4.2垂径定理及推论(2015年)

1. (2015 山东省东营市) 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1m，其中水面的宽AB 为0.8m，则排水管内水的深度为m．

答案：0.8

2. (2015 江苏省徐州市) 如图，AB是⊙O的直径，弦CD ⊥ AB，垂足为E，连接AC，若∠

CAB=22．5°，CD=8cm，则⊙O的半径为cm．

答案：4 2

3. (2015 四川省遂宁市) 如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm，OC⊥AB于点C，则OC=（）

A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm

答案：

分析：连接OA，先利用垂径定理得出AC的长，再由勾股定理得出OC的长即可解答．

解答：解：连接OA，

∵AB=6cm，OC⊥AB于点C，

∴AC=AB=×6=3cm，

∵⊙O的半径为5cm，

∴OC===4cm，

故选B．

点评：本题考查了垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理的应用是解题的关键．

4. (2015 贵州省黔西南州) 如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB于点E，已知CD=4，AE=1，则⊙O的半径为．

答案：

分析：连接OC，由垂径定理得出CE=CD=2，设OC=OA=x，则OE=x﹣1，由勾股定理得出

CE2+OE2=OC2，得出方程，解方程即可．

解答：解：连接OC，如图所示：

∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，

∴CE=CD=2，∠OEC=90°，

设OC=OA=x，则OE=x﹣1，

根据勾股定理得：CE2+OE2=OC2，

即22+（x﹣1）2=x2，

解得：x=；

故答案为：．

点评：本题考查了垂径定理、勾股定理、解方程；熟练掌握垂径定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．

5. (2015 浙江省绍兴市) 】．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，点P在以C为圆心，5为半径的圆上，连结PA，PB。若PB=4，则PA的长为▲

答案：】．

分析：连结CP，PB的延长线交⊙C于P′，如图，先计算出

CB2+PB2=CP2，则根据勾股定理的逆定理得∠CBP=90°，再根据垂径定理得到PB=P′B=4，接着证明四边形ACBP为矩形，则PA=BC=3，然后在Rt△APP′中利用勾股定理计算出P′A=，从而得到满足条件的PA的长为3或．

解答：解：连结CP，PB的延长线交⊙C于P′，如图，

∵CP=5，CB=3，PB=4，

∴CB2+PB2=CP2，

∴△CPB为直角三角形，∠CBP=90°，

∴CB⊥PB，

∴PB=P′B=4，

∵∠C=90°，

∴PB∥AC，

而PB=AC=4，

∴四边形ACBP为矩形，

∴PA=BC=3，

在Rt△APP′中，∵PA=3，PP′=8，

∴P′A==，

∴PA的长为3或．

故答案为3或．

点评：本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．也考查了垂径定理和勾股定理．

6. (2015 浙江省绍兴市) 】．如图，已知点A（0，1），B（0，-1），以点A为圆心，AB为半径作圆，交x轴的正半轴于点C，则∠BAC等于▲度

答案：】．

分析：求出OA、AC，通过余弦函数即可得出答案．

解答：解：∵A（0，1），B（0，﹣1），

∴AB=2，OA=1，

∴AC=2，

在Rt△AOC中，cos∠BAC==，

∴∠BAC=60°，

故答案为60．

点评：本题考查了垂径定理的应用，关键是求出AC、OA的长．

7. (2015 浙江省衢州市) 一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA=1m，水面宽AB=1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m，则此时排水管水面宽CD等于

m．

分析

：先根据勾股定理求出OE的长，再根据垂径定理求出CF的长，即可得出结论．

解答：解：如图：

∵AB=1.2m，OE⊥AB，OA=1m，

∴AE=0.8m，

∵水管水面上升了0.2m，

∴AF=0.8﹣0.2=0.6m，

∴CF=m，

∴CD=1.6m．

故答案为：1.6．

点评：本题考查的是垂径定理的应用，熟知平分弦（不是直径）的直径垂直

于弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．

8. (2015 浙江省湖州市) 如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D，若OD=2，tan∠OAB=，

则AB的长是( )

A. 4

B. 2

C. 8

D. 4

答案：

答案C.

9. (2015 湖南省湘西市) 】．如图，在⊙O中，∠OAB=45°，圆心O到弦AB的距离OE=2cm，则弦AB的长为cm．

答案：】．

分析：首先由垂径定理可知：AE=BE，然后再在Rt△AOE中，由特殊锐角三角函数可求得AE=OE=2，从而可求得弦AB的长．

解答：解：∵OE⊥AB，

∴AE=EB

在Rt△AOE中，∠OAB=45°，

∴tan∠OAB=，

∴AE=OE=2．

∴AB=2AE=2×2=4．

故答案为：4cm．

点评：本题主要考查的是锐角三角函数和垂径定理的应用，掌握垂径定理和特殊锐角三角函数值是解题的关键．

10. (2015 湖南省长沙市) 如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=6，AB=10，OD ⊥BC于点D，则OD的长为．

答案：

分析：根据垂径定理求得BD，然后根据勾股定理求得即可．

解答：解：∵OD⊥BC，

∴BD=CD=BC=3，

∵OB=AB=5，

∴OD==4．

故答案为4．

点评：题考查了垂径定理、勾股定理，本题非常重要，学生要熟练掌握．

11. (2015 黑龙江省牡丹江市) 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=8，CD=6，则BE= ．