平面与平面垂直的判定教案
平面与平面垂直的判定
教学目标
1、知识与技能
（1）理解二面角的有关概念，会作二面角的平面角，能求简单二面角平
面角的大小；
（2）理解面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理，初步学会用定理
证明垂直关系；
（3）熟悉线线垂直、线面垂直的转化．
2、过程与方法
（1）让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对二面角的
平面角及面面垂直的认识；
（2）进一步提高学生分析问题、解决问题的能力．
3、情感、态度与价值观
通过“直观感知、操作确认、推理证明”,培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力.
教学重点 二面角的概念和二面角的平面角的作法，面面垂直的判定．
教学难点 二面角的平面角的一般作法及面面垂直的判定．
教学过程
一、课前准备
（预习教材P 67
~ P 69，找出疑惑之处）
复习1：若直线垂直于平面，则这条直线________平面内的任何直线；
直线与平面垂直的判定定理_______________________________．
复习2：什么是直线与平面所成的角?
直线与平面所成的角的范围为_______________.
二、新课导学
※ 探索新知
探究1：二面角的有关概念
图１
问题：上图中，水坝面与水平面、卫星轨道平面与地球赤道平面都有一
定的角度.这两个角度的共同特征是什么?
新知1：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条
直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面.图2中的二面角可记作：二
面角AB αβ--或l αβ--或P AB Q --．
图2
问题：二面角的大小怎么确定呢？
新知2：如图3，在二面角l αβ--的棱l 上任取一点O ，以点O 为垂足，
在半平面α和β内分别作垂直于棱l 的射线,OA OB ，则射线OA 和OB 构成的AOB ∠叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫直二面角．
图3
反思:(1)两个平面相交，构成几个二面角?它们的平面角的大小有什么关
系？
(2)你觉的二面角的大小范围是多少？
(3)二面角平面角的大小和O 点的选择有关吗？除了以上的作法，二面角的
平面角还能怎么作？
探究2：平面与平面垂直的判定
问题：教室的墙给人以垂直于地面的形象，想一想教室相邻的两个墙面与
地面可以构成几个二面角？它们的大小是多少？
新知3：两个平面所成二面角是直二面角，则这两个平面互相垂直.如图4，
α垂直β，记作αβ⊥
.
图4
问题：除了定义，你还能想出什么方法判定两个平面垂直呢？
新知4：两个平面垂直的判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则
这两个平面垂直.
※ 重难点突破
例1 如下图 AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在的平面，C 是圆周
上不同于B A ,的任意一点，
求证：ABC PAC ABC PAB 平面，平面平面平面⊥⊥，
PBC PAC 平面平面⊥．
l
分析：线线垂直 线面垂直 面面垂直
三、总结提升
※ 课堂小结
1. 二面角的有关概念，二面角的求法；
2. 两个平面垂直的判定定理及应用.
※ 知识拓展
二面角的平面角的一个常用作法：如图过平面α内一点A ，作AB β⊥于
点B ，再作BO l ⊥于O ，连接OA ，则AOB ∠即为所求平面角.(为什么?)
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 以下四个命题，正确的是（ ）.
A.两个平面所成的二面角只有一个
B.两个相交平面组成的图形叫做二面角
C.二面角的平面角是这两个面中直线所成的角中最小的一个
D.二面角的大小和其平面角的顶点在棱上的位置无关
2. 在正方体1111ABCD A B C D -中，过,,A C D 的平面与过1,,D B B 的平面的位置关
系是（ ）.
A.相交不垂直
B.相交成60°角
C.互相垂直
D.互相平行
3. 二面角的大小范围是________________.
4. 若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它和这条斜线
的位置关系为_______.
课后作业
课本P74 B 组第1题
板书设计
教学反思
§2.3.2 平面与平面垂直的判定 例1 随堂练习 课堂小结 课后作业
1、二面角的有关概念
2、平面与平面垂直的判定
直线和平面垂直的判定与性质
郸城二高高二年级集体备课教学案 直线和平面垂直的判定与性质（一） 一、素质教育目标 （一）知识教学点 1．直线和平面垂直的定义及相关概念． 2．直线和平面垂直的判定定理． 3．线线平行的性质定理（即例题1）． （二）能力训练点 1．要善于应用平移手法将分散的条件集中到某一个图形中进行研究，特别是辅助线的添加．2．讲直线和平面垂直时，应注意引导学生把直线和平面关系转化为直线和直线的关系．如直线和平面垂直，只须这条直线垂直于这个平面内的两条相交直线，向学生渗透转化思想的应用．二、教学重点、难点、疑点 1．教学重点 （1）掌握直线和平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，那么这条直线就和这个平面垂直． （2）掌握直线和平面垂直的判定定理： （3）掌握线线平行的性质定理： 若a∥b，a⊥α则b⊥α． 2．教学难点：在于线、面垂直定义的理解和判定定理的证明；同时还要解决好定理证明过程中，辅助线添加的方法和原因，及为何可用经过B点的两条直线说明“任意”直线的问题．3．教学疑点：判定定理的条件中，“相交”是关键，“两条”也是一个重要条件，对于初学立体几何的学生来讲，是不好理解的，教师应该用实例说明这两个条件缺一不可． 三、课时安排本课题共安排2课时，本节课为第一课时． 四、学生活动设计（略） 五、教学步骤 （一）温故知新，引入课题 1．空间两条直线有哪几种位置关系？ （三种：相交直线、平行直线、异面直线） 2．经过一点和一条直线垂直的直线有几条？ （从两条直线互相垂直的定义可知：经过一点有无数多条直线和已知直线垂直） 3．空间一条直线与一个平面有哪几种位置关系？ （直线在平面内、直线和平面相交、直线和平面平行．） 4．怎样判定直线和平面平行？ 我们已经知道，判定直线和平面平行的问题可以转化为考察直线和直线平行的关系．今天我们转入学习直线和平面相交的一种特殊情形——直线和平面垂直，这个问题同样可以从两条直线垂直的关系入手． （板书课题：§1．9直线和平面垂直） 郸城二高杨雅莉- 1 -
高中数学§9.3.1直线与平面垂直的判定教案
§9.3.1直线与平面垂直的判定（2） 时间：2018、12、13 （总第69课时） 一、教学目标 1、知识与技能 （1）使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理； （2）使学生掌握判定直线和平面垂直的方法； （3）培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论。 2、过程与方法 （1）通过教学活动，使学生了解，感受直线和平面垂直的定义的形成过程； （2）探究判定直线与平面垂直的方法。 3、情态与价值 培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知。 二、教学重点、难点 直线与平面垂直的定义和判定定理的探究。 三、教学设计 （一）创设情景，揭示课题 1、教师首先提出问题：在现实生活中，我们经常看到一些直线与平面垂直的现象，例如：“旗杆与地面，大桥的桥柱和水面等的位置关系”，你能举出一些类似的例子吗？然后让学生回忆、思考、讨论、教师对学生的活动给予评价。 2、接着教师指出：一条直线与一个平面垂直的意义是什么？并通过分析旗杆与它在地面上的射影的位置关系引出课题内容。 （二）研探新知 1、为使学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知，可再借助长方体模型让学生感知直线与平面的垂直关系。然后教师引导学生用“平面化”的思想来思考问题：从直线与直线垂直、直线与平面平行等的定义过程得到启发，能否用一条直线垂直于一个平面内的直线来定义这条直线与这个平面垂直呢？并组织学生交流讨论，概括其定义。 如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。如图2.3-1，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。并对画示表示进行说明。
直线与平面垂直的判定教案
第 页（共4页） 1 直线与平面垂直的判定 【教学目标】 1．通过观察图片和折纸试验，使学生理解直线与平面垂直的定义，归纳和确认直线与平面垂直的判定定理，并能简单应用定义和判定定理； 2．通过对判定定理的探究和运用，初步培养学生的几何直观能力和抽象概括能力； 3．通过对探索过程的引导，努力提高学生学习数学的热情，培养学生主动探究的习惯． 【教学重点】 对直线与平面垂直的定义和判定定理的理解及其简单应用． 【教学重点】 探究、归纳直线与平面垂直的判定定理，体会定义和定理中所包含的转化思想． 【教学方式】探究式 【教学手段】 计算机、实物模型 【教学过程】 一、实例引入，理解概念 1．通过复习空间直线与平面的位置关系，让学生举例感知生活中直线与平面相交的位置关系，其中最特殊、最常见的一种就是线面的垂直关系，从而引出课题． 设计意图：希望通过学生的生活经验，提高学生学习数学的兴趣和自觉性． 2．给出学生非常熟悉的校园图片，引导他们观察直立于操场上篮球架的立柱与它在地面影子的关系，然后将其抽象为几何图形，再用数学语言对几何图形进行精确描述，引出直线与平面垂直的定义．即：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α互相垂直． 设计意图：通过从“具体形象——几何图形——数学语言”的过程，让学生体会定义的合理性． 3．简单介绍线面垂直在我国古代的重要应用——“日晷”． 设计意图：通过我国古代用来计时的一种仪器——日晷，让学生感受数学的应用价值，提高学生学习数学的热情．同时，引出探究判定定理的必要性． 二、通过试验，探究定理 准备一个三角形纸片，三个顶点分别记作A ，B ，C ．如图，过△ABC 的顶点A 折叠纸片，得到折痕AD ，将折叠后的纸片打开竖起放置在桌面上．（使BD 、DC 边与桌面接触） D C A B D B A C
直线与平面垂直的判定
直线与平面垂直的判定 [新知初探] 1．直线与平面垂直的定义 (1)自然语言：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们惟一的公共点P叫做垂足． (2)图形语言：如图． 画直线l与平面α垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直． (3)符号语言：任意a?α，都有l⊥a?l⊥α. [点睛] (1)直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情形． (2)注意定义中“任意一条直线”与“所有直线”等同但不可说成“无数条直线”． 2．直线与平面垂直的判定定理 (1)自然语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直． (2)图形语言：如图所示． (3)符号语言：a?α，b?α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b?l⊥α. [点睛]判定定理条件中的“两条相交直线”是关键性词语，此处强调“相交”，若两条直线平行，则直线与平面不一定垂直． 3．直线与平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条 直线和这个平面所成的角． 如图，∠PAO就是斜线AP与平面α所成的角． (2)当直线AP与平面垂直时，它们所成的角是90°. (3)当直线与平面平行或在平面内时，它们所成的角是0°. (4)线面角θ的范围：0°≤θ≤90°. [点睛]把握定义应注意两点：①斜线上不同于斜足的点P的选取是任意的；②斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段．
[小试身手] 1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行() (2)若a∥b，a?α，l⊥α，则l⊥b() (3)若a⊥b，b⊥α，则a∥α() 答案：(1)×(2)√(3)× 2．直线l与平面α内的两条直线都垂直，则直线l与平面α的位置关系是() A．平行B．垂直 C．在平面α内D．无法确定 解析：选D 3.如图，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中： (1)与PC垂直的直线有 ________________________________________________________________________； (2)与AP垂直的直线有 ________________________________________________________________________．答案：(1)AB，AC，BC(2)BC 对直线与平面垂直的判定定理的理解 [典例]下列说法正确的有________(填序号)． ①垂直于同一条直线的两条直线平行； ②如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直； ③如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线与这个平面垂直； ④若l与平面α不垂直，则平面α内一定没有直线与l垂直． [答案]② (1)对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交． (2)判定定理中要注意必须是平面内两相交直线．
平面与平面垂直的判定教案
《平面与平面垂直的判定》 【课题】平面与平面垂直的判定 【教材】普通高中课程标准实验教科书数学2 必修 人民教育出版社 一．教学目标 1．教材分析 ⑴教学内容 《平面与平面垂直的判定》〉普通高中课程标准实验教科书（必修2·人民教育出版社）“§2.3 直线、平面垂直判定及其性质”的第二节课，主要内容是，二面角的概念和平面与平面垂直的判定定理的归纳与应用。 ⑵地位与作用 本节课学习平台是学生已学习了空间两直线位置关系，空间直线和平面位置关系,特别是已学习了直线和平面垂直判定定理,二面角的平面角,这是学习本节内容的基础，而本节内容是多面体、旋转体的学习基础，所以，本节的学习有着极其重要的地位。 2.学法分析 二面角是空间角，概念与度量严谨而抽象；判定定理内容不要求证明，要做到抽象概括确实有很大困难，所以本课采用类比发现式教学法，即体现大量的实例，让学生通过直观感知，操作确认，归纳数学原理，并作一定的应用。 3．教学目标
依据上面的教材分析和学情分析，制定如下教学目标． ⑴知识与技能 ①体会二面角的概念与度量 ②归纳两个平面垂直的判定定理内容 ③应用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题 ⑵过程与方法 ①通过二面角的概念的探索和推导过程，渗透类比迁移的思想； ②通过归纳两个平面垂直的判定定理内容，训练并提升学生抽象概括水平 ③通过使用定理的过程，提升学生类比化归水平，培养学生降低空间维数的思想．通过问题获得数学知识，经历“发现问题—提出问题—解决问题”的过程； ⑶情感态度与价值观 直观感知，操作确认数学定理，将教材知识和实际生活联系起来，使学生感受数学的实用性，有效激发学生的学习兴趣． 二．教学重点、难点 1．教学重点 ⑴两个平面垂直的判定定理及应用； 2．教学难点 二面角的概念及度量方法，两个平面垂直的判定定理的归纳概括三．教学过程
《231 直线与平面垂直的判定》优质课比赛教学设计
2.3.1 直线与平面垂直的判定的教学设计 一、内容和内容解析 本节课是在学生学习了空间点、直线、平面之间的位置关系和直线、平面平行的判定及其性质之后进行的，其主要内容是直线与平面垂直的定义、直线与平面垂直的判定定理及其应用。 直线与平面垂直是通过直线和平面内的任意一条直线（无一例外）都垂直来定义的，定义本身也表明了直线与平面垂直的意义，即如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于这个平面内的所有直线，这也可以看成是线线垂直的一个判定方法；直线与平面垂直的判定定理本节是通过折纸试验来感悟的，即一条直线只要与平面内的两条相交直线垂直就可以判定直线与平面垂直了，它把原来定义中要求与任意一条（无限）垂直转化为只要与两条（有限）相交直线垂直就行了，概言之，线不在多，相交就行。直线与平面垂直的判定方法除了定义法、判定定理外，还有如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面，这是直线与平面垂直判定的一种间接方法，也是十分重要的。本节学习内容蕴含丰富的数学思想，即“空间问题转化为平面问题”，“无限转化为有限”“线线垂直与线面垂直互相转化”等数学思想。 直线与平面垂直是研究空间中的线线关系和线面关系的桥梁，为后继面面垂直的学习、距离的学习奠定基础。 二、目标和目标解析 1.借助对实例、图片的观察，提炼直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义； 2.通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直的判定定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题； 3.在探索直线与平面垂直判定定理的过程中发展合情推理能力，同时感悟和体验“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”、“无限转化为有限”等数学思想. 三、教学问题诊断分析 学生已有的认知基础是熟悉的日常生活中的具体直线与平面垂直的直观形象（学生的客观现实）和直线与直线垂直的定义、直线与平面平行的判定定理等数学知识结构（学生的数学现实），这为学生学习直线与平面垂直定义和判定定理等新知识奠定基础。
平面与平面垂直的判定说课稿
平面与平面垂直的判定 说课稿 Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT
《2.3.2平面与平面垂直的判定》说课稿 说课人：高长福 我说的课是高中新课标《数学》必修2第二章第2节内容《平面与平面垂直的判定》。 一、教材分析： 1．教材地位和作用 本节课的主要内容有两个：（1）二面角和二面角的平面角的概念，（2）平面与平面们垂直的判定。由于平面与平面垂直的概念是建立在二面角的基础之上，且二面角的平面角不但定量地描述了两相交平面的相对位置，同时也是空间中线线、线面、面面垂直关系的一个汇集点，所以搞好二面角的学习，对学生掌握线面垂直、面面垂直的知识。乃至空间思维能力的培养都具有十分重要的意义。2．教学目标课程目标： （1）通过直观感知、操作确认，归纳出平面与平面垂直的判定定理。 （2）能运用平面与平面垂直的判定定理证明一些空间位置关系的简单命题。 根据上面对教材的分析及课程标准，并结合学生的认知水平和思维特点，确定本节课的教学目标： （1）借助对图片、实例的观察、类比、抽象、概括二面角的概念，面面垂直的定义。并能正确理解定义。 （2）通过直观感知、操作确认，归纳出二面角平面角的定义，平面与平面垂直的判定定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题，进一步培养学生的空间观念。
（3）让学生亲身经历数学研究的全过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。3、本节课的教学重点： （1）二面角及平面角概念的形成过程；（2）面面垂直的判定定理的运用。难点：（1）二面角的平面角的形成过程及寻找方法； （2）面面垂直的判定定理的运用。 二、学情与学法分析： 目前高一学生已学过空间线面、面面的平行和线面的垂直关系，对空间线线、线面、面面三者之间的转化关系比较了解，且（2）班学生思维较活跃，参与意识、自主探究能力有所提高，具备学习本节课所需的知识和能力。针对目前学生的年龄特点和心理特征以及他们的知识水平，采用诱导、启发式教学方法。用由浅入深的问题引导学生自己去发现问题、产生概念、形成定理。在定理的运用过程中培养学生的思维能力、论证能力，并通过引导学生对定理及例题图形的认识，加深学生对定理的理解，达到培养学生空间想象能力的目的。 本节课结合多媒体教学，尽可能调动学生思维的积极性，激发学生的学习兴趣，让学生始终处于主动学习的状态，体现学生的主体地位和教师的主导作用。本节课中，教师引导学生从具体例子入手总结出定理，体会数学中由“特殊”到“一般”的研究规律；通过判定定理，将“面面垂直”的问题转化为“线面垂直”的问题去处理，体会转化思想在数学的应用。 三、课堂结构设计： 二面角的概念建构→创设情境——感知概念
直线与平面垂直的判定经典例题
2.3直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1直线与平面垂直的判定 一、基础达标 1．下列说法中正确的个数是() ①若直线l与平面α内一条直线垂直，则l⊥α. ②若直线l与平面α内两条直线垂直，则l⊥α； ③若直线l与平面α内两条相交直线垂直，则l⊥α； ④若直线l与平面α内任意一条直线垂直，则l⊥α； ⑤若直线l与平面α内无数条直线垂直，则l⊥α. A．1 B．2 C．3 D．4 答案 B 解析对①②⑤，均不能断定该直线与平面垂直，该直线与平面可能平行，可能斜交，也可能在平面内，所以是错误的．正确的是③④，故选B. 2．已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面() A．有且只有一个B．至多一个 C．有一个或无数个D．不存在 答案 B 解析若异面直线m、n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在．3．(2014·淮北高一检测)线段AB的长等于它在平面α内的射影长的2倍，则AB 所在直线与平面α所成的角为() A．30°B．45° C．60°D．120° 答案 C 解析如图，AC⊥α，AB∩α＝B，则BC是AB在平面α
内的射影，则BC ＝1 2AB ，所以∠ABC ＝60°，它是AB 与平面α所成的角． 4．空间四边形ABCD 的四边相等，则它的两对角线AC 、BD 的关系是( ) A ．垂直且相交 B ．相交但不一定垂直 C ．垂直但不相交 D ．不垂直也不相交 答案 C 解析 取BD 中点O ， 连接AO ，CO ， 则BD ⊥AO ，BD ⊥CO ， ∴BD ⊥面AOC ，BD ⊥AC ， 又BD 、AC 异面，∴选C. 5．已知△ABC 所在平面外一点P 到△ABC 三顶点的距离都相等，则点P 在平面ABC 内的射影是△ABC 的________． 答案 外心 解析 P 到△ABC 三顶点的距离都相等，则点P 在平面ABC 内的射影到△ABC 三顶点的距离都相等，所以是外心． 6．(2014·舟山高一检测)如图所示，P A ⊥平面ABC ，△ABC 中BC ⊥AC ，则图中直角三角形的个数有________． 答案 4 解析 ? ??? ?P A ⊥平面ABC BC ?平面ABC ?
《平面与平面垂直的判定》教学设计(优质课)
平面与平面垂直的判定 （一）教学目标 1．知识与技能 （1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念； （2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用； （3）使学生理会“类比归纳”思想在教学问题解决上的作用. 2．过程与方法 （1）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程； （2）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理. 3．情态、态度与价值观 通过揭示概念的形成、发展和应有和过程，使学生理会教学存在于观实生活周围，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力. （二）教学重点、难点 重点：平面与平面垂直的判定； 难点：如何度量二面角的大小. （三）教学方法 实物观察、类比归纳、语言表达，讲练结合. 义的？
一、二面角 ．二面角 ）半平面 . ）二面角 . 、β的二面角记作二面角
. ．二面角的平面角 如图（1）在二面角任取一点O，以点 . . ] 二、平面与平面垂直. .
个平面垂直. 是圆周上不同于A、B的任意一点， . 条件， 的直径，
成一个四面体，使G1，G2， 重合后的点记为G，则在四面体 答：面ABC⊥面BCD 面ABD⊥面BCD
备选例题 例1 如图，平面角为锐角的二面角EF αβ--，A ∈EF ，AG α?，∠GAE = 45°若AG 与β所成角为30°，求二面角EF αβ--的平面角. 【分析】首先在图形中作出有关的量，AG 与β所成的角(过G 到β的垂线段GH ，连AH ，∠GAH = 30°)，二面角EF αβ-- 的平面角，注意在作平面角是要试图与GAH 建立联系，抓住 GH ⊥β这一特殊条件，作HB ⊥EF ，连接GB ，利用相关关系即可解决问题. 【解析】作GH ⊥β于 H ，作HB ⊥EF 于B ，连结GB ， 则CB ⊥EF ，∠GBH 是二面角的平面角. 又∠GAH 是AG 与β所成的角， 设AG = a ，则1,2GB GH a ==，sin GH GBH GB ∠=. 所以∠GBH = 45° 反思研究：本题的成功之处在于作图时注意建立各量之间的有效联系. 例2 如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，直线SC ⊥平面ABCD ， E 是S A 的中点，求证：平面EDB ⊥平面ABCD ． 【分析】要证面面垂直，需证线面垂直．这里需 要寻找已知条件“SC ⊥平面ABCD ”与需证结论 “平面EDB ⊥平面ABCD ”之间的桥梁． 【证明】连结AC 、BD ，交点为F ，连结EF ， ∴EF 是△SAC 的中位线，∴EF ∥SC ． ∵SC ⊥平面ABCD ，∴EF ⊥平面ABCD ． B S C
直线、平面垂直的判定及其性质
直线、平面垂直的判定及其性质 最新考纲 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题 . 知 识 梳 理 1.直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义 如果一条直线l 与平面α内的任意直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直. (2)判定定理与性质定理 (1)定义：一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角. (2)范围：??? ???0，π2. 3.二面角 (1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；
(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角. (3)二面角的范围：[0，π]. 4.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. (2)判定定理与性质定理 1.两个重要结论 (1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面. (2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法). 2.使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”. 基 础 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)直线l 与平面α内的无数条直线都垂直，则l ⊥α.( ) (2)垂直于同一个平面的两平面平行.( ) (3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.( )
平面与平面垂直的判定 优秀教案
平面与平面垂直的判定和性质 第一课时 教学目标： 1．理解二面角的有关概念，能画出二面角． 2．会求二面角的平面角． 教具准备：投影胶片、三角板． 教学过程： ［设置情境］ 看看日常生活中常见的例子：公路上的坡面与水平面，打开的门与门框所在的平面等．它们中的两个面成一定的角度．为了解决实际问题，人们需要研究两个平面所成的角．那么，怎么定义两个平面所成的角呢？ ［探索研究］ 1．二面角 （1）半平面 平面内的一条直线把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面． （2）二面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面． （3）二面角的画法：分直立式与平卧式两种．图1，记作二面角βα--AB ． ①直立式 ②平卧式 图1 2．二面角的平面角 教师提出问题：平面几何中可以把角理解为一个旋转量，同样，一个二面角也可以看作是一个半平面以其棱为轴旋转而成的，也是一个旋转量．这说明二面角不仅有大小．而且其大小是惟一确定的． 平面与平面的位置关系，总的说来只有相交或平行两种情况．为了对相交平面的相互位置作进一步的探讨，我们有必要来研究二面角的度量问题．从而提问：二面角的大小应该怎么度量？ 让学生主动动手操作并与同学讨论交流，尝试找到度量二面角大小的方法． 现给出二面角的平面角的定义： 以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角． 如图2，二面角βα--l ，l O ∈，α?AO ，β?BO ，l AO ⊥，l BO ⊥．AOB ∠是二面角βα--l 的平面角．
直线与平面垂直的判定及其性质测试题
直线与平面垂直的判定与性质 一、选择题 1．两异面直线在平面α内的射影（） A．相交直线 B．平行直线 C．一条直线—个点 D．以上三种情况均有可能 2．若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面（） A．有且只有—个 B．可能存在也可能不存在 C．有无数多个 D．—定不存在 3．在空间，下列哪些命题是正确的（） ①平行于同一条直线的两条直线互相平行； ②垂直于同一条直线的两条直线互相平行； ③平行于同一个平面的两条直线互相平行； ④垂直于同—个平面的两条直线互相平行． A．仅②不正确 B．仅①、④正确 C．仅①正确 D．四个命题都正确 4．若平面α的斜线l在α上的射影为l′，直线b∥α，且b⊥l′，则b与l（） A．必相交 B．必为异面直线 C．垂直 D．无法确定 5．下列命题 ①平面的每条斜线都垂直于这个平面内的无数条直线； ②若一条直线垂直于平面的斜线，则此直线必垂直于斜线在此平面内的射影； ③若平面的两条斜线段相等，则它们在同一平面内的射影也相等； ④若一条线段在平面外并且不垂直于这个平面，则它的射影长一定小于线段的长． 其中，正确的命题有（） A．1个 B．2个 C．3个 n 4个 6．在下列四个命题中，假命题为（） A．如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直 B．垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边 C．过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内 D．如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面 7．已知P是四边形ABCD所在平面外一点且P在平面ABCD内的射影在四边形ABCD内，若P到这四边形各边的距离相等，那么这个四边形是（） A．圆内接四边形 B．矩形 C．圆外切四边形 D．平行四边形 8．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则P到BC的距离等于（）A． B． C．3 D．4 二、填空题 9．AB是平面α的斜线段，其长为a，它在平面α内的射影A′B的长为b，则垂线A′A_________． 10．如果直线l、m与平面α、β、γ满足：l＝β∩γ，l⊥α，mα和m⊥γ，现给出以下四个结论： ①α∥γ且l⊥m；②αγ且m∥β③αβ且l⊥m；④αγ且l⊥m；其中正确的为“________”．（写出序号即可） 11．在空间四面体的四个面中，为直角三角形的最多有____________个． 12．如图，正方形ABCD，P是正方形平面外的一点，且PA⊥平面A BCD则在△PAB、△PBC、△PCD、△PAD、△PAC及△PBD中，为直角三角形有_________个． 13．给出以下四个命题 （1）两条平行直线在同一平面内的射影一定是平行直线； （2）两条相交直线在同一平面内的射影一定是相交直线； （3）两条异面直线在同一平面内的射影—定是两条相交直线； （4）一个锐角在平面内的射影一定是锐角． 其中假命题的共有_________个． 14．若一个直角在平面α内的射影是一个角，则该角最大为___________． 三、解答题 15．已知直线a∥平面α,直线b⊥平面α，求证：a⊥b． 16．如图，在长方体AC1中，已知AB＝BC＝a，BB1＝b（b＞a），连结BC1，过B l作B1⊥BC1交CC1于E，
直线与平面垂直的判定与性质
直线与平面垂直的判定与性质 典型例题 1、设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面.考查下列命题，其中正确的命题是（ ） A ．βαβα⊥?⊥?⊥n m n m ,, B ．n m n m ⊥?⊥βαβα//,,// C ．n m n m ⊥?⊥⊥βαβα//,, D ．ββαβα⊥?⊥=⊥n m n m ,, 解析：正确的命题是n m n m ⊥?⊥βαβα//,,//，选B. 2、如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别BD 、 BC 的中点,CA =CB =CD =BD =2 求证：AO ⊥平面BCD ； 本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所 成的角以及点到平面的距离基本知识，考查空间想象 能力、逻辑思维能力和运算能力。 ）证明：连结OC ,,.BO DO AB AD AO BD ==∴⊥ ,,.BO DO BC CD CO BD ==∴⊥ 在AOC ?中，由已知可得1, 3.AO CO == 而2,AC = 2 2 2 ,AO CO AC ∴+= 90,o AOC ∴∠=即.AO OC ⊥ ,BD OC O = AO ∴⊥平面BCD 一、选择题 1．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 是A 1B 1 的中点，则E 到平面AB C 1D 1的距离为（ ） A ． 2 3 B ．22 C ．2 1 D ． 3 3 2、在正四面体P －ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，下面四个结论中不成立．．．的是（ ） （A ）BC //平面PDF （B ）DF ⊥平面P A E A B M D E O C
231直线与平面垂直的判定
2.3.1 直线与平面垂直的判定 一、教学目标 （一）知识目标：理解直线和平面垂直的定义及判定定理；掌握判定直线和平面垂直的方法； （二）能力目标：培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论。 （三）情感目标：引导学生体会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知。 二、教学重难点 （一）重点：直线与平面垂直的定义和判定定理的探究。 （二）难点：直线与平面垂直的定义和判定定理的探究。 三、活动设计 四、教学过程 (一)创设情景，揭示课题 1、提出问题：在现实生活中，我们经常看到一些直线与平面垂直的现象，例如：“旗杆 与地面，大桥的桥柱和水面等的位置关系”，你能举出一些类似的例子 吗？然后让学生回忆、思考、讨论、对学生的活动给予评价。 2、指出：一条直线与一个平面垂直的意义是什么？并通过分析旗杆与它在 地面上的射影的位置关系引出课题内容。 (二)研探新知 1、为使学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知，可再借助长 方体模型让学生感知直线与平面的垂直关系。然后引导学生用“平面化” 的思想来思考问题：从直线与直线垂直、直线与平面平行等的定义过程 得到启发，能否用一条直线垂直于一个平面内的直线来定义这条直线与 这个平面垂直呢？组织学生交流讨论，概括其定义。 定义：如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L 与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫 做直线L的垂面。直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。 2、提出问题，探索思考： （1）问题：虽然可以根据定义判定直线与平面垂直，但这种方法实际上难以实施。有没有比较方便可行的方法来判断直线和平面垂直呢？ （2）师生活动：请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起来做试验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起 放置在桌面上（BD、DC与桌面接触），问如何翻折才能保证折痕 AD与桌面所在平面垂直？ （3）归纳结论：引导学生根据直观感知及已有经验（两条相交直线确定一个平面），进行合情推理，获得判定定理： 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂 直。 特别强调：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视； b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相
直线与平面垂直的判定说课稿
创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者：凤呜大王* 《直线与平面垂直的判定》说课稿 李凯帆 本节课是人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）》必修2第三节“2.3.1直线与平面垂直的判定”的第一课时。下面，我将分别从教材分析、学情分析、教法与学法分析、教学过程设计、教学反思五个方面对本节课进行说明。 一、教材分析 1．内容、地位与作用 直线与平面垂直是直线和平面相交中的一种特殊情况，是空间中直线与直线垂直位置关系的拓展，又是平面与平面垂直的基础，是空间中垂直位置关系间转化的重心，同时又是直线和平面所成的角等内容的基础，因而它是空间点、直线、平面间位置关系中的核心概念之一． 本节课是在学习了空间点、直线、平面之间的位置关系和直线与平面平行的判定及其性质之后进行的，其主要内容是直线与平面垂直的定义、直线与平面垂直的判定定理及其应用。 其中，线面垂直的定义是线面垂直最基本的判定方法和性质，它是探究线面垂直判定定理的基础；线面垂直的判定定理充分体现了线线垂直与线面垂直之间的转化，它既是后面学习面面垂直的基础，又是连接线线垂直和面面垂直的纽带！ 学好这部分内容，对于学生建立空间观念、实现从认识平面图形到认识 立体图形的飞跃， 是非常重要的． 2．教学目标
《数学课程标准》指出本节课学习目标是：通过直观感知、操作确认，归纳出线面垂直的判定定理；能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题．考虑到本校学生的接受能力和课容量，本节课只要求学生在构建线面垂直定义的基础上探究线面垂直的判定定理，并进行定理的初步运用．故而确立以下教学目标： （1）知识与技能 通过直观感知、操作确认，理解线面垂直的定义，归纳线面垂直的判定定理， 并能运用定义和定理证明一些空间位置关系的简单命题。 （2）过程与方法 通过线面垂直定义及定理的探究过程，感知几何直观能力和抽象概括能力，体会转化思想在解决问题中的运用。 （3）情感、态度与价值观 通过线面垂直定义及定理的探究，让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。 3．教学重点和难点 根据教学大纲的要求以及学生的实际情况，确定如下： 重点：通过操作概括直线与平面垂直的定义和判定定理 难点：操作确认直线与平面垂直的判定定理 二、学情分析 学习本课前，学生已经通过直观感知、操作确认的方法，学习了直线与平面平行的判定定理，对空间概念建立有一定基础。但是，学生的抽象概括能力、空间想象力还有待提高。线面垂直的定义比较抽象，平面内看不到直线，要让学生去体会“与平面内所有直线垂直”就有一定困难；同时，线面垂直判定定理的发现具有一定的隐蔽性，学生不易想到。 高二年级的学生，已具有一定的想象能力和分析问题、解决问题的能力，但尽管思维活跃，敏捷，但却缺乏冷静、思考，因而片面，不够严谨。仍需依赖一定的具体形象的经验材料来理解抽象的逻辑关系。 三、教法与学法分析 本节课内容是学生空间观念形成的关键时期，课堂上充分利用现实情境，学生通过感知、观察，提炼直线与平面垂直的定义；进一步，在一个具体的数学问题情景中设想，并在教师指导下，动手操作，观察分析，自主探索等活动，切实感受直线与平面垂直判定定理的形成过程，体会蕴含在其中的思想方法。 采用启发式、引导式、参与式的教学方法，引导学生进行自主尝试和探究；引导学生采用自主探索与互相协作相结合的学习方式。 四、教学过程设计
直线与平面垂直的判定教案讲课教案
《直线与平面垂直的判定》 选自人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学》必修2第二章第三节 一、教学目标 1.知识与技能目标 (1).掌握直线与平面垂直的定义 (2).理解并掌握直线与平面垂直的判定定理 (3).会判断一条直线与一个平面是否垂直 (4).培养学生的空间想象能力和对新知识的探索能力 2.过程与方法目标 (1).加强学生空间与平面之间的转化意识，训练学生的思维灵活性 (2).要善于应用平移手法将分散的条件集中到某一个图形中进行研究，特别是辅助 线的添加 3.情感态度价值观目标 (1).培养学生的探索精神 (2).加强学生对数学的学习兴趣 二、重点难点 1.教学重点：直线与平面垂直的定义及其判定定理 2.教学难点：直线与平面垂直判定定理的理解 三、课时安排 本课共安排一课时 四、教学用具 多媒体、三角形纸片、三角板或直尺 五、教学过程设计 1.创设情境 问题1：空间一条直线和一个平面有哪几种位置关系？ 设计意图：此问基于学生已有的数学现实，通过对已学相关知识的追忆，寻找新知识学习的“固着点”。 问题2：列举在日常生活中你见到的可以抽象成直线与平面相交的事例？寻找特殊的事例并引入课题。
设计意图：此问基于学生的客观现实，通过对生活事例的观察，让学生直观感知直线与平面相交中一种特例：直线与平面垂直的初步形象，激起进一步探究直线与平面垂直的意义。 2.提炼定义 问题3：结合对下列问题的思考，试着给出直线和平面垂直的定义． (1)阳光下，旗杆AB与它在地面上的影子BC所成的角度是多少？ (2)随着太阳的移动,影子BC的位置也会移动,而旗杆AB与影子BC所成的角度是否会发生改变? (3)旗杆AB与地面上任意一条不过点B的直线B1C1的位置关系如何?依据是什么？ 设计意图：第（1）与（2）两问旨在让学生发现旗杆AB所在直线始终与地面上任意一条过点B的直线垂直，第（3）问进一步让学生发现旗杆AB所在直线始终与地面上任意一条不过点B的直线也垂直，在这里，主要引导学生通过观察直立于地面的旗杆与它在地面的影子的位置关系来分析、归纳直线与平面垂直这一概念。 （学生叙写定义，并建立文字、图形、符号这三种语言的相互转化） 思考：（1）如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？ （2）如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线是否垂直于这个平面内的所有直线？ （对问（1），在学生回答的基础上用直角三角板在黑板上直观演示；对问（2）可引导学生给出符号语言表述：若，则 ) 设计意图：通过对问题（1）的辨析讨论，深化直线与平面垂直的概念。通过对问题（2）的辨析讨论旨在让学生掌握线线垂直的一种判定方法。 通常定义可以作为判定依据，但由于利用直线与平面垂直的定义直接判定直线与平面垂直需要考察平面内的每一条直线与已知直线是否垂直，这给我们的判定带来困难，因为我们无法去一一检验。这就有必要去寻找比定义法更简捷、可行的直线与平面垂直的判定方法。 3.探究新知 创设情境猜想定理：某公司要安装一根8米高的旗杆，两位工人先从旗杆的顶点挂两条长10米的绳子，然后拉紧绳子并把绳子的下端放在地面上两点（和旗杆脚不在同一直
平面与平面垂直的判定
平面与平面垂直的判定 教学目标 1、知识与技能 （1）理解二面角的有关概念，会作二面角的平面角，能求简单二面角平面角的大小； （2）理解面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理，初步学会用定理证明垂直关系； （3）熟悉线线垂直、线面垂直的转化． 2、过程与方法 （1）让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对二面角的平面角及面面垂直的认识； （2）进一步提高学生分析问题、解决问题的能力． 3、情感、态度与价值观 通过“直观感知、操作确认、推理证明”,培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力. 教学重点 二面角的概念和二面角的平面角的作法，面面垂直的判定． 教学难点 二面角的平面角的一般作法及面面垂直的判定． 教学过程 一、课前准备 （预习教材P 67~ P 69，找出疑惑之处） 复习1：若直线垂直于平面，则这条直线________平面内的任何直线； 直线与平面垂直的判定定理_______________________________． 复习2：什么是直线与平面所成的角? 直线与平面所成的角的范围为_______________. 二、新课导学 探索新知 探究1：二面角的有关概念 图１ 问题：上图中，水坝面与水平面、卫星轨道平面与地球赤道平面都有一定的角度.这两个角度的共同特征是什么? 新知1：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面.图2中的二面角可记作：二面角AB αβ--或l αβ--或P AB Q --．
图2 问题：二面角的大小怎么确定呢？ 新知2：如图3，在二面角l αβ--的棱l 上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l 的射线,OA OB ，则射线OA 和OB 构成的AOB ∠叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫直二面角． 图3 反思:(1)两个平面相交，构成几个二面角?它们的平面角的大小有什么关系？ (2)你觉的二面角的大小范围是多少？ (3)二面角平面角的大小和O 点的选择有关吗？除了以上的作法，二面角的平面角还能怎么作？ 探究2：平面与平面垂直的判定 问题：教室的墙给人以垂直于地面的形象，想一想教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角？它们的大小是多少？ 新知3：两个平面所成二面角是直二面角，则这两个平面互相垂直.如图4，α垂直β，记作αβ⊥ . 图4 问题：除了定义，你还能想出什么方法判定两个平面垂直呢？ 新知4：两个平面垂直的判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. 重难点突破 例1 如下图 AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在的平面，C 是圆周上不同于B A ,的任意一点， 求证：ABC PAC ABC PAB 平面，平面平面平面⊥⊥， PBC PAC 平面平面⊥． l
《直线与平面垂直的判定》教学设计
《直线与平面垂直的判定》教学设计 一、内容和内容解析 本节课是在学生学习了空间点、直线、平面之间的位置关系和直线、平面平行的判定及其性质之后进行的，其主要内容是直线与平面垂直的定义、直线与平面垂直的判定定理及其应用。直线与平面垂直是直线和平面相交中的一种特殊情况，它是空间中直线与直线垂直位置关系的拓展，又是平面与平面垂直的基础，是空间中垂直位置关系间转化的重心，同时它又是直线和平面所成的角、直线与平面、平面与平面距离等内容的基础，因而它是空间点、直线、平面间位置关系中的核心概念之一。 直线与平面垂直是通过直线和平面内的任意一条直线（无一例外）都垂直来定义的，定义本身也表明了直线与平面垂直的意义，即如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于这个平面内的所有直线，这也可以看成是线线垂直的一个判定方法；直线与平面垂直的判定定理，本节是通过折纸试验来感悟的，即一条直线只要与平面内的两条相交直线垂直就可以判定直线与平面垂直了，它把原来定义中要求与任意一条（无限）垂直转化为只要与两条（有限）相交直线垂直就行了，概言之，线不在多，相交就行。直线与平面垂直的判定方
法除了定义法、判定定理外，还有如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面，这是直线与平面垂直判定的一种间接方法，也是十分重要的。 本节学习内容蕴含丰富的数学思想，即“空间问题转化为平面问题”，“无限转化为有限”“线线垂直与线面垂直互相转化”等数学思想。直线与平面垂直是研究空间中的线线关系和线面关系的桥梁，为后继面面垂直的学习、距离的学习奠定基础。 二、学情分析 （1）学生的起点能力分析 学生已有的认知基础是熟悉的日常生活中的具体直线与平面垂直的直观形象（学生的客观现实）和直线与直线垂直的定义、直线与平面平行的判定定理等数学知识结构（学生的数学现实），这为学生学习直线与平面垂直定义和判定定理等新知识奠定基础。 学生学习的困难在于如何从直线与平面垂直的直观形象中提炼出直线与平面垂直的定义，感悟直线与平面垂直的意义；以及如何从折纸试验中探究出直线与平面垂直的判定定理。 （2）学习行为分析 本节课安排在立体几何的初始阶段，是学生空间观念形成的关键时期，课堂上学生通过感知、观察、提炼直线与平面垂直的定义，进而通过辨析讨论，深化对定义的理解。进一步，在一个具体的数学问题情境中猜想直线与平面垂直的判定定理，并在教师的指导下，通过