黄冈中学2013届高三11月月考数学(文)

2
10．设集合 A =
{( x, y ) || x | + | y |≤ 1}, B = {( x, y ) ( y − x)( y + x) ≤ 0} ， M = A ∩ B ，若
）
动点 P ( x, y ) ∈ M ，则 x 2 + ( y − 1) 2 的取值范围是（
A． [ , ]
1 5 2 2
e x + e− x e y + e− y e x − e− x e y − e− y ⋅ − ⋅ 2 2 2 2
=
1 x+ y (e + e x− y + e− x+ y + e− x− y − ex+ y + ex− y + e− x+ y − e− x− y ) 4
1 e x− y + e−( x− y ) x− y −( x− y ) = (2e + 2e )= = ch( x − y ) = 左边，故知． 4 2
b c
D H A E B F G C
答案：1 16．四棱锥 ABCD 中，E、H 分别是 AB、AD 的中点，F、G 分别是 CB、CD 的中点，若 AC＋BD=3，AC·BD=1，则 EG2＋FH2=___________． 解析：易知四边形 EFGH 是平行四边形，而平行四边形对角线的平方和等于各边的平
1 1 方和，∴ EG 2 + FH 2 = 2( HG 2 + EH 2 ) = 2[( AC) 2 + ( BD) 2 ] 2 2 1 1 1 7 = ( AC 2 + BD 2 ) = [( AC + BD) 2 − 2 AC i BD] = (32 − 2 × 1) = ． 2 2 2 2
答案：
解析： r = 15．在如图的表格中，每格填上一个数字后，使得每一横行成 等差数列，每一纵列成等比数列，则 a + b + c 的值为 ________________． 解析：由题意易得第一列的五个数依次为 1, , , , 1 0.5 2 1 a
1 1 1 1 ， 2 4 8 16 1 1 1 1 第三列的五个数依次为 2,1, , , ，即 a = ， 2 4 8 2 1 1 由于第四、五两行均成等差数列，故其公差分别为 和 ， 16 32 1 1 5 1 1 3 ∴可得 b = + = ，c = + ×2 = ， 4 16 16 8 32 16 1 5 3 故a+b+c = + + = 1． 2 16 16
）
解析：由已知必有 m = 1 ，函数即 g ( x ) = x 3 ，∴ f ( m + 1) = f (2) = 23 = 8 ，选 A． 答案：A 6．已知平面向量 a = (1, m), b = ( −1, 2) ，且 a // b ，则 2a − 3b =（ A． (5, 2) B． ( −1, 2) C． (5, −10)
7 2
e x − e− x e x + e− x 17．在工程技术中，常用到双曲正弦函数 shx = 和双曲余弦函数 chx = ， 2 2
双曲正弦函数和双曲余弦函数与我们学过的正弦函数和余弦函数有许多相类似的性质， 请类比正、余弦函数的和角或差角公式，写出关于双曲正弦、双曲余弦函数的一个正确 的类似公式 ． 解析：由右边 =
的零点的个数是（ A．0 解析：已知即 ⎨ ） Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1 C．2 D．3
⎧16 + 4b + c = c ⎧b = −4 ，∴ ⎨ ，若 x ≥ 0 ，则 x 2 − 4 x + 6 = x ，∴ x = 2 ， ⎩4 + 2b + c = 2 ⎩c = 6
或 x = 3 ；若 x < 0 ，则 x = 1舍去，故选 C． 答案：C
�
�
�
10 ) ，则线段 AB 的长为（ a
B．10
） C．9 D．8
解析：由已知两直线互相垂直得 a = 2 ，∴线段 AB 中点为 P (0,5) ，且 AB 为直角三角 形 AOB 的斜边，由直角三角形的性质得 | AB |= 2 | PO |= 10 ，选 B． 答案：B 8．已知各项为正的等比数列 {an } 中， a4 与 a14 的等比中项为 2 2 ，则 2a7 + a11 的最小值 为（ A．16 ） B．8 C． 2 2 D．4
� �
D．
1 2
�
解析： sin( −1920 ) = sin(240 − 6 × 360 ) = sin(180 + 60 ) ，即原式 = − sin 60 ，故 选 A． 答案：A 2．命题“ ∀x ∈ R ， x 2 > 0 ”的否定是（ A． ∀x ∈ R ， x 2 ≤ 0 C． ∃x ∈ R ， x 2 < 0 ） B． ∃x ∈ R ， x 2 > 0 D． ∃x ∈ R ， x 2 ≤ 0
2．
a c z i = ad − bc ，复数 z 满足 = 1 + i ，则复数 z = _______________． b d 1 i z i 1 + 2i = 2−i ． = 1 + i 得 zi − i = 1 + i ⇒ z = 1 i i
解析：由
答案： 2 − i 13．已知 A = {x |
答案：填入 c h ( x − y ) = c hx c hy − s hx s hy ， c h ( x + y ) = c hx c hy + s hx s hy ，
4
sh ( x − y ) = shx c hy − chx s hy ， sh ( x + y ) = shx c hy + chx s hy 四个之一即可．
1 1 < 2− x < } ， B = {x | log 2 ( x − 2) < 1} ，则 A ∪ B = ________________． 8 2 1 3 1 x 1 解析： A = {x | ( ) < ( ) < ( )1} = {x |1 < x < 3} ， 2 2 2
B = {x | 0 < x − 2 < 2} = { x | 2 < x < 4} ，∴ A ∪ B = {x |1 < x < 4} ．
解析：全称命题的否定是特称命题，易知应选 D． 答案：D 3．已知集合 P = { 正奇数 } 和集合 M = {x | x = a ⊕ b, a ∈ P, b ∈ P} ，若 M ⊆ P ，则 M 中 的运算“ ⊕ ”是（ A．加法 ） B．除法 C．乘法 D．减法
解析：由已知集合 M 是集合 P 的子集，设 a = 2 m − 1, b = 2 n − 1( m, n ∈ N* ) ， ∵ a ⋅ b = (2m − 1)(2n − 1) = 4mn − 2( m + n) + 1 = 2[2mn − ( m + n) + 1] − 1 ∈ P ， ∴ M ⊆ P ，而其它运算均不使结果属于集合 P ，故选 C． 答案：C 4．已知某几何体的侧视图与其正视图相同，相关的尺寸如下图所示，则这个几何体的体积 是（ ） 4 正 视 图 A. 8π 1 侧视图 B. 7π C. 2π 3 俯视图 `D.
y=
E
D
A
G H C
D
解答：如图， （1）由已知 AB⊥平面 ACD，DE⊥平面 ACD，∴AB//ED， 设 F 为线段 CE 的中点，H 是线段 CD 的中点，
7π 4 3 7 π 2 2 解析：依题意该几何体为一空心圆柱，故其体积 V = π [2 − ( ) ] × 1 = ，选 D． 2 4
答案：D
1
5．已知幂函数 f ( x ) = x 2 + m 是定义在区间 [ −1, m] 上的奇函数，则 f ( m + 1) = （ A．8 B．4 C．2 D．1
三．解答题：本大题共 5 小题，共 65 分，请给出详细的解答过程． 18． （本小题满分 12 分）已知函数 f ( x) = 1 + sin x cos x ． （1）求函数 f ( x ) 的最小正周期和单调递减区间； （2）若 tan x = 2 ，求 f ( x ) 的值． 1 2π 解答： （1）已知函数即 f ( x) = 1 + sin 2 x ，∴ T = ………………………3 分 =π ， 2 2
�
�
�
�
） D． ( −1, −10)
解析：∵ a // b ，∴ 1× 2 − m × ( −1) = 0 ，∴ m = −2 ，∴ a = (1, −2) ， ∴ 2a − 3b = 2(1, −2) − 3( −1, 2) = (5, −10) ，故选 C. 答案：C 7．已知 A、B 两点分别在两条互相垂直的直线 2 x − y = 0 和 x + ay = 0 上，且 AB 线段的 中点为 P (0, A．11
π 3π π 3π + 2kπ < 2 x < + 2kπ (k ∈ Z ) ，则 + kπ < x < + kπ ( k ∈ Z ) ， 2 2 4 4 π 3π 即函数 f ( x ) 的单调递减区间是 [ + kπ , ………………………6 分 + kπ ]( k ∈ Z) ； 4 4
令 （2）由已知 y = ∴
答案： {x |1 < x < 4} 14．已知方程 x 2 + y 2 + kx + 2 y + k 2 = 0 所表示的圆有最大的面积，则直线 y = ( k + 1) x + 2 的倾斜角 α = _______________．
3
1 2 k + 4 − 4k 2 ≤ 1 ，当有最大半径时圆有最大面积，此时 k = 0 ， r = 1 ， 2 π ∴直线方程为 y = x + 2 ，设倾斜角为 α ，则由 tan α = 1 ，且 α ∈ [0, π ) 得 α = ． 4 π 答案： 4
B． [
2 5 , ] 2 2
C． [ ,
1 2
10 ] 2
D． [
2 10 , ] 2 2
解析： 在同一直角坐标系中画出集合 A、 B 所在区域， 取交集后如图， 故 M 所表示的图象如图中阴影部分所示， 而d =
x 2 + ( y − 1) 2 表示
1 5 2 2
的是 M 中的点到 (0,1) 的距离，从而易知所求范围是 [ , ] ，选 A． 答案：A 二．填空题：本大题共 7 小题，每小题 5 分，共 35 分，把答案填在题中横线上． 11．在空间直角坐标系中，点 ( −1, b, 2) 关于 y 轴的对称点是 ( a, −1, c − 2) ，则点 P ( a, b, c ) 到坐标原点 O 的距离 | PO |= _____________． 解析：由点 ( x, y , z ) 关于 y 轴的对称点是 ( − x, y , − z ) ，∴ a = 1 ， b = −1 ， c = 0 ，故 所求距离 | PO |= 答案： 2 12．定义运算
解析：由已知 a4 a14 = (2 2) 2 = 8 ，再由等比数列的性质有 a4 a14 = a7 a11 = 8 ， 又 a7 > 0 ， a11 > 0 ， 2a7 + a11 ≥ 2 2a7 a11 = 8 ，故选 B．
⎧ x 2 + bx + c , x ≥ 0 9． 设函数 f ( x ) = ⎨ ， 若 f (4) = f (0) ， f (2) = 2 ， 则函数 g ( x ) = f ( x ) − x ,x < 0 ⎩1
2
当
sin 2 x + sin x cos x + cos 2 x tan 2 x + tan x + 1 ， ……………………9 分 = sin 2 x + cos2 x tan 2 x + 1 时 ， tan x = 2
2 + 2 +1 7 ……………… = ． 5 22 + 1 ………12 分 19． （本小题满分 12 分）在如图所示的多面体 ABCDE F 中，AB⊥平面 ACD，DE⊥平面 ACD， B AC=AD=CD=DE=2，AB=1． （1）请在线段 CE 上找到点 F 的位置，使得恰有直 线 BF∥平 A E 面 ACD， 并 证明这一事 C 实； B （2） 求 F 直线 EC 与平面 ABED 所成角的正弦值．
黄冈中学 2013 届 11 月月考数学试题（文）
命题人：王宪生(2012-11-3) 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1． sin( −1920� ) 的值为（ ）
A． −
3 2
�
B． −
1 2
� �
C．
3 2