正弦定理优质课教学设计教学实录

课题: §1．1．1正弦定理

●教学目标知识与技能：

通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。

过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。

情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。

●教学重点正弦定理的探索和证明及其基本应用。

●教学难点已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

●教学过程I.课题导入

在青美丽的校园里，它是点睛之笔，标志性景观。它耸立在无之海畔，午山西麓，高俊挺拔，巍峨壮美。这“高端”建筑物就是我们的钟楼，如何利用数学知识探求二中钟楼的高度呢？这是我们在必修五第一章《解三角形》中要学习探究的。

II.讲授新课

[任务单反馈一]在初中，我们学过的三角形中的知识有哪些？

我们分别从3个方面加以回顾：角的关系；边的关系；边角关系。[研究]

我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，边角有怎样的等式关系？如图1．1-2，在RtDABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有si naAc=，si nbBc=，又si n 1cCc= =, 则si n si n si nabccABC= = =从而在直角三角形ABC中，si n si n si nabcABC= =那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：当DABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=si n si naBbA=,则si n si nabAB=，同理可得sin

sincbCB=，从而si n si nabAB=si ncC=思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。（下课后自主研究向量法）：过点A作jAC^ur uuur，

由向量的加法可得

ABACCB= +uur uuur uur则( )jABjACCB×= ×+ur uur ur uuur uur∴jABjACjCB×= ×+ ×ur uur ur uuur ur uur()()00cos900cos90- = + -r uuur r uuurjABAjCBC∴sinsin=cAaC，

即sinsin=acAC同理，过点C作^r uuurjBC，可得sinsin=bcBC从而

si n si nabAB=si ncC=类似可推出，当DABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导）从上面的研探过程，可得以下定理[任务单反馈二]正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即si n si nabAB=si ncC=[理解定理]（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使si nakA=，si nbkB=，si nckC=；（2）si n si nabAB=si ncC=等价于si n si nabAB=，si n si ncbCB=，si naA=si ncC[拓展思维]在刚才的推导过程中，我们利用了哪些数学的思想方法？（1）分类讨论（2）转化归纳（3）从特殊到一般（4）几何法（5）算两次原理

[任务单反馈三] 正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使si nakA=，si nbkB=，si nckC=；这个常数k究竟是什么？与三角形的外接圆半径有什么关系？（可以按照之前探究正弦定理的方法，从直角三角形入手。）[再次理解定理]从方程的角度理解正弦定理，它可以解决哪类解三角形问题？①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如si nsi nbAaB=；②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如si n si naABb=。一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。[合作探究]以小组为单位，设计一道利用正弦定理解三角形的题目。题目：解答：[成果分享]在DABC 中，已知20=acm，28=bcm，040=A，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm）。解：根据正弦定理，0sin28sin40sin0.8999.20= =

»bABa

因为00＜B＜0180，所以064»B，或0116.»B(1) 当064»B时，00000180()180(4064)76= - + » - + =CAB，00sin20sin7630().sinsin40= = »aCccmA(2) 当0116»B时，00000180()180(40116)24= - + » - + =CAB，00sin20sin2413().sinsin40= = »aCccmA评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。III. 课时小结（1）定理的表示形式：si n si nabAB=si ncC= =()0si n si n si nabckkABC+ += >+ +；或si nakA=，si nbkB=，si nckC=( 0)k>（2）正弦定理的应用范围：①已知两角和任一边，求其它两边及一角；②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。IV. 课后作业请借助量角设备和直尺,给出合理方案测量出二中钟楼的高度？