最新几个典型的代数系统
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《离散数学》第五章
⊕4b）⊕4c=
a
c)， 满足结合律。 ⊕4(b ⊕4c)，即⊕4满足结合律。
0是单位元，0的逆元是 ，1和3互为逆元，2的逆 是单位元， 的逆元是 的逆元是0， 和 互为逆元 互为逆元， 的逆 是单位元 元是2。 是一个群。 元是 。 <Z4； 4>是一个群。 ⊕ 是一个群
14
定义5-8:如果群 如果群<G; * >的运算 是可交换的，则称该群为 的运算*是可交换的 定义 的运算 是可交换的，
5
三、 子半群和子独异点
定义5-5 定义
<S； >的子代数，则称<T； >是<S； >的子半群。 ； 的子代数，则称 ； 是 ； 的子半群。 的子代数 的子半群
∗
设<S； >是一个半群 ，若 <T； ； 是一个半群 ； ∗
∗
例6
= {2n | n ∈ N} N3 = {3n | n ∈ N}, N4 = {4n | n ∈ N}, L
交换群或阿贝尔群。 交换群或阿贝尔群。
15
二、循环群
1．群中元素的幂 对于任意a∈ ， 对于任意 ∈G， a0=e,
anƮ=e, ( a−1)n+1 = (a−1)n ∗ a−1 (n=0,1,2,…) （*） ） 引进记号 a−n = (a−1)n = a−1 ∗ a−1 ∗ ⋅ ⋅ ⋅ ∗ a−1 ( n个a-1 ) 个 因此（ 因此（ ）式可表示为 (a −1 )0 = e, a−n−1 = a−n * a−1 对于任意整数
1
5.1 半群和独异点 一、半群 半群 定义5-1 定义
二元运算， 二元运算，如果 是半群。 是半群。∗ > < s; 是一个非空集合， 设S是一个非空集合， 是S上的一个 是一个非空集合 上的一个 是可 结 合 的 , 则 称 代 数 系 统
离散数学及其应用课件：典型代数系统简介
典型代数系统简介
9.3.2 布尔代数的概念与性质 定义9.20 如果一个格是有补分配格,则称它为布尔格或
布尔代数。布尔代数通常记为<B,∨,∧,',0,1>,其中“¢”为求 补运算。
典型代数系统简介
典型代数系统简介
定义9.21 设<B,*,·>是一个格代数系统,*和·是B 上的两 个二元运算,如果*和·满足交换律、分配律、同一律和互补 律,则称<B,*,·>为布尔代数。
(2)若 H 是G 的子群,且 H ⊂G,则称 H 是G 的真子群,记作
H <G。 定理9.6 假设G 为群,H 是G 的非空子集,则 H 是G 的子
群当且仅当下面的条件成立:
(1)∀a,b∈H 必有ab∈H; (2)∀a∈H 有a-1∈H。 证明 必要性是显然的。为证明充分性,只需证明e∈H。 因为 H 非空,必存在a∈H。由条件(2)知a-1∈H,再根据条件(1)
典型代数系统简介
典型代数系统简介
定义9.10 令<R,+,·>是环,若环中乘法·适合交换律,则称R 是交换环。若环中乘法·存在单位元,则称R 是含幺环。 注意
(1)在环中通常省略乘法运算·; (2)为了区别含幺环中加法幺元和乘法幺元,通常把加法 幺元记作0,乘法幺元记作1。可以证明加法幺元0恰好是乘法 的零元。 (3)环中关于加法的逆元称为负元,记为-x;关于乘法的逆 元称为逆元,记为x-1。
有aa-1∈H,即e∈H。
典型代数系统简介
定理9.7 假设G 为群,H 是G 的非空子集,H 是G 的子群当
且仅当∀a,b∈H 有ab-1∈H。
证明 根据定理9.6必要性显然可得出,这里只证充分性。
因为 H 非空,必存在a∈H。根据已知条件得aa-1∈H,即e∈H。 任取a∈H,由e,a∈HH得ea-1∈H,即a-1∈H。任取a,b∈H,知b1∈H .再利用给定条件得a (b-1)-1∈,即ab∈H。
第六章 几种典型的代数系统
因为关于二元运算 的幺元是唯一的，所以 我们有时不再列举幺元 e，而简单地说< S, > 是幺半群。因为在幺半群中只有一个二元运 算 ，所以我们把关于 的幺元称为幺半群的 幺元。
➢ < N, + >， < Z, + >， < Q, + >，< R, + > 都 是无限交换幺半群，幺元是 0。< Z+, + > 不 是幺半群。
定理6.1 群中元素 x 的逆元 x1 的逆元是 x， 即 (x1) 1 = x。 证明 因为 xx1= x1x = e，所以 (x1) 1 = x 。 定理6.2 群中的二元运算满足消去律。 证明 群中的每个元素都有逆元。由定理5.4立 即得出结论。
定理6.3 幺元是群中唯一的幂等元。 证明 ee = e，e 是幂等元。设 a 是群中的任意 幂等元，则 aa = ae。因为群中的二元运算满 足消去律，所以 a = e。
定义6.3 若幺半群 < G, , e > 中的每个元素都有 逆元，f 是 G 上的求逆元运算，即 f(x) = x1，则 称代数系统 < G, , f, e > 为群。若群中的二元运 算是可交换的，则称它为交换群，也称为阿贝 尔群。若群中的集合是有限集，则称该群为有 限群，否则称为无限群。若有限群中的集合有 n 个元素，则称该有限群为 n 阶群。一阶群， 即幺元是群中唯一元素的群称为平凡群。
例如， < Z, +, , 0 > 是无限交换群，称其为整 数加法群。
定义实函数集 RR 上的二元运算 + 如下：
对于任意 f, gRR，(f + g)(x) = f(x) + g(x)。
➢ < N, + >， < Z, + >， < Q, + >，< R, + > 都 是无限交换幺半群，幺元是 0。< Z+, + > 不 是幺半群。
定理6.1 群中元素 x 的逆元 x1 的逆元是 x， 即 (x1) 1 = x。 证明 因为 xx1= x1x = e，所以 (x1) 1 = x 。 定理6.2 群中的二元运算满足消去律。 证明 群中的每个元素都有逆元。由定理5.4立 即得出结论。
定理6.3 幺元是群中唯一的幂等元。 证明 ee = e，e 是幂等元。设 a 是群中的任意 幂等元，则 aa = ae。因为群中的二元运算满 足消去律，所以 a = e。
定义6.3 若幺半群 < G, , e > 中的每个元素都有 逆元，f 是 G 上的求逆元运算，即 f(x) = x1，则 称代数系统 < G, , f, e > 为群。若群中的二元运 算是可交换的，则称它为交换群，也称为阿贝 尔群。若群中的集合是有限集，则称该群为有 限群，否则称为无限群。若有限群中的集合有 n 个元素，则称该有限群为 n 阶群。一阶群， 即幺元是群中唯一元素的群称为平凡群。
例如， < Z, +, , 0 > 是无限交换群，称其为整 数加法群。
定义实函数集 RR 上的二元运算 + 如下：
对于任意 f, gRR，(f + g)(x) = f(x) + g(x)。
离散数学第六章
6.1.6 循环群和置换群
§循环群 在循环群G=<a>中, 生成元a的阶与群G的阶是一样 的. 如果a是有限阶元, |a|＝n, 则称G为n阶循环群. 如 果a是无限阶元, 则称G为无限阶循环群. 例如: <Z,+>是无限阶循环群; <Z6,>是n阶循环群. 注意:(1) 对9 无限阶循环群G=<a>, G的生成元是a和a-1; (2) 对n阶循环群G=<a>=<e,a,…,an-1>,G的生成元是at 当且仅当t与n互素, 如12阶循环群中, 与12互素的数 有1、5、7、11. 那么G的生成元有a1=a、a5、a7、 a11. (3) N阶循环群G=<a>, 对于n的每个正因子d, G恰好有 一个d阶子群H=<an/d>.
6.1.3 子群
例如, 群<Z6,>中由2生成的子群包含2的各次 幂, 20=e=0, 21=2, 22=22=4, 23=222=0, 所 以由2生成的子群：<2>={0,2,4}.
对于Klein四元群G={e,a,b,c}来说, 由它的每个 元素生成的子群是 <e>={e}, <a>={e,a}, <b>={e,b}, <c>={e,c}
6.1.6 循环群和置换群
§循环群
定义6.7 在群G中, 如果存在aG使得 G={ak|kZ} 则称G为循环群, 记作G=<a>,称a为G的生成元. ☆ 循环群必定是阿贝尔群, 但阿贝尔群不一定 是循环群. 证明: 设<G,*>是一个循环群, 它的生成元是a, 那么,对于任意x,yG, 必有r,sZ, 使得 x=as,y=at, 而且x*y=as*at=as+t=at*as=y*x 由此可见<G,*>是一个阿贝尔群. 例如,<Z,+>是一个循环群, 其生成元是1或-1.
离散数学第六章
第六章几个典型的代数系统6.1 半群与群引言：简略介绍群论产生的背景1. 图形的对称性如正三角形、正方形（一般地正n 边形）、长方形、 等腰三角形、等腰梯形等；三维空间中的正四面体、 正方体、长方体等都各有自己的对称性。
画图解释：2．用根式求解代数方程的根（1）一元二次方程：20x bx c ++=⇒122b x -±=，。
注：①约公元前2000年即出现二次方程求根问题； ②约公元9世纪时，阿拉伯人花拉子米首次得到上述求根公式。
（2）三次及四次方程的求根公式一般三次方程: 320x ax bx c +++=。
先作变换：用3a x -代替x 后可化成 3x mx n +=（不含二次项）， （*）其中 332,3327a ab a m b n c =-=--。
利用恒等式：333()3()u v uv u v u v -+-=-，把它与（*）比较得：33,3,x u v uv m u v n =-=-=。
由后面两个关于33,u v 的方程可得u x u v v ⎫⎪=⎪⇒=-= （即*方程的解） 以上求解三次方程的公式叫做卡丹公式， 出现在公元1545年出版的著作《大书》中。
关于四次方程的求根公式这里从略，可以肯定的是， 四次一般方程也有求根公式，并且也叫卡丹公式。
（3从1545年之后的近300年间，人们都没能找到五次(当然，这并不排除对 某些特殊的五次及五次以上的方程可以求出它们的根）。
直到1830年由法国人Galois （伽珞瓦）解决，证明出：五次及五次以上的一般方程不存在用加、减、乘、除及开方表示的求根公式，所用方法就是现在已广为接受的群的思想。
可是在当时，很多同时代的大数学家都无法理解和接受他的思想方法。
3．群在其它方面的应用：如编码理论、计算机等。
一．群的定义及简单性质1定义：设,G ⋅是一个具有二元运算⋅的代数系统，如果⋅同时满足（1）结合律：即,,a b c G ∀∈，()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅总成立；（2）存在单位元（也称为幺元，记为e ），即 ,;a e e a a a G ⋅=⋅=∀∈（3）中每个元素a 都有逆元（记为1a -）：即存在1a G -∈，使得11a a a a e --⋅=⋅=，则称G 关于运算⋅构成一个群。
几个典型的代数系统
本章讨论几类重要的代数结构：半群、群、环、域、格与布尔代数等．我们先讨论最简单的半群．半群定义称代数结构<S，>为半群（semigroups），如果运算满足结合律．当半群<S，>含有关于运算的么元，则称它为独异点（monoid），或含么半群．例 <I+，＋>，<N，·>，< ，并置>都是半群，后两个又是独异点．半群及独异点的下列性质是明显的．定理设<S，>为一半群,那么（1）<S，>的任一子代数都是半群，称为<S，>的子半群．（2）若独异点<S,,e>的子代数含有么元e,那么它必为一独异点,称为<S， , e>的子独异点．证明简单，不赘述．定理设<S，>,<S’，’>是半群,h为S到S’的同态,这时称h为半群同态．对半群同态有（1）同态象<h(S)，’>为一半群．（2）当<S，>为独异点时，则<h(S)，’>为一独异点.定理设<S，>为一半群,那么（1）<S S，○ >为一半群，这里S S为S上所有一元函数的集合，○为函数的合成运算．（2）存在S到S S的半群同态．证（l）是显然的．为证（2）定义函数h:S→S S：对任意a Sh（a）= f af a：S→S 定义如下: 对任意x S，f a（x）= a x现证h为一同态．对任何元素a,b S．h(a b)＝f a b （l1－1）而对任何x S，f a b（x）= a b x = f a（f b（x））= f a○f b （x）故f a b = f a○f b ,由此及式（l1－1）即得h（a b）= f a b = f a○f b ＝h（a）○ h（b）本定理称半群表示定理。
它表明，任一半群都可以表示为（同态于）一个由其载体上的函数的集合及函数合成运算所构成的半群。
离散数学 第四章 4
(3)
S={1,2,3,…,n}到自身的双射称为 元置换, 到自身的双射称为n元置换 到自身的双射称为 元置换 记为σ 记为σ，可表示为
2 n 1 σ = σ (1) σ (2) σ ( n )
上的双射即置换的个数共n!个 上置换 注：S上的双射即置换的个数共 个,S上置换 上的双射即置换的个数共 的全体记作S 的全体记作 n
2 设f是含有格中元素以及符号 是含有格中元素以及符号=,≤,≥，∨和∧ 是含有格中元素以及符号 ， 的公式， 是将f中的符号分别替换成 的公式，令f*是将 中的符号分别替换成 ， 是将 中的符号分别替换成=， ≥ ,≤, ∧与∨所得到的公式，则称 为f的对偶 所得到的公式，则称f*为 的对偶 命题。 命题。 3 对偶原理：f* f 对偶原理：
第六章
几个典型的代数系统
半群与群
格与布尔代数
6.1 半群与群
是一个代数系统, 设V=(G, )是一个代数系统 是一个代数系统 上的二元运算, 是G上的二元运算 上的二元运算 1 若 在G上成立结合律 则称 为半群。 上成立结合律 则称V为半群。 上成立结合律,则称 如：〈Z+, +〉, 〈N, +〉, 〈Z,+〉 〉 〉 〉 2 若 在G上成立结合律 且有单位元，则称 为 上成立结合律 上成立结合律, 有单位元，则称V为 独异点（含幺半群） 独异点（含幺半群）。 如： N, +〉, 〈Z,+〉 〈 〉 〉
轮换其乘法
例 设f=(15342), g=(125)(34) 求fg, g f, f-1, g-1
(4) 设M是非空集合 有n个元素 上所有置换 是非空集合,有 个元素 个元素,M上所有置换 是非空集合
的集合关于置换的乘法(函数的复合运算 构成 的集合关于置换的乘法 函数的复合运算)构成 函数的复合运算 一个群,称为 元对称群， 称为n元对称群 一个群 称为 元对称群， 它的任何子群称为n元置换群 元置换群。 它的任何子群称为 元置换群。 例题: 元对称群。 例题 S3是3元对称群。 元对称群
《离散数学》几个典型的代数系统-2(环域格)
格的并运算与交运算
并运算
在格中，任意两个元素的上确界称为它们的 并，并运算满足幂等律、交换律和结合律。
交运算
在格中，任意两个元素的下确界称为它们的 交，交运算也满足幂等律、交换律和结合律。
子格与商格
子格
格的一个非空子集，如果它关于原有的二元 运算也构成一个格，则称该子集为格的一个 子格。
商格
在格中定义一个等价关系，将格划分为若干 个互不相交的等价类，然后在这些等价类上 定义新的二元运算，所得到的集合和运算构
PSK等调制方式都是基于代数系统的理论基础。
代数系统在计算机图形学中的应用
几何变换
代数系统中的矩阵和向量等概念在计算机图形学中得到了 广泛应用，如平移、旋转、缩放等几何变换都可以通过矩 阵运算来实现。
图形渲染
基于代数系统的图形渲染技术，如光线追踪、纹理映射等， 提高了计算机图形的真实感和视觉效果。
示例
整数集Z、有理数集Q、实数集R、复数集C等在加法和乘法 运算下都构成环；矩阵环、多项式环等也是常见的环的例子 。
环的零元与幺元
零元
环中关于加法运算的单位元称为零元， 通常用0表示。对于任意元素a∈R， 都有a+0=a和0+a=a。
幺元
如果环中存在一个元素e，使得对于任 意元素a∈R，都有e·a=a和a·e=a，则 称e为环的幺元。并非所有环都有幺元， 有幺元的环称为幺环。
《离散数学》几个典型的代数系统 -2环域格
目录
• 环的基本概念与性质 • 域的基本概念与性质 • 格的基本概念与性质 • 环、域、格之间的关系与转换 • 代数系统在计算机科学中的应用 • 总结与展望
01 环的基本概念与性质
环的定义及示例
第9章 代数系统
第4篇 代数系统
1
引言
学过的代数： 学过的代数： 初等代数、线性代数、集合代数、命题代数等等。 初等代数、线性代数、集合代数、命题代数等等。 它们研究的对象：分别是整数、有理数、实数、矩阵、 它们研究的对象：分别是整数、有理数、实数、矩阵、集 命题等等，以及这些对象上的各种运算。 合、命题等等，以及这些对象上的各种运算。 发现：不同对象上的不同运算，可能有共同的性质 有共同的性质。 发现：不同对象上的不同运算，可能有共同的性质。
二元运算定义及其实例
一元运算定义及其实例 运算的表示
9.1.2 二元运算的性质
交换律、结合律、幂等律、分配律、 交换律、结合律、幂等律、分配律、吸收律 特异元素：单位元、零元、 特异元素：单位元、零元、可逆元 消去律
8
二元运算的定义及其实例
定义9.1 设 S 为集合 函数 f : S×S→S 称为 上的二元 为集合,函数 称为S上的二元 定义 × 二元运算. 封闭. 运算, 简称为二元运算 运算 简称为二元运算 也称 S 对 f 封闭 上的二元运算: 例 (1) N上的二元运算 加法、乘法 上的二元运算 加法、乘法. (2) Z上的二元运算 加法、减法、乘法 上的二元运算: 上的二元运算 加法、减法、乘法. (3) 非零实数集 R*上的二元运算 乘法、除法 上的二元运算: 上的二元运算 乘法、除法. (4) 设Mn(R)表示所有 阶(n≥2)实矩阵的集合，即 表示所有n 实矩阵的集合， 表示所有 实矩阵的集合 a11 a12 L a1n
10
二元与一元运算的表示
算符: 算符 ◦ , ∗, · , ⊕, ⊗ 等符号 表示二元或一元运算 对二元运算◦ 对二元运算◦, 如果 x 与 y 运算得到 z, 记做 x◦ y=z； ◦ ； 对一元运算◦, x的运算结果记作 ◦x 的运算结果记作 表示二元或一元运算的方法: 公式、 表示二元或一元运算的方法 公式、 运算表 注意: 注意 在同一个问题中不同的运算使用不同的算符
1
引言
学过的代数： 学过的代数： 初等代数、线性代数、集合代数、命题代数等等。 初等代数、线性代数、集合代数、命题代数等等。 它们研究的对象：分别是整数、有理数、实数、矩阵、 它们研究的对象：分别是整数、有理数、实数、矩阵、集 命题等等，以及这些对象上的各种运算。 合、命题等等，以及这些对象上的各种运算。 发现：不同对象上的不同运算，可能有共同的性质 有共同的性质。 发现：不同对象上的不同运算，可能有共同的性质。
二元运算定义及其实例
一元运算定义及其实例 运算的表示
9.1.2 二元运算的性质
交换律、结合律、幂等律、分配律、 交换律、结合律、幂等律、分配律、吸收律 特异元素：单位元、零元、 特异元素：单位元、零元、可逆元 消去律
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二元运算的定义及其实例
定义9.1 设 S 为集合 函数 f : S×S→S 称为 上的二元 为集合,函数 称为S上的二元 定义 × 二元运算. 封闭. 运算, 简称为二元运算 运算 简称为二元运算 也称 S 对 f 封闭 上的二元运算: 例 (1) N上的二元运算 加法、乘法 上的二元运算 加法、乘法. (2) Z上的二元运算 加法、减法、乘法 上的二元运算: 上的二元运算 加法、减法、乘法. (3) 非零实数集 R*上的二元运算 乘法、除法 上的二元运算: 上的二元运算 乘法、除法. (4) 设Mn(R)表示所有 阶(n≥2)实矩阵的集合，即 表示所有n 实矩阵的集合， 表示所有 实矩阵的集合 a11 a12 L a1n
10
二元与一元运算的表示
算符: 算符 ◦ , ∗, · , ⊕, ⊗ 等符号 表示二元或一元运算 对二元运算◦ 对二元运算◦, 如果 x 与 y 运算得到 z, 记做 x◦ y=z； ◦ ； 对一元运算◦, x的运算结果记作 ◦x 的运算结果记作 表示二元或一元运算的方法: 公式、 表示二元或一元运算的方法 公式、 运算表 注意: 注意 在同一个问题中不同的运算使用不同的算符
algebra代数系统
考察下列运算在指定集合上是否符合结合律?
(1) N、Z、Q、R、C集合上的加、乘。 (2) n阶实矩阵上的加、乘。 (3) 集合S的幂集上的∪、∩ 、 。
第五章 代数系统
定义5.5
设 。为S上的二元运算，如果对于任意的x∈ S都有 x。x =x
则称该运算适合幂等律,x为运算。的幂等元。
考察下列运算在指定集合上是否符合幂等律?
(2) n阶实矩阵上的乘法对加法。
(3) 集合上的∪、∩互相可分配。
推而广之,如果*对。分配律成立，则
x *(y1。 y2。…。yn) =(x * y1)。(x * y2)。…。(x * yn) (y1。 y2。…。yn)* x =(y1 * x)。(y2 * x)。…。(yn * x)
第五章 代数系统
x*y=x+y-xy=y+x-yx=y*x
∵ x,y,z∈ Q 有
(x*y)*z=(x+y-xy)*z= x+y+z-xy-xz-yz+xyz x*(y*z)=x*(y+z-yz)= x+y+z-xy-xz-yz+xyz ∴ *满足结合律
第五章 代数系统
∵ 3∈ Q 有 3*3=3+3-3×3=-3≠3
(1) N、Z、Q、R、C集合上的加、乘。
普通加法、乘法不适合幂等律，但0是加法的幂等元，1是乘法的幂等元。
(2) n阶实矩阵上的加、乘。
同理，n阶零矩阵是矩阵加法的幂等元，n阶单位矩阵是矩阵乘法的幂等元。
(3) 集合S的幂集上的∪、∩ 、 、-。 后两个运算一般不适合幂等律，但φ是它们的幂等元。
定义5.2
设S为集合，函数称为S上的一个一元运算，简称为一元运算。
(1) N、Z、Q、R、C集合上的加、乘。 (2) n阶实矩阵上的加、乘。 (3) 集合S的幂集上的∪、∩ 、 。
第五章 代数系统
定义5.5
设 。为S上的二元运算，如果对于任意的x∈ S都有 x。x =x
则称该运算适合幂等律,x为运算。的幂等元。
考察下列运算在指定集合上是否符合幂等律?
(2) n阶实矩阵上的乘法对加法。
(3) 集合上的∪、∩互相可分配。
推而广之,如果*对。分配律成立，则
x *(y1。 y2。…。yn) =(x * y1)。(x * y2)。…。(x * yn) (y1。 y2。…。yn)* x =(y1 * x)。(y2 * x)。…。(yn * x)
第五章 代数系统
x*y=x+y-xy=y+x-yx=y*x
∵ x,y,z∈ Q 有
(x*y)*z=(x+y-xy)*z= x+y+z-xy-xz-yz+xyz x*(y*z)=x*(y+z-yz)= x+y+z-xy-xz-yz+xyz ∴ *满足结合律
第五章 代数系统
∵ 3∈ Q 有 3*3=3+3-3×3=-3≠3
(1) N、Z、Q、R、C集合上的加、乘。
普通加法、乘法不适合幂等律，但0是加法的幂等元，1是乘法的幂等元。
(2) n阶实矩阵上的加、乘。
同理，n阶零矩阵是矩阵加法的幂等元，n阶单位矩阵是矩阵乘法的幂等元。
(3) 集合S的幂集上的∪、∩ 、 、-。 后两个运算一般不适合幂等律，但φ是它们的幂等元。
定义5.2
设S为集合，函数称为S上的一个一元运算，简称为一元运算。
几个典型的代数系统 环域格布尔代数
有补格
设<L,∧,∨,0,1>是有界格,若L中所有元素都 有补元存在，则称L为有补格。
L2,L3和L4是有补格，L1不是有补格
布尔代数
如果一个格是有补分配格,则称它为布尔格 或布尔代数。
题型
一、单选题（本大题共15题，每题2分，共30分。 二、填空题(本大题共11空，每空2分，共22分) 三、画图分析题（本大题共2题，每题4分，共8分） 四、综合题（本大题共5题，每题8分，共40分）
有界格与补元
设L是格,若存在a∈L使得x∈L有a ≤ x,则称a为 L的全下界；若存在b∈L使得 x∈L有x ≤ b,则 称b为L的全上界。 可以证明,格L若存在全下界或全上界,一定是唯 一的。全下界记作0，全上界记作1 设L是格,若L存在全下界和全上界,则称L为有界 格,并将L记为<L,∧,∨,0,1>。 设<L,∧,∨,0,1>是有界格,a∈L,若存在b∈L 使 得： a∧b=0 和 a∨b=1 成立,则称b是a的补元。
离散数学
CH6 几个典型的代数系统 6.2 环与域 6. 3 格与布尔代数
今日内容
环 域 格 布尔代数
环与域
环的定义与性质
环的定义与性质
定义6.8 设< , , >是代数系统,+和· 是二元 运算。如果满足以下条件: (1) <R,+>构成交换群， (2) <R,· >构成半群， (3) · 运算关于+运算适合分配律， 则称<R,+,· >是一个环。 为了区别环中的两个运算,通常称+运算 为环中的加法,· 运算为环中的乘法。
离散数学几种典型的代数系统 PPT
= res4((4m1+res4(a+b))+c)=res4((a+b)+c)
a 4(b4c) = a 4res4(b+c) = res4(a+res4(b+c))
= res4(a+(4m2+res4(b+c))) = res4(a+(b+c)) = res4((a+b)+c)
因此（a 4b）4c= a 4(b 4c)，即4满足结合律。
(1)若a*b=a*c, 则 b=c; (2)若b*a=c*a,则 b=c。
证 明 (1)令a*b=a*c=d,依照定理5-2,方 程a*x = d 在G中只有唯一的解,故得b=c。
二、元素运算后求逆元等于元素分别求逆元后颠 倒次序相运算
定理5-4 设<G； >是一个群，则对任意a,b G ，
(a1)6 a6
2、循环群
定义5-6 在群<G;* >中,假如存在一元素g ∈G,使得每
一元素 a ∈G 都能表示成 g i ( i ∈I)的形式,则称群 <G ;* > 为循环群,称 g 为该循环群的生成元,并称群 <G;* >由 g 生成。
例3 群<I;+>是循环群,1是生成元,10=0,对任意正整数
限循环群；
（2）若 g 的周期为无限，则<G; >是一个无限阶的
循环群。
例如 循环群<I；+>的生成元1和–1，其周期均为无限，
群<I；+>是一个无限阶的循环群。
循环群<Z4； 4>的生成元是1和3。 14=13 41=3 41=res4(4)=0 34=33 43=1 43=res4(4)=0
a 4(b4c) = a 4res4(b+c) = res4(a+res4(b+c))
= res4(a+(4m2+res4(b+c))) = res4(a+(b+c)) = res4((a+b)+c)
因此（a 4b）4c= a 4(b 4c)，即4满足结合律。
(1)若a*b=a*c, 则 b=c; (2)若b*a=c*a,则 b=c。
证 明 (1)令a*b=a*c=d,依照定理5-2,方 程a*x = d 在G中只有唯一的解,故得b=c。
二、元素运算后求逆元等于元素分别求逆元后颠 倒次序相运算
定理5-4 设<G； >是一个群，则对任意a,b G ，
(a1)6 a6
2、循环群
定义5-6 在群<G;* >中,假如存在一元素g ∈G,使得每
一元素 a ∈G 都能表示成 g i ( i ∈I)的形式,则称群 <G ;* > 为循环群,称 g 为该循环群的生成元,并称群 <G;* >由 g 生成。
例3 群<I;+>是循环群,1是生成元,10=0,对任意正整数
限循环群；
（2）若 g 的周期为无限，则<G; >是一个无限阶的
循环群。
例如 循环群<I；+>的生成元1和–1，其周期均为无限，
群<I；+>是一个无限阶的循环群。
循环群<Z4； 4>的生成元是1和3。 14=13 41=3 41=res4(4)=0 34=33 43=1 43=res4(4)=0
第9章 代数系统简介
积代数中的幺元是<e1,e2>
积代数中的逆元是<x1-1,x2-1>
9.3 代数系统的同态与同构
一 同态与同构的基本概念
1.同态的定义：设V1=<S1,°>,V2=<S2,*>是代数系统, °,* 是二元运算,如果存在映射φ:S1 → S2 ,使得对任意的x, y∈ S1 ,有 φ(x°y)= φ(x)* φ(y) (同态条件) 则称代数系统< S1 ,°>和< S2 ,*>同态,记为:< S1,°>≈< S2,*>, φ称为同态映射,简称同态, φ (S1 )称为S1 在同态 映射下的像,简称同态像
0 1
0 0
1 1
~
0 1
0 1 0
1
1
(a )
(b )
4. 二元运算的运算性质
运算律
交换律P198 定义9.3 结合律P198 定义9.3 幂等律P198 定义9.3 分配律P199 定义9.4 特异元素 幺元P199 定义9.6 零元P199 定义9.6 逆元P199 定义9.6
注意：幺元和零元是于运算相关的， 因此，若幺元和零元存在，则是唯 一的。而逆元是与集合中的元素相 关的。即是说，有的元素有逆元， 有的元素没有逆元，不同的元素对 应着不同的逆元
吸收律P199 定义9.5
消去律P200 定义9.7
注意:在使用消去律时，该运 算的零元不能消去
9.2 代数系统
1. 代数系统：P202定义9.8
说明： 运算一定是定义在集合S上的
k个运算一般指给定的若干个二元运算 k≤3 2.子代数系统：P202 定义9.9 3. 积代数：P203 定义9.10 说明： S是集合的笛卡儿积，即S中的元素是有序对
6几个典型的代数系统
不是所有的群都是交换群
7
Algebra
代数
有限群和无限群
设 G, 是一个群。如果 G 是一个有限集，那么称
G, 为有限群， G 中元素的个数通常称为该有限
群的阶数，记为 G ；如果 G 是无限集，则称 G, 为无限群。
就是一个有限群，且 F 4 上例中所述的 F，
8
Algebra
代数
至此， 我们可以概括地说： 代数系统仅仅是一个具 有封闭二元运算的非空集合； 半群是一个具有结合 运算的代数系统； 独异点是具有幺元的半群； 群是 每个元素都有逆元的独异点。即有：
{群} {独异点} {半群} {代数系统}
9
Algebra
代数
定理 2 群中不可能有零元。
证明 当群的阶为 1 时，它的唯一元素视作幺元， 否则不是群 设|G|>1 且群<G,*>有零元θ 。 那么群中任何元素 x∈G，都有 x*θ =θ *x=θ ≠e 所以，零元θ 就不存在逆元，这与<G,*>是群矛盾 故假设不成立，即无零元
20
6.2环与域
是一个代数系统，如果满足： 设 A, ★，
⑴ A, ★ 是阿贝尔群；
⑵ A, 是半群；
Algebra
代数
⑶运算 对于运算★是可分配的，则称 A, ★， 是环。
通常称★为加法运算 *为乘法运算 即对加法是可交换的群,对乘法是半
群,乘法对加法是可分配的.
21
Algebra
注意，存在着非结合的代数系统，不为半群
例如
I,
R, /
都不为半群
2
Algebra
代数
独异点 含有幺元的半群称为独异点。(也称单元半群) 可换半群 运算满足交换律的半群称为可换半群
几个典型的代数系统
可交换半群：如果半群V = < S, >中的二元运算 是 可交换的，则称V为可交换半群。
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离散数学
一、半群的概念（续）
含幺半群（独异点）：如果半群V = < S, >的二元 运算 含有幺元，则称V为含幺半群(独异点)。 即 eS，使得对 xS都有e x = x e = x。 独异点亦可记为< S, , e>。
如：<Z, +>, <R–{0}, >, <P(S), >, <Zn, >都是 阿贝尔群。
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离散数学
二、群的概念（续）
群中的幂：设群<G, > ，则对 xG， x0 = e ，xn+1 = xn x，(n为非负整数) x -n= (x -1)n= (xn)-1，(n为正整数)
幂运算的性质： (1) xG，(x -1)-1 = x， (2) x, yG，(x y)-1 = y -1 x –1， (3) xG，xm xn = xm + n ，m, n为整数 (4) xG，(xm)n = xmn ， m, n为整数
如：群<Z6, >, <0> = {0}, <1> = {0, 1, 2, 3, 4, 5} = Z6 , <2> = {0, 2, 4}, <3> = {0, 3}, <4> = <2>, <5> = <1> 。
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离散数学
四、两种常用的群
1、循环群： 元素的阶(周期)：设群<G, >，aG，使ak = e 成立
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离散数学
一、半群的概念（续）
含幺半群（独异点）：如果半群V = < S, >的二元 运算 含有幺元，则称V为含幺半群(独异点)。 即 eS，使得对 xS都有e x = x e = x。 独异点亦可记为< S, , e>。
如：<Z, +>, <R–{0}, >, <P(S), >, <Zn, >都是 阿贝尔群。
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二、群的概念（续）
群中的幂：设群<G, > ，则对 xG， x0 = e ，xn+1 = xn x，(n为非负整数) x -n= (x -1)n= (xn)-1，(n为正整数)
幂运算的性质： (1) xG，(x -1)-1 = x， (2) x, yG，(x y)-1 = y -1 x –1， (3) xG，xm xn = xm + n ，m, n为整数 (4) xG，(xm)n = xmn ， m, n为整数
如：群<Z6, >, <0> = {0}, <1> = {0, 1, 2, 3, 4, 5} = Z6 , <2> = {0, 2, 4}, <3> = {0, 3}, <4> = <2>, <5> = <1> 。
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四、两种常用的群
1、循环群： 元素的阶(周期)：设群<G, >，aG，使ak = e 成立
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几个典型的代数系统
第六章几个典型的代数系统本章讨论几类重要的代数结构：半群、群、环、域、格与布尔代数等．我们先讨论最简单的半群．6.1 半群定义 6.1称代数结构<S，*>为半群（semigroups），如果*运算满足结合律．当半群<S，*>含有关于*运算的么元，则称它为独异点（monoid），或含么半群．例6.1 <I+，＋>，<N，·>，<∑*，并置>都是半群，后两个又是独异点．半群及独异点的下列性质是明显的．定理6.1设<S，*>为一半群,那么（1）<S，*>的任一子代数都是半群，称为<S，*>的子半群．（2）若独异点<S,*,e>的子代数含有么元e,那么它必为一独异点,称为<S，*, e>的子独异点．证明简单，不赘述．定理6.2设<S，*>,<S’，*’>是半群,h为S到S’的同态,这时称h为半群同态．对半群同态有（1）同态象<h(S)，*’>为一半群．（2）当<S，*>为独异点时，则<h(S)，*’>为一独异点.定理6.3设<S，*>为一半群,那么（1）<S S，○ >为一半群，这里S S为S上所有一元函数的集合，○为函数的合成运算．（2）存在S到S S的半群同态．证（l）是显然的．为证（2）定义函数h:S→S S：对任意a∈Sh（a）= f af a：S→S 定义如下: 对任意x∈S，f a（x）= a*x现证h为一同态．对任何元素a,b∈S．h(a*b)＝f a*b （l1－1）而对任何x∈S，f a*b（x）= a*b*x = f a（f b（x））= f a○f b （x）故f a*b = f a○f b ,由此及式（l1－1）即得h（a*b）= f a*b = f a○f b ＝h（a）○h（b）本定理称半群表示定理。
几个典型的代数系统
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例5、证明 G 是阿贝尔群当且仅当对a,bG， (ab)2 a2b2。
证明：设 G 为阿贝尔群，
则 a,bG，有 abba ，
故 (ab)2(ab)(ab)a(ba)b a (a b )b(a a )(b b )a 2 b 2
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例5、证明 G 是阿贝尔群当且仅当对a,bG， (ab)2 a2b2。
x y(xy)m o dn， x y(xy)m odn。
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二、域。
定义：环 F , , 满足：
(1) F 至少两个元素，
(2) F , 含有幺元， (3) F , 是可交换的， (4) F , 除加法幺元外，其余元素均有逆元， 则称 F , , 为域。
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例2、 Q , , ， R , , 都是域，但 Z , , 不是域，
证明：反之，设 a,bG，(ab)2 a2b2 ， 即 (ab)(ab)(aa)(bb)， 即 a(ba)ba(ab)b， 由消去律，得 ba ab ，
故G 为阿贝尔群。
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例6、如果 G 中的每一个元素 a 都满足 a 2 e ，
则 G 是阿贝尔群。
证明：a,bG ， 由题设知，a 1 a ，b1 b，(ab)1 ab 从而 ab(ab) 1b 1a 1ba，
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下图给出了格 S 8 , D ， S 6 , D ，S30 , D ，S36 , D
6 8
4
2
3
2
1
1
S 8,D
S6,D
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下图给出了格 S 8 , D ， S 6 , D ，S30 , D ，S36 , D