形加 以限制，如机械工程中受力较大的主轴。工程中常限制 单位长度扭转角θ不超过其许用值，刚度条件表述为
（3）物理方面 由胡克定律，可得：
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（4）补充方程 将式（q）代入式（p），可得：
（5）求解 联立求解方程（o）和（r），可得：
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由上例可以看出解超静定问题的一般步骤为： （1）选取基本体系，列静力平衡方程； （2）列出变形谐调条件； （3）物理方面，将杆件的变形用力表示； （4）将物理关系式代入变形谐调条件，得到补充 方程； （5）联立平衡方程和补充方程，求解未知量。
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（1）静力方面 选取右端约束为多余约束，去掉该约束并代之以多 余支反力FB，如图8.14（b）所示，称为原超静定问题 的基本体系。所谓基本体系，是指去掉原超静定结构的 所有多余约束并代之以相应的多余支反力而得到的静定 结构。列出其平衡方程为：
工程力学下题库
工程力学题库一、填空题（每空1分，共57分）（难度A）第八章轴向拉伸和压缩1. "强度"是构件在外力作用下____________ 的能力。
2. 通常，各种工程材料的许用切应力[T不大于其____________ 切应力。
3. 在材料力学中，对可变形固体的性质所作的基本假设是假设、___________________ 设和 ______________ 假设。
4. 衡量材料强度的两个重要指标是_______________ 和_____________________ 。
5. 由于铸铁等脆性材料的很低，因此，不宜作为承拉零件的材料。
6. 在圆轴的台肩或切槽等部位，常增设_____________________ 结构，以减小应力集中。
7. 消除或改善是提高构件疲劳强度的主要措施。
第九章剪切与扭转1. 应用扭转强度条件，可以解决_______________________ 、 _____________________ 和_____________ _____ —等三类强度计算问题。
2. 在计算梁的内力时，当梁的长度大于横截面尺寸____________ 倍以上时，可将剪力略去不计。
3. 若两构件在弹性范围内切应变相同，则切变模量G值较大者的切应力较______________ 。
4. 衡量梁弯曲变形的基本参数是___________________ 和________________________ 。
5. 圆轴扭转变形时的大小是___________________________________ 用来度量的。
6. 受剪切构件的剪切面总是___________ 于外力作用线。
7. 提高圆轴扭转强度的主要措施：______________________ 和__________________ 。
8. 如图所示拉杆头为正方形，杆体是直径为d圆柱形。
1. 作用在梁上的载荷通常可以简化为以下三种类型：___________ 、2. 按照支座对梁的约束情况，通常将支座简化为三种形式：______3. 根据梁的支承情况，一般可把梁简化为以下三种基本形式：____4. ___________________________ 对梁的变形有两种假设：、______________________________________ 。
工程力学第八章
l－试验段原长（标距） －试验段原长（标距） ∆l0－试验段残余变形
28
断面收缩率
A A − 1 100 × 00 ψ= A
A －试验段横截面原面积 A1－断口的横截面面积 塑性与脆性材料 塑性材料： δ ≥ 5 % 例如结构钢与硬铝等 塑性材料： 脆性材料： δ <5 % 例如灰口铸铁与陶瓷等 脆性材料： 5
第8章 轴向拉伸与压缩
本章主要研究： ：
拉压杆的内力、应力与强度计算 材料在拉伸与压缩时的力学性能 轴向拉压变形分析 简单拉压静不定问题分析 连接部分的强度计算
1
§1 引 言
轴向拉压实例 轴向拉压实例 轴向拉压及其特点 轴向拉压及其特点
2
轴向拉压实例 轴向拉压实例
3
轴向拉压及其特点
外力特征：外力或其合力作用线沿杆件轴线 ： 变形特征：轴向伸长或缩短，轴线仍为直线 ：轴向伸长或缩短， 轴向拉压: 以轴向伸长或缩短为主要特征的变形形式 : 拉 压 杆: 以轴向拉压为主要变形的杆件 :
37
应力集中对构件强度的影响
对于脆性材料构件， 对于脆性材料构件，当 σmax＝σb 时，构件断裂
对于塑性材料构件， 后再增加载荷， 对于塑性材料构件，当σmax达到σs 后再增加载荷， σ 分布趋于均匀化，不影响构件静强度 分布趋于均匀化， 应力集中促使疲劳裂纹的形成与扩展, 对构件（ 应力集中促使疲劳裂纹的形成与扩展 对构件（塑 性与脆性材料） 性与脆性材料）的疲劳强度影响极大
33
应力集中与应力集中因数
应力集中
由于截面急剧变化引起应力局部增大现象－应力集中 由于截面急剧变化引起应力局部增大现象－
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应力集中因数
σmax K= σn
工程力学第8章 变形及刚度计算
结构构件在满足强度要求条件下，若其变形过大， 会影响正常使用。本章将学习杆件的变 形及刚度计算。
1
8.1 轴向拉压杆的变形
杆件在发生轴向拉伸或轴向压缩变形时，其纵向尺 寸和横向尺寸一般都会发生改变，现分别予以讨论。 8.1.1 轴向变形 图8.1所示一等直圆杆，变形前原长为l，横向直径 为d；变形后长度为l′，横向直径为d′，则称
8.8 题8.8图所示一直径为d的圆轴，长度为l，A端 固定，B端自由，在长度方向受分布力偶m 作用发生扭 转变形。已知材料的切变模量为G，试求B端的转角。
56
8.9 某传动轴，转速 n=150 r/min，传递的功率 P =60 kW，材料的切变模量为 G =80GPa，轴的单位长度 许用扭转角［θ］=0.5（°）/m，试设计轴的直径。
30
例 8.9 简支梁受力如图 8.11所示
31
8.4 简单超静定问题
8.4.1 超静定问题的概念 前面几章所研究的杆或杆系结构，其支座反力和内 力仅仅用静力平衡条件即可全部求解出来，这类问题称 为静定问题（staticallydeterminateproblem）。例如，图 8.12所示各结构皆为静定问题。在工程实际中，有时为 了提高强度或控制位移，常常采取增加约束的方式，使 静定问题变成了超静定问题或静不定问题 （staticallyindeterminateproblem）。超静定问题的特点 是，独立未知力的数目大于有效静力平衡方程式的数目， 仅仅利用静力平衡条件不能求出全部的支座反力和内力。
52
8.5 高为l的圆截面锥形杆直立于地面上，如题8.5图 所示。已知材料的重度γ和弹性模量E，试求杆在自重作 用下的轴向变形Δl。
53
54
05材料力学-轴向拉伸与压缩
§5.2 拉、压杆的强度计算
保证构件不发生强度破坏并有一定安全余量的条件准则。
N ( x) max max( ) A( x)
依强度准则可进行三种强度计算： ① 校核强度：
其中：[]—许用应力， max—危险点的最大工作应力。
max
P
② 设计截面尺寸： Amin N max
1
引
言
构件是各种工程结构组成单元的统称。机械中的轴、杆
件，建筑物中的梁、柱等均称为构件。当工程结构传递运动或
承受载荷时，各个构件都要受到力的作用。为了保证机械或建 筑物的正常工作，构件应满足以下要求： 强度要求 所谓强度，是指构件抵抗破坏的能力。 刚度要求 所谓刚度，是指构件抵抗变形的能力。
稳定性要求 所谓稳定性，是指构件保持其原有平衡形态的
22
均匀材料、均匀变形，内力当然均匀分布。 2. 拉伸应力：
P
N(x)
N ( x) A
轴力引起的正应力 —— ： 在横截面上均布。
3. 危险截面及最大工作应力： 危险截面：内力最大的面，截面尺寸最小的面。 危险点：应力最大的点。
N ( x) max max( ) A( x)
23
能力。 构件的强度、刚度和稳定性问题与其所选用材料的力学性
质有关，而材料的力学性质必须通过实验来测定。
2
杆件在不同的外力作用下将产生不同形式的变形，主要有： 1．轴向拉伸和压缩 ：其受力特点是：作用在杆件的力，大 小相等、方向相反，作用线与杆件的轴线重合，因此在这种外 力作用下，变形特点是：杆件的长度发生伸长或缩短。起吊重 物的钢索、桁架的杆件、液压油缸的活塞杆等的变形，都属于
第八章 轴向拉压杆的强度计算
表明该杆的轴力是截面位置x 的连续函数，
称为轴力方程。该轴力方程表明FN是关于截面位置x的 一次函数，轴力图如图所示。
时， 时， 沿杆长的分布规律如图（c）所 示；并可得
横截面上的正应力沿杆长 呈线性分布。
时， 时，
2、斜截面上的应力
在下一节拉伸与压缩试验中会看到，铸铁试件压缩时，其 断面并非横截面，而是斜截面。这说明仅计算拉压杆横截面上 的应力是不够的，为了全面分析解决杆件的强度问题，还需研 究斜截面上的应力。
在曲线中d点之前试件沿长度方向其变形基本上是均匀的但当超过d点之后试件的某一局部范围内变形急剧增加横截面面积显著减小形成图示的颈该现象称为由于颈部横截面面积急剧减小使试件变形增加所需的拉力在下降所以按原始面积算出的应力按原始面积算出的应力fa称为名义称为名义应力应力也随之下降如图中dg段直到g点试件断其实此阶段的真实应力即颈部横截面上的应力随变形增加仍是增大的如图中的虚线dg所示
应力是内力的集度，内力或应力均产生在杆件内部，是 看不到的。
应力与变形有关， 所以研究应力还得从 观察变形出发。
试验现象（矩形截面试件）： 周线：平移，形状不变，保持平行； 纵向线：伸长，保持平行，与周线正交。
拉（压）杆横截面上的内力 是轴力，其方向垂直于横截面， 因此，与轴力相应的只可能是垂 直于截面的正应力，即拉（压） 杆横截面上只有正应力，没有切 应力。
0.33
胡克定律 只适用于在杆长为l长度内F 、FN、E、A均为常值的情况下， 即在杆为l长度内变形是均匀的情况。 若杆件的轴力FN及抗拉（压）刚度EA沿杆长分段为常数，则
式中FNi、(EA) i和li为杆件第i段的轴力、抗拉（压）刚度和长度 。 若杆件的轴力和抗拉（压）刚度沿杆长为连续变化时，则
第八章__变形及刚度计算
8×103 ×180 o = 0.40 / m < [θ ] 4 9 π × 0.110 80×10 × ×π 32
满足刚度条件
例：实心圆轴受扭，若将轴的直径减小一半 实心圆轴受扭， 时，横截面的最大切应力是原来的 8 倍？ 圆轴的扭转角是原来的 16 倍？
τ max MT MT = = W p πd 3 16
又因为BD段内虽然轴力 又因为 段内虽然轴力 为常数， 为常数，但截面面积又分两 所以要分4段求变形 段求变形。 段，所以要分 段求变形。
∆L AE =
∑ ∆L
i
= ∆L AB + ∆L BC
FN图
+ ∆L CD + ∆L DE =
∑
FN l EA
§ 8-1 轴向拉压杆的变形
已知杆的长度、 受力如图。 例 已知杆的长度、截面面 积，受力如图。 材料的 弹性模量 E = 2.1 × 10 5 MPa。求杆的总变形 。
A1 = 250mm
50kN
2
A 2 = 200mm
30kN E
∆L AB
2
解：用直接法画轴力图 用直接法画轴力图
20kN
∆L AE =
∑ ∆L
i
= ∆L AB + ∆L BC
A B C D 1m 2m 1m 3m 10KN + – – 40KN 20KN
+ ∆L CD + ∆L DE =
∑
3
FN l EA
§8—2
圆杆扭转时的变形和刚度计算
一、扭转变形——扭转角 扭转变形 扭转角
MT 扭转角： 扭转角： ϕ = θdx = dx ∫ ∫0 GI p l
l
单位： 单位：rad
直杆轴向拉伸与压缩时的变形与应力分析和拉伸与压缩时材料的力学性能——教案
直杆轴向拉伸与压缩时的变形与应力分析和拉伸与压缩时材料的力学性能——教案第一章：直杆轴向拉伸与压缩的基本概念1.1 学习目标1. 了解直杆轴向拉伸与压缩的基本概念；2. 掌握直杆轴向拉伸与压缩的变形与应力分析方法。
1.2 教学内容1. 直杆轴向拉伸与压缩的定义；2. 直杆轴向拉伸与压缩的变形与应力分析方法。
1.3 教学活动1. 讲解直杆轴向拉伸与压缩的基本概念；2. 分析直杆轴向拉伸与压缩的变形与应力分析方法。
第二章：直杆轴向拉伸与压缩的变形分析2.1 学习目标1. 了解直杆轴向拉伸与压缩的变形规律；2. 掌握直杆轴向拉伸与压缩的变形分析方法。
2.2 教学内容1. 直杆轴向拉伸与压缩的变形规律；2. 直杆轴向拉伸与压缩的变形分析方法。
2.3 教学活动1. 讲解直杆轴向拉伸与压缩的变形规律；2. 分析直杆轴向拉伸与压缩的变形分析方法。
3.1 学习目标1. 了解直杆轴向拉伸与压缩的应力分布；2. 掌握直杆轴向拉伸与压缩的应力分析方法。
3.2 教学内容1. 直杆轴向拉伸与压缩的应力分布；2. 直杆轴向拉伸与压缩的应力分析方法。
3.3 教学活动1. 讲解直杆轴向拉伸与压缩的应力分布；2. 分析直杆轴向拉伸与压缩的应力分析方法。
第四章：拉伸与压缩时材料的力学性能4.1 学习目标1. 了解拉伸与压缩时材料的力学性能指标；2. 掌握拉伸与压缩时材料的力学性能分析方法。
4.2 教学内容1. 拉伸与压缩时材料的力学性能指标；2. 拉伸与压缩时材料的力学性能分析方法。
4.3 教学活动1. 讲解拉伸与压缩时材料的力学性能指标；2. 分析拉伸与压缩时材料的力学性能分析方法。
第五章：实例分析与应用5.1 学习目标2. 能够应用所学知识解决实际问题。
5.2 教学内容1. 直杆轴向拉伸与压缩的实例分析；2. 应用所学知识解决实际问题。
5.3 教学活动1. 分析直杆轴向拉伸与压缩的实例；2. 解决实际问题，巩固所学知识。
第六章：弹性模量的概念与应用6.1 学习目标1. 理解弹性模量的定义及其物理意义；2. 掌握弹性模量在材料力学中的应用。
工程力学-第8章 轴向拉伸与压缩
ห้องสมุดไป่ตู้ ➢ 关于安全因数
(1) 考虑强度条件中一些量的变异。如极限应力(s， p0.2，b，bc)的变异，构件横截面尺寸的变异，荷载的变
异，以及计算简图与实际结构的差异。 (2) 考虑强度储备。计及使用寿命内可能遇到意外事
故或其它不利情况，也计及构件的重要性及破坏的后果。
安全因数的大致范围：静荷载(徐加荷载)下，
第 8 章 轴向拉伸与压缩
§8-1 轴向拉伸与压缩的概念和实例 §8-2 轴力和轴力图 §8-3 拉、压杆横截面上的正应力与强度计算 §8-4 材料在拉伸、压缩时的机械性能 §8-5 拉、压杆的简单静不定问题
1
§8.1 轴向拉伸与压缩的概念和实例
轴向拉压的受力特点
作用于杆件上的外力或外力合力的作用线与杆件轴线重合 轴向拉。压的变形特点
(3) 圣维南(Saint-Venant)原理：“力作用于杆端方式的不同，只会使 与杆端距离不大于杆的横向尺寸的范围内受到影响”。
3. 拉(压)杆斜截面上的应力
12
斜截面上的内力： F F
变形假设：两平行的斜截面在杆受拉(压)而 变形后仍相互平行。 两平行的斜截面之间的所 有纵向线段伸长变形相同。
内力即轴力的值
➢ 轴力：横截面上的内力，作用线也与杆件的轴线重合； ➢ 轴力正负号：拉为正、压为负； ➢ 轴力图：轴力沿杆件轴线的变化。
目录
例 8-1
已知：F1=10kN；F2=20kN； F3=35kN；F4=25kN;
试，画出图示杆件的轴力图。
解：1、计算各段的轴力。
A
F1
AB段 Fx 0
什么样的截面上？
15
3. 对于拉(压)杆知道了其横截面上一点处正应力
第八章：拉伸(压缩)、剪切与挤压的强度计算(1)
第一节 轴向拉伸与压缩的概念、 截面法、轴力与轴力图
工程问题中，有很多杆件是受拉或受压的。
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绳索与立柱
内燃机的连杆
航空宇航学院 第一节 轴向拉伸与压缩的概念、 截面法、轴力与轴力图
直杆受拉或受压时的特点：
O
受力特点：外力或其合力的作用线与杆轴线重合 沿轴线方向伸长或缩短 O 变形特点：
注释
•
•
线应变ε —— 一点在某方向上尺寸改变程度 的描述； 一点在某方向上 与点的位置有关； 与过点的方位有关； 伸长变形为正； 无量纲。 切应变γ —— 过一点两互相垂直截面的角度改变 ； 过一点 与点的位置有关； 与垂直两边的方位 有关； 与垂直两边的 直角减小为正； 无量纲。
绪论
例2 已知：薄板的两条边 固定，变形后a'b, a'd 仍为直线。 求： ab边的εm和 ab, ad 两边夹角的变化。 解：
x
x方向的平均应变： M点处沿x方向的线应变:
ε xm
Δs = Δx
Δs ε x = lim Δx → 0 Δ x
类似地，可以定义:
εy , εz
六、变形与应变 y 3. 应变 O 切应变（剪应变或角应变） L 定义:过一点在某平面内两 相互垂直的无限小线元所夹 Δx M 直角的改变量，称为该点在 o 称为 该面内的切(剪)应变。用γ 表示。
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例 1 1 P2 3 P1 2 已知：P1=40kN, P2=30kN, P3=20 1 B 2 C 3 A kN。 求：1-1, 2-2和3-3截面的轴力, 并作杆的轴力图。 解：
P3 D
∑F
求支座反力
x
=0
FA
1 1 B 1 FN1 1
轴向拉伸和压缩习题附标准答案
第四章轴向拉伸和压缩、填空题1、杆件轴向拉伸或压缩时，其受力特点是：作用于杆件外力的合力的作用线与杆件轴线相_________ .2、轴向拉伸或压缩杆件的轴力垂直于杆件横截面，并通过截面_____________ .4、杆件轴向拉伸或压缩时,其横截面上的正应力是___________ 分布的.7、在轴向拉，压斜截面上，有正应力也有剪应力，在正应力为最大的截面上剪应力为________ .8杆件轴向拉伸或压缩时，其斜截面上剪应力随截面方位不同而不同，而剪应力的最大值发生在与轴线间的夹角为________ 的斜截面上.矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。
9、杆件轴向拉伸或压缩时，在平行于杆件轴线的纵向截面上，其应力值为_______ .10、胡克定律的应力适用范围若更精确地讲则就是应力不超过材料的________ 极限.11、杆件的弹必模量E表征了杆件材料抵抗弹性变形的能力，这说明杆件材料的弹性模量E值越大，其变形就越 ________ 聞創沟燴鐺險爱氇谴净。
12、在国际单位制中，弹性模量E的单位为________ .13、在应力不超过材料比例极限的范围内，若杆的抗拉（或抗压）刚度越_________ ，则变形就越小.15、低碳钢试样据拉伸时，在初始阶段应力和应变成___________ 关系，变形是弹性的，而这种弹性变形在卸载后能完全消失的特征一直要维持到应力为__________ 极限的时候.残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。
16、在低碳钢的应力一应变图上，开始的一段直线与横坐标夹角为a，由此可知其正切tg a在数值上相当于低碳钢的值.酽锕极額閉镇桧猪訣锥。
17、金属拉伸试样在屈服时会表现出明显的__________ 变形，如果金属零件有了这种变形就必然会影响机器正常工作.彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。
18、金属拉伸试样在进入屈服阶段后，其光滑表面将出现与轴线成_______ 角的系统条纹，此条纹称为__________ .謀养抟箧飆鐸怼类蒋薔。
轴向拉伸与压缩1(内力与应力)
1 4、作内力图 P 1 FN P P
2
3 P
2
3
P
P
x
[例2] 图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、 4P、 P 的力，方向如图，试画出杆的轴力图。
O
A
PA PB
B
C
PC
D
PD D PD
FN1
A PA
B PB
C PC
解： 求OA 段内力FN1，设置截面如图
F
x
0 F N 1 P A PB PC P D 0
解： 1、求1-1截面上内力 FN1，设置截面如图
F
x
0
1 P 1 FN1 P P P
2
3
P
FN 1 P 0 FN 1 P
P
2
3
2、2-2截面上的内力
F
x
0
P
FN2
P P
FN 2 0
3、3-3截面上的内力
FN 3 P
P
FN3
FN 1 P FN 2 0
FN 3 P
2
s
α
t
Pa
1 2
t p sin s cos sin
s sin 2
四、sα 、tα出现最大的截面
1、=0º 即横截面上，s达到最大
s s cos s
2
t 0
t max s cos sin
1 2
2、=45º 的斜截面上， t剪应力达最大
P -3P x
★轴力图的特点：
1）遇到集中力，轴力图发生突变；
2）突变值 = 集中载荷的大小
5kN FN 5KN
轴力与轴力图
② 应力：
max
N A
4P
πd 2
4 25 103 3.14 0.0142
162MPa
③ 强度校核： max 162MPa 170MPa
④ 结论：此杆满足强度要求，能够正常工作。
12
[例4] 简易旋臂式吊车如图 a)所示。斜杆AB为横截面直径 d＝20 mm旳钢材，载荷W=15 kN。 求当W移到A点时，斜杆AB横截面 应力(两杆旳自重不计)。
0
P A
34.1140010002
127.4MPa
max 0 /2127.4/263.7MPa
0
2
(1 cos 2 )
127.4 (1 cos 600 ) 2
95.5MPa
0
2
sin 2
127.4 sin 600 2
55.2MPa
21
§8-4 材料在拉伸与压缩时旳力学性能
力学性能：材料在外力作用下体现旳有关强度、变形方面旳特征。
41
解 (1) 作轴力图 杆旳轴力图如图b)所示。
(2) 计算杆旳变形 应用胡克定律分别求出各段杆旳变形
lAB
FN ABlAB EAAB
20 103 100 103 200 109 400 106
0.025103 m 0.025mm
lBC
FN lBC BC EABC
10 103 100 103 200 109 400 106
一、拉伸时材料旳力学性能
1、试验条件：常温(20℃)；静载（极其缓慢地加载）；原则 试件（P129，GB/T6397-1986）。
22
2、试验仪器：万能材料试验机；变形仪（常用引伸仪）。
23
24
3、低碳钢试件旳应力--应变曲线( -- 图)
答案与思考
第8章 轴向拉伸与压缩思考题1．指定截面的轴力如何求解？轴力图的意义是什么？如何绘制轴力图？2．杆内的最大正应力是否一定发生在轴力最大的截面上？3．图8—30所示有凹槽的杆，公式A F N=σ对凹槽段是否适用？图8—304．图8—31所示杆由钢和铝两种材料牢固黏结而成，公式A F N=σ是否适用？图8—315．低碳钢和铸铁在拉伸和压缩时失效形式有何不同？6．何谓胡克定律？它有几种表达形式？它的应用条件是什么？7．若杆的总变形为零，则杆内任一点的应力、应变和位移是否也为零？为什么？8．图8—32所示结构变形后结点A 的新位置'A ，哪个正确？为什么？图8—329．何谓超静定问题？与静定问题相比，超静定问题有何特点？习题一、判断题1、杆件两端受到等值，反向和共线的外力作用时，一定产生轴向拉伸或压缩变形。
（ ）2、轴力图可显示出杆件各段内横截面上轴力的大小但并不能反映杆件各段变形是伸长还是缩短。
（）3、一端固定的杆，受轴向外力的作用，不必求出约束反力即可画内力图。
（ ）4、求轴向拉伸或压缩杆件的轴力时，一般地说，在采用了截面法之后，是不能随意使用力的可传性原理来研究留下部分的外力平衡的。
（ ）5、对于轴向拉压杆，在与横截面成α角的斜截面上，只要在0900≤≤α范围内，斜截面上的正应力和切应力就不可能同时为零。
（ ）6、不论杆件的长短粗细如何，其绝对变形大小是可以完全反映这一杆件的变形程度的。
（ ）7、材料相同的两根等直杆，已知一根杆的伸长为0.001mm ，另一根杆的伸长为1mm ，则前者符合小变形假设，后者不符合小变形假设。
（ ）8、轴向拉伸或压缩杆作的轴向线应变和横向线应变符号一定是相反的。
（ ）9、同种材料制成的、但尺寸不同的试样，试验所得到的应力-应变曲线运动形状与试样 的尺寸是无关的。
（ ）10、铸铁这种脆性材料在拉伸或压缩试验时都不出现屈服，变形不大就突然断裂，其断口断面都近似垂直于轴线。
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§8-6
一、概述
拉伸与压缩时的力学性能
力学性能：在外力作用下材料在变形和破坏方面所表 现出的力学特性。 试验试件
拉伸试件
压缩试件
第八章
轴向拉伸与压缩 §8-1 引言
工程中有许多构件在工作的时候是受拉伸和压缩的，如图 所示的吊车，在载荷G的作用下，AB杆和钢丝绳受到拉伸，而 BC杆受到压缩。 还有螺栓连接，当拧紧螺母时，螺栓受到拉 伸。
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第八章
轴向拉伸与压缩 §8-1 引言
受拉伸或压缩的构件大多数是等截面直杆，统称为杆件。 受力特点： 作用在杆端的两个外力（或外力的合力）等值，反向， 力的作用线与杆件的轴线重合。 变形特点： 杆件沿轴线方向发生伸长或缩短。
工程力学
Engineering Mechanics
华东交通大学
Department of Mechanics of School of Civil Engineering and Architecture of East China Jiaotong University
2018/12/28
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FN2 F 60kN
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BC 段： Fx 0 :
FN3 F 0
解得： FN3 F 60kN
⑵ 确定危险截面 经分析危险截面在BC和AD 段 ⑶ 强度校核 FN1 120 103 max 120MPa= 2 6 AAD 1000 10 FN3 60 103 max 120MPa< 1 6 ABC 500 10 所以杆件强度满足要求。
15
应力集中对构件强度的影响 1.脆性材料 σmax 达到强度极限，此位置开裂，所以脆性材料 构件必须考虑应力集中的影响。 2.塑性材料 应力集中对塑性材料在静载作用下的强度影响 不大，因为σmax 达到屈服极限，应力不再增加，未 达到屈服极限区域可继续承担加大的载荷，应力分 布趋于平均。 在交变应力情况下，必须考虑应力集中对塑性 材料的影响。
为了计算方便，不管杆件是 轴力正负规定 受拉还是受压，在画截面图 时，一律按正的轴力画出， 拉力为正（方向背离杆件截面）； 压力为负（方向指向杆件截面）。 即轴向指向离开截面。
F
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x
0 : FN F 0
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FN F
6
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1
第八章 轴向拉伸与压缩
§8-1 §8-2 §8-3 §8-4 §8-5 §8-6 §8-7 引言 轴力与轴力图 横截面上的正应力 拉压杆的强度条件 斜截面上的应力 拉伸与压缩时的力学性能 拉压杆的变形与位移
§8-8
§8-9
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简单拉压超静定问题
剪切和挤压的实用计算
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2、计算各杆件的应力。
B
C
2
FN 1
y
F
FN 1 28.3 103 1 A1 202 106 4 90106 Pa 90MPa
FN 2 20 103 2 2 6 A2 15 10 89 106 P a 89MP a
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§8-4
截面轴力
拉压杆的强度条件
max
FN ( )max A
截面面积
材料强度
·强度校核 ·截面设计 ·许用载荷确定
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x am
FN ( ) x am A FN A
⑵ 截面法计算各段轴力 AB 段： Fx 0 : FN1 FRA 0
解得： FN1 10kN BC 段： Fx 0 : FN2 FRA 40 0 解得： FN2 50kN
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CD 段： Fx 0 : 解得： FN3 5kN
三、卸载定律及冷作硬化
d
e
b
e P
b
f
材料在卸载过程中应 力和应变是线性关系，这 就是卸载定律。
h
a c
d
s
o
g
f
1、弹性范围内卸载、再加载 2、过弹性范围卸载、再加载
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பைடு நூலகம்
材料的比例极限增高， 延伸率降低，称之为冷作硬 化或加工硬化。
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四、其它材料拉伸时的力学性质
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§8-2
一、轴力
轴力与轴力图 （*重点）
材料力学里研究的内力是指物体内部各部分之间的相互作 对于受拉或压的杆件，外力的作用线与杆件的轴线重合， 用力；而静力学里的内力是指物体平衡时，各物体之间的 所以内力合力的作用线与杆件轴线重合，这种内力称为轴 相互作用力。 力。
4、局部径缩阶段ef
明显的四个阶段
1、弹性阶段ob E 胡克定律 P — 比例极限 E—弹性模量（GN/m2或GPa） e — 弹性极限 E tan 2018/12/28 华东交通大学土建学院
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低碳钢拉伸试件
低碳钢拉伸破坏演示
拉压破坏试件
试件破坏断口
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试验设备 ： (1) 万能试验机：强迫试样变形并测定试样的抗力。 (2) 变形仪：将试样的微小变形放大后加以显示的仪器。
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纵坐标——试样的抗力F(荷载)
应力σ
应变ε
受力与变形曲线
横坐标——试样工作段的伸长量⊿L
7
二、轴力图
表示轴力沿轴线方向变化情况的图形，横坐标表 示横截面的位置，纵坐标表示轴力的大小和方向。
例：一等直杆受力情况如图所示。试作杆的轴力图。
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解：⑴ 求约束力
F
x
0 : FRA 40 55 25 20 0
解得： FRA 10kN
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k
p
α斜截面正应力： α斜截面切应力：
F F F p cos cos A A A
p cos cos
2
2
21 2 p sin cos sin sin 华东交通大学土建学院 2
FN A
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例：图示变截面由两种材料制成，AE 段为铜质，EC 段为钢质 。钢的许用应力[σ]1 = 160MPa，铜的许用应力[σ]2 = 120MPa ， AB 段横截面面积1000mm2，AB 段横截面面积是BC 段的两倍，。外力 F = 60kN ，作用线沿杆方向，试对此杆进行强度校核。 解：⑴ 求杆的轴力，作轴力图 AD 段： Fx 0 : FN1 2F 0 解得： FN1 2F 120kN DB段： Fx 0 : FN2 2F F 0 解得：
F l
曲线
消除试件尺寸的影响
曲线
F l , A l
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二、低碳钢拉伸时的力学性能
e
b
e P
b
f
2、屈服阶段bc（失去抵 抗变形的能力）
s — 屈服极限
a c
s
o
3、强化阶段ce（恢复抵抗 变形的能力） b — 强度极限
y
F
C
2
FN 1
Fx 0 Fy 0
FN1 cos45 FN 2 0 FN1 sin 45 F 0
FN 2 20kN
12
FN 2 45° B
F
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x
FN1 28.3kN
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A 1
45°
FN1 28.3kN
FN 2 20kN
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例：图所示轴向受压等截面杆件，横截面面积 A = 400mm2 ， 载荷F = 50kN ，试求横截面及斜截面m -m上的应力。
解：由题可得 o FN 50kN 50 横截面上的正应力 FN 50 103 8 0 1.25 10 Pa 125MPa 6 A 400 10 斜截面上的正应力 50o 0 cos2 125 cos2 50o 51.6MPa
对于没有明显 屈服阶段的塑性材 料，用名义屈服极 限σp0.2（ 0.2%塑 性应变时）来表示。
p0.2
o
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0 .2 %
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对于脆性材料（铸铁），拉伸时的应力应变曲 线为微弯的曲线，没有屈服和径缩现象，试件突然 拉断。断后伸长率约为0.5%。为典型的脆性材料。
FN 2 45° B
F
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x
二、圣维南原理
外力作用于杆端的方式不同，只会使与杆端距离 不大于横向尺寸的范围内受到影响。