数学课堂教学案例一则

数学课堂教学案例一则

数学课堂教学案例一则

研究性学习作为以培养学生探索能力、创新意识、合作精神为目的学习方式，受到教育界的广泛重视，通过实践，各地都总结了许多经验，包括“研究性课程”的开设、“套餐式课程”的实验，各种课题研究小组的成立等等，但笔者认为，这只是推广研究性学习方式的一个途径，还有一个重要的途径就是在平时的课堂教学中如何体现研究性学习？它与传统的“接受性学习”如何整合，才能取得更好的教学效果？这是广大中学教学教育工作者应该认真探究的问题。

1、案例

课题：直线与圆的位置关系及判定

（以下为课堂实录，全班被分成8个小组，每小组5~6人，围坐在一起，在以下过程中，T-表示教师，S-表示学习）

1.1、问题的提出

T：前面几节课，我们通过研究，已经掌握了有关圆的一些基本性质，本节课我们将一起研究直线与圆的位置关系。

1.2、定义的探求

首先请各小组将准备好的圆环及直线段放在桌面上，在桌面上轻轻地移动，观察它们有哪些不同的位置关系？并且研究：不同的位置关系，他们的主要区别在哪里？（各小组做实验、观察、计论、教师巡视，一会儿，有小组代表发言）

S：有3种不同的位置关系，（作出演示如图）

S：还有两种（如图）

（立即有学生反对）

S：因直线可以无限延伸，所以所讲两种情况即为第3种。

T：还有不同意见吗？

S：没有

T：通过大家刚才的观察，发现直线与圆的位置关系共有3种，（多媒体演示如图），那么这些不同的位置关系主要区别在哪里？（有学生举手）

S：直线与圆公共点的个数不同，第一种情况没有公共点即公共点个数和为0，第二种情况只有一个公共点，第三种情况有两个公共点。

（这时一学习举手发言）

S：第三种情况可能有3个公共点（如图）

（其他同学指出，圆心不是圆上点，不能成为公共点）

T：这样直线与圆最多只有两个公共点，并且不同公共点个数决定着不同的位置关系，因此我们可以按公共点的个数来划分来定义直线与圆的们置关系，（多媒体演示）当直线与圆无公共点时，称直线与圆相离；当直线与圆只有一个公共点时，称直线与圆相切，直线称为切线，公共点称为切点；当直线与圆有两个公共点时，称直线与圆相交，直线称为割线。（教师板书，列出表格见后）

这样我们只要知道直线与圆公共点的个数即可确定直线与圆的位置关系。请看这样一个问题：（出示幻灯片）根据图形判断直线与圆的位置关系。

（此时教室里一片安静，不到1min，各小组的争论已经很热烈，有同学发言）

S：图（1）中直线与圆有两个公共点，所以是相交关系，图（2）中直线与圆相切。

（这时有同学提出是相交，有的是相切，争论不休，认也不能说服谁，这时教师讲话了）。

T：图（2）中直线与圆到底有几个公共点？看来凭我们的肉眼是很难判断，容易产生误差。那么怎样解决这一问题？这就要求我们必须寻求一种便于把握而又可以避免这种误差的判定方法。

1.3、探索直线与圆位置关系的判定方法

T：前面我们曾研究过点与圆的位置关系，请大家回忆一下，我们是怎样判断点与圆的位置关系的？

S：通过点与圆心的距离与半径的大小关系确定位置关系的。

（教师打开幻灯片，一边看一边讲解。）

T：点与圆的位置关系：

点在圆外﹤＝﹥d﹥r

点在圆上﹤＝﹥d＝r

点在圆内﹤＝﹥d﹤r

它是通过d与r的数量关系来反映点p与圆的位置关系，这种

方法便于掌握非常准确，我们能否也从这个角度考虑一下直线与圆的位置关系呢？请大家将两者类比一下，主要区别是什么？

S：那是点，现在是直线。

T：那里是用点到圆心的距离与半径比较，那么我们这里应该怎样比较？

S：利用直线与圆心的距离与半径比较。

T：而直线与点的距离通常是指什么？

S：点到直线和垂直线段的长。

T：（教师作图）设圆的半径为r，圆心0到直线J的距离为d，仔细观察图形，你能根据d与r的大小关系，判断直线J与圆0的位置关系吗？请说明理由。

（课堂里又出现了由安静到热烈的场面，我们发现有的同学在用尺量距离，有的在计算，有的互相争执，这时有的同学急于公布自己的研究成果，举手发言）

S：利用d与r的关系可以判断位置关系，

d﹥r﹤＝﹥相离，

d＝r﹤＝﹥相切，

d﹤r﹤＝﹥相交

因为直线J上点p至点0距离最小，若op=d﹥r，则p在圆外，其它点也在圆外，其它情况一样考虑。

T：还有没有不同的考虑？（停留片刻）刚才这位同学讲得非

常好，我刚才看了许多同学都得到这样的结论，这说明同学们已经具备了一定的研究能力，这种类比思想是科学研究中重要的思想方法，在今后的学习中将经常应用它。

有了这种方法，刚才的问题能否解决？

S：直线与J并不是圆0的切线，而是与圆相交。

T：由此可以发现，学习的过程实质上是不断探索新方法，解决问题的过程，下面我们利用我们的研究成果解决几个问题。（打开幻灯片，显示问题）

例1、填空：

（1）半径是4c m，弦AB=4 cm，以0关圆心，15cm为半径的圆和AB的位置关系。

（2）RtΔABC两直角边AC=3，BC=4，以C为圆心，r为半径作圆与AB相切，则r= 。

（3）半径0A=r，直线J过A并且①与OA成60°，则J 与；②与OA垂直，则J与此同时。

（学习对以上3个问题进行研究计论，得出计论，老师进行了点评）

1.4、归纳切线判定定理

T：仔细比较3中两个图形，你能得出更一般性的绳结论吗？

（一会儿，有同学举手发言）

S：直线J经过半径OA外端点A，若与OA不垂直，则J