弹性力学 用差分法和变分法解平面问题

以相邻三结点处的函数值来表示一个端点处的一阶导数值，
可称为端点导数公式。
应当指出：中点导数公式与端点导数公式相比，精度较高。
因为前者反映了结点两边的函数变化，而后者却只反映了结点
一边的函数变化。因此，我们总是尽可能应用前者，而只有在
无法应用前者时才不得不应用后者。
弹性力学
用差分法和变分法解平面问题
8
f y
0


f y
1
2h
f y
3

1
2
4h
[(
f6

f8) (
f5

f7 )]
(5)
弹性力学
用差分法和变分法解平面问题
7
一 差分公式的推导

4 f x4
0

1 h4
[6
f0

4(
f1

f3)
(
f9

f11)]
(c)
弹性力学
用差分法和变分法解平面问题
13
二 弹性体的形变势能和外力势能
１、应力的功和形变势能（内力势能） （4）假设没有转化为非机械能和动能，则应力所做的功全部
转化为弹性体的内力势能，又称为形变势能，或应变能，
存贮于U 物体内部。 1 --单位体积的形变势能（形变势能密度）。
（5）整个弹性体的形变势能
合肥工业大学本科生教学
《弹性力学》
第五章 用差分法和变分法解平面问题
主讲教师：袁海平 (副教授、博士后)
第五章 用差分法和变分法解平面问题
内容提要
徐芝纶院士(1911-1999)
一、差分公式的推导 二、弹性体的形变势能和外力势能 三、位移变分方程 四、位移变分法 五、位移变分法例题
弹性力学简明教程(第三版)
f

f0


f x
0
(
x

x0
)

1 2!

2 x
f
2
(x x0 )2 0
(b)
在结点３，x=x0-h；在结点1， x=x0+h。代入(b) 得：
f3

f0
h f x 0

h2 2

2 x
f
2
0
(c)
f1

f0
(b)
弹性力学
用差分法和变分法解平面问题
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二 弹性体的形变势能和外力势能
4、弹性体的总势能
• 弹性体的总势能，是外力势能和内力 （形变）势能之和，
E p U V.
(h)
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用差分法和变分法解平面问题
18
二 弹性体的形变势能和外力势能
例题1
试证明，在同样的应变分量 x , y , xy下，平面应变情况下
外力功：
W
(
A
fxu

f yv) d
xd
y

sσ ( f xu f yv) d s .
(a)
外力势能─外力做了功，必然消耗了相同
值的势能。当取 u v 0时的外力功和能为
零，则：
V W

A( fxu
fyv) d x d y
(f
sσ
xu
f
yv) d s.
第五章 用差分法和变分法解平面问题
内容提要
徐芝纶院士(1911-1999)
一、差分公式的推导 二、弹性体的形变势能和外力势能 三、位移变分方程 四、位移变分法 五、位移变分法例题
弹性力学简明教程(第三版)
二 弹性体的形变势能和外力势能
变分法，是研究泛函及其极值的求解方法。
泛函－－是以函数为自变量的一类函数。
束条件允许下，平衡状态附近的微小位移增量，
解： ⑴当AB线切开时，AB线上的应
力趋于0，而形变势能是正定，U 0， C
D
当应力 趋近于0 时，相应的形变势
能也失去。因此，板的总的形变势能
减少。
A
B
l
E
F
弹性力学
用差分法和变分法解平面问题
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二 弹性体的形变势能和外力势能
⑵ 当AB线切开后，边界CD和EF仍是固定的，我们可以比较 两种状态：
h f x 0

h2 2

2 x
f
2
0
(d)
联立（c）、（d），解得差分公式：
f x 0

f1 f3 2h
(1)
2 f

x2
0

f1
f3 2 f0 h2
(2)
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用差分法和变分法解平面问题
6
一 差分公式的推导
弹性力学变分法，因其泛函就是弹性体的能量（如形变势能、 外力势能），又称为能量法。
弹性力学变分法，是区别于微分方程边值问题的另一种独 立解法，分为：
➢ 位移变分法：取位移函数为自变量，并以势能极小值条 件导出变分方程。
➢ 应力变分法：取应力函数为自变量，并以余能极小值条 件导出变分方程。
弹性力学
用差分法和变分法解平面问题
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第五章 用差分法和变分法解平面问题
内容提要
徐芝纶院士(1911-1999)
一、差分公式的推导 二、弹性体的形变势能和外力势能 三、位移变分方程 四、位移变分法 五、位移变分法例题
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三 位移变分方程
1.实际平衡状态的位移 u， ，v 必须满足
⑴ 用位移表示的平衡微分方程（在A中）;
2
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用差分法和变分法解平面问题
11
二 弹性体的形变势能和外力势能
１、应力的功和形变势能（内力势能）


σ ε
σ ε
线性的应力与应变关系


非线性的应力与应变关系
弹性力学
用差分法和变分法解平面问题
12
二 弹性体的形变势能和外力势能
１、应力的功和形变势能（内力势能）
U1

1 2
19
二 弹性体的形变势能和外力势能
• 代入，得
( 1
E

2
)推出( 1
E

2
)[
1
1 2
2

2
]

( 1
E

2
)[
1
1
2
2
],
显然，方括号内 [ 1 μ2 ] 1.
1 2μ
将式(a)中的 E ， 都作为式(b)的变换，整理后
得平面应变情况下的形变势能公式，
U
E
A1
2
[(1 1
)2 2
(
2 x


2 y
)

2( 1 1 2
) x y

1
2

2 xy
]dxdy.
(c)
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用差分法和变分法解平面问题
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二 弹性体的形变势能和外力势能
• 从式(c)可见，在平面应变情况下，形变
势能 U中的第1，2，3项均大于平面应力
f3
d f f f2 f1 ; dx x x2 x1
o
x1 x2 x3
x
将微分方程用差分方程（代数方程）代替，求解微分方程问
题化为求解差分方程问题。
弹性力学
用差分法和变分法解平面问题
4
一 差分公式的推导
在弹性体上，用相隔等间距h而平 行于坐标轴的两组平行线织成正方形 网格。
设f=f(x,y)为弹性体内的某一个连续 函数，该函数在平行于x轴的一根网线 上，如在3-０-１上，它只随x坐标的改 变而变化。在邻近结点０处，函数f可 展为泰勒级数如下：
10
二 弹性体的形变势能和外力势能
１、应力的功和形变势能（内力势能）
（1）作用于微小单元上的应力，是邻近部分物体对它的作用力， 可看成是作用于微小单元上的“外力”。
（2）因应力和应变均从0增长到 σ, ，故单位体积上，
应力所做的功是
非线性 σ~ 关系－－ U1

σ d,
0
线 性 σ ~ 关系－－ U 1 1 σ .
单位厚度的形变势能大于平面应力情况下的形变势能。
解：平面应力情况下，单位厚度的形变势能：
U
E
A 2 1 2
(
2 x


2 y

3
x
y

1
2

2 xy
)dxdy.
(a)
对于平面应变情况，只需将上式中E，变换为
E

E 1 μ2
,
μ

μ 1 μ
.(b)
弹性力学
用差分法和变分法解平面问题
U
AU1
d
x
d
y

1 2
A (σxεx σ yεy τxyγxy ) d x d y. (d)
弹性力学
用差分法和变分法解平面问题
14
二 弹性体的形变势能和外力势能
１、应力的功和形变势能（内力势能）
（6）将物理方程代入，平面应力问题的形变势能密度U1，可
用形变表示为
U1

E
2(1 2 )
情况下的值，而第4项
1 μ 2
γ
2不变。因此，
xy
平面应变的形变势能 U大于平面应力的形
变势能U 。
弹性力学
用差分法和变分法解平面问题
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二 弹性体的形变势能和外力势能
例题2 图示一板块，在铅直方向均布拉力作用下发生拉伸变形，并
使之两端固定下来，若在其中切开一小口AB时，来自百度文库说明板的形变 势能将发生什么变化？
弹性力学
用差分法和变分法解平面问题
3
一 差分公式的推导
差分法是微分方程的一种数值解法， 它不是去求解函数f(x)，
而是求函数在一些结点上的值
f 1, f。2
将微分用有限差分来代替
f
dx x x2 x1
f (x)
df f f2 f1
将导数用有限差商来代替
f 1
f 2
(5-16)
对于平面应变问题， 将
E变为 E
1
2
，变为
1

.
弹性力学
用差分法和变分法解平面问题
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二 弹性体的形变势能和外力势能
2、形变势能Ｕ的性质 （1）U 是应变或位移的二次泛函，故不能应用叠加原理。
（2）应变或位移发生时，U 总是正的，即
U 0.
（3）U 的大小与受力次序无关。

4 f x 2y 2
0

1 h4
[4
f0

2(
f1

f2

f3

f4 )
(
f5

f6

f7

f8)]
(6)

4 f y 4
0

1 h4
[6
f0

4(
f2

f4)

(
f10

f12 )]
差分公式(１)及(３)是以相隔2h的两结点处的函数值来表示
中间结点处的一阶导数值，可称为中点导数公式。
( x2


2
y

2 x
y

1
2

xy2 ).(e)
再将几何方程代入， U 1 可用位移表示为
U1

2
E 1 μ2
(
u x
)2

( v y
)2

2μ
u x

v y

1 μ 2
( v x

u y
) .(f
)
整个弹性体的形变势能为 U U1dxdy
同理，在网线4-0-2上可得到差分公式：

f y
0

f2 f4 2h
(3)
2 f

y 2
0
f2
f4 2 f0 h2
(4)
以上（１）—（４）是基本差分公式，从而可导出其它
的差分公式如下：

2 f xy
0



x

x x
y y
z z
xy xy
yz yz
zx zx
（3）对于平面应力问题 (σz τzx τzy 0)
或平面应变问题 (εz γzx γzy 0), 单位体积上应力所做的功都是
U1

1 2
x x
y y
xy xy
➢ AB切开后， AB线仍然处于闭合状态，不发生张开，这是 不稳定的平衡状态。
➢ AB线张开，出现裂纹，这是稳定的平衡状态。由于系统 的稳定平衡状态与邻近的状态相比，总势能处于极小值， 而(a)，(b)两种状态的外力势能不变，因此，(b)的形变势 能小于(a)，即形变势能将减少。
弹性力学
用差分法和变分法解平面问题
⑵ 用位移表示的应力边界条件（在 s上σ );
(a)
⑶ 位移边界条件（在 su上）。
其中⑴，⑵属于静力平衡条件，⑶属于 约束条件。
对于实际位移，可将⑶看成是必要条 件，而⑴，⑵是充分条件。
弹性力学
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25
三 位移变分方程
• 2.虚位移状态
⑴ 虚位移（数学上称为位移变分） ，u v表, 示在约
一 差分公式的推导
弹性力学的基本解法是，根据静力平衡条件，形变与位移 之间的几何条件和形变与应力之间的物理条件，建立微分方程 和边界条件。
因此，弹性力学问题属于微分方程的边值问题。通过求解， 得出函数表示的精确解答。
对于工程实际问题，由于荷载和边界较复杂，难以求出函 数式的解答。为此，人们探讨弹性力学的各种近似解法，主要 有差分法、变分法和有限单元法。
（4）U1对应变的导数，等于对应的应力：
U1
x

σx,
U1
y

σy,
U1
xy
xy.
(5-15)
弹性体每单位体积中的形变势能对于任一形变分量的
改变率，等于相应的应力分量。
弹性力学
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二 弹性体的形变势能和外力势能
3、弹性体上的外力功和外力势能
f

f
0


f x
0
(
x

x0
)

1 2!

2 x
f
2
(x x0 )2 0

1 3!

3 f x3
(x x0 )3 ... 0
(a)
弹性力学
用差分法和变分法解平面问题
5
一 差分公式的推导
只考虑离开结点０充分近的那些结点，即（x-x0）充分小。 于是可不计（x-x0）的三次及更高次幂的各项，则上式简写为：