4.2垂径定理及推论(2015年)

1. (2015 山东省东营市) 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1m，其中水面的宽AB 为0.8m，则排水管内水的深度为m．
答案：0.8
2. (2015 江苏省徐州市) 如图，AB是⊙O的直径，弦CD ⊥ AB，垂足为E，连接AC，若∠
CAB=22．5°，CD=8cm，则⊙O的半径为cm．
答案：4 2
3. (2015 四川省遂宁市) 如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm，OC⊥AB于点C，则OC=（）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
答案：
分析：连接OA，先利用垂径定理得出AC的长，再由勾股定理得出OC的长即可解答．
解答：解：连接OA，
∵AB=6cm，OC⊥AB于点C，
∴AC=AB=×6=3cm，
∵⊙O的半径为5cm，
∴OC===4cm，
故选B．
点评：本题考查了垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理的应用是解题的关键．
4. (2015 贵州省黔西南州) 如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB于点E，已知CD=4，AE=1，则⊙O的半径为．
答案：
分析：连接OC，由垂径定理得出CE=CD=2，设OC=OA=x，则OE=x﹣1，由勾股定理得出
CE2+OE2=OC2，得出方程，解方程即可．
解答：解：连接OC，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴CE=CD=2，∠OEC=90°，
设OC=OA=x，则OE=x﹣1，
根据勾股定理得：CE2+OE2=OC2，
即22+（x﹣1）2=x2，
解得：x=；
故答案为：．
点评：本题考查了垂径定理、勾股定理、解方程；熟练掌握垂径定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．
5. (2015 浙江省绍兴市) 】．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，点P在以C为圆心，5为半径的圆上，连结PA，PB。

若PB=4，则PA的长为▲
答案：】．
分析：连结CP，PB的延长线交⊙C于P′，如图，先计算出
CB2+PB2=CP2，则根据勾股定理的逆定理得∠CBP=90°，再根据垂径定理得到PB=P′B=4，接着证明四边形ACBP为矩形，则PA=BC=3，然后在Rt△APP′中利用勾股定理计算出P′A=，从而得到满足条件的PA的长为3或．
解答：解：连结CP，PB的延长线交⊙C于P′，如图，
∵CP=5，CB=3，PB=4，
∴CB2+PB2=CP2，
∴△CPB为直角三角形，∠CBP=90°，
∴CB⊥PB，
∴PB=P′B=4，
∵∠C=90°，
∴PB∥AC，
而PB=AC=4，
∴四边形ACBP为矩形，
∴PA=BC=3，
在Rt△APP′中，∵PA=3，PP′=8，
∴P′A==，
∴PA的长为3或．
故答案为3或．
点评：本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．也考查了垂径定理和勾股定理．
6. (2015 浙江省绍兴市) 】．如图，已知点A（0，1），B（0，-1），以点A为圆心，AB为半径作圆，交x轴的正半轴于点C，则∠BAC等于▲度
答案：】．
分析：求出OA、AC，通过余弦函数即可得出答案．
解答：解：∵A（0，1），B（0，﹣1），
∴AB=2，OA=1，
∴AC=2，
在Rt△AOC中，cos∠BAC==，
∴∠BAC=60°，
故答案为60．
点评：本题考查了垂径定理的应用，关键是求出AC、OA的长．
7. (2015 浙江省衢州市) 一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA=1m，水面宽AB=1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m，则此时排水管水面宽CD等于
m．
分析
：先根据勾股定理求出OE的长，再根据垂径定理求出CF的长，即可得出结论．
解答：解：如图：
∵AB=1.2m，OE⊥AB，OA=1m，
∴AE=0.8m，
∵水管水面上升了0.2m，
∴AF=0.8﹣0.2=0.6m，
∴CF=m，
∴CD=1.6m．
故答案为：1.6．
点评：本题考查的是垂径定理的应用，熟知平分弦（不是直径）的直径垂直
于弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．
8. (2015 浙江省湖州市) 如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D，若OD=2，tan∠OAB=，
则AB的长是( )
A. 4
B. 2
C. 8
D. 4
答案：
答案C.
9. (2015 湖南省湘西市) 】．如图，在⊙O中，∠OAB=45°，圆心O到弦AB的距离OE=2cm，则弦AB的长为cm．
答案：】．
分析：首先由垂径定理可知：AE=BE，然后再在Rt△AOE中，由特殊锐角三角函数可求得AE=OE=2，从而可求得弦AB的长．
解答：解：∵OE⊥AB，
∴AE=EB
在Rt△AOE中，∠OAB=45°，
∴tan∠OAB=，
∴AE=OE=2．
∴AB=2AE=2×2=4．
故答案为：4cm．
点评：本题主要考查的是锐角三角函数和垂径定理的应用，掌握垂径定理和特殊锐角三角函数值是解题的关键．
10. (2015 湖南省长沙市) 如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=6，AB=10，OD ⊥BC于点D，则OD的长为．
答案：
分析：根据垂径定理求得BD，然后根据勾股定理求得即可．
解答：解：∵OD⊥BC，
∴BD=CD=BC=3，
∵OB=AB=5，
∴OD==4．
故答案为4．
点评：题考查了垂径定理、勾股定理，本题非常重要，学生要熟练掌握．
11. (2015 黑龙江省牡丹江市) 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=8，CD=6，则BE= ．
答案：
分析：连接OC，根据垂径定理得出CE=ED=CD=3，然后在Rt△OEC中由勾股定理求出OE的长
度，最后由BE=OB﹣OE，即可求出BE的长度．
解答：解：如图，连接OC．
∵弦CD⊥AB于点E，CD=6，
∴CE=ED=CD=3．
∵在Rt△OEC中，∠OEC=90°，CE=3，OC=4，
∴OE==，
∴BE=OB﹣OE=4﹣．
故答案为4﹣．
点评：本题主要考查了垂径定理，勾股定理等知识，关键在于熟练的运用垂径定理得出CE、ED 的长度．
12. (2015 黑龙江省大庆市) 在⊙O中，圆心O到弦AB的距离为AB长度的一半，则弦AB所对圆心角的大小为（）
A． 30° B． 45° C． 60° D． 90°
答案：
分析：利用等腰直角三角形的性质以及垂径定理得出∠BOC的度数进而求出．
解答：解：如图所示：连接BO，AO，
∵圆心O到弦AB的距离为AB长度的一半，
∴DO=DB，DO⊥AB，
∴∠BOC=∠BOC=45°，
则∠A=∠AOC=45°，
∴∠AOB=90°．
故选：D．
点评：此题主要考查了垂径定理以及等腰直角三角形的性质，得出∠BOC=∠BOC=45°是解题关键．
13. (2015 贵州省黔南州) 如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连接外圆上的两点A、B，并使AB与车轮内圆相切于点D，半径为OC⊥AB交外圆于点C．测得CD=10cm，AB=60cm，则这个车轮的外圆半径是．
答案：
分析：根据垂径定理求得AD=30cm，然后根据勾股定理即可求得半径．
解答：解：如图，连接OA，
∵CD=10cm，AB=60cm，
∵CD⊥AB，
∴OC⊥AB，
∴AD=AB=30cm，
∴设半径为r，则OD=r﹣10，
根据题意得：r2=（r﹣10）2+302，
解得：r=50．
∴这个车轮的外圆半径长为50cm．
故答案为：50cm．
点评：本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用，作出辅助线构建直角三角形是本题的关键．
14. (2015 贵州省黔南州) 如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB且相交于点E，则下列结论中不成立的是（）
A．∠A=∠D B．= C．∠ACB=90° D．∠COB=3∠D
答案：
分析：根据垂径定理、圆周角定理，进行判断即可解答．
解答：解：A、∠A=∠D，正确；
B、，正确；
C、∠ACB=90°，正确；
D、∠COB=2∠CDB，故错误；
故选：D．
点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，也考查了圆周角定理，解集本题的关键是熟记垂径定理和圆周角定理．
15. (2015 甘肃省南州市) 如图，两个同心圆，大圆半径为5cm，小圆的半径
为3cm，若大圆的弦AB与小圆相交，则弦AB的取值范围是．
答案：分析：解决此题首先要弄清楚AB在什么时候最大，什么时候最小．当AB与小圆
相切时有一个公共点，此时可知AB最小；当AB经过同心圆的圆心时，弦AB最大且与小圆相交有两个公共点，此时AB最大，由此可以确定所以AB的取值
范围．
解答：
解：如图，当AB与小圆相切时有一个公共点D，
连接OA，OD，可得OD⊥AB，
∴D为AB的中点，即AD=BD，
在Rt△ADO中，OD=3，OA=5，
∴AD=4，
∴AB=2AD=8；
当AB经过同心圆的圆心时，弦AB最大且与小圆相交有两个公共点，此时AB=10，
所以AB的取值范围是8＜AB≤10．
故答案为：8＜AB≤10
点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：垂径定理，勾股定理，以及切线的性质，其中解题的关键是抓住两个关键点：1、当弦AB与小圆相切时最短；2、当AB过圆心O时最长．
16. (2015 甘肃省南州市) 如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB 于点D，交⊙O于点C，且CD=1，则弦AB的长是．
答案：分析：连接AO，得到直角三角形，再求出OD的长，就可以利用勾股定理求解．
解答：解：连接AO，
∵半径是5，CD=1，
∴OD=5﹣1=4，
根据勾股定理，
AD===3，
∴AB=3×2=6，
因此弦AB的长是6．
点评：解答此题不仅要用到垂径定理，还要作出辅助线AO，这是解题的关键．
17. (2015 甘肃省南州市) ⊙O过点B，C，圆心O在等腰直角△ABC内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6，则⊙O的半径为（）
A． B． 2 C． D． 3
答案：分析：根据等腰三角形三线合一的性质知：若过A作BC的垂线，设垂足为D，则AD必垂直平分BC；由垂径定理可知，AD必过圆心O；根据等腰直角三角形的性质，易求出BD、AD的长，进而可求出OD的值；连接OB根据勾股定理即可求出⊙O的半径．
解答：解：过A作AD⊥BC，由题意可知AD必过点O，连接OB；
∵△BAC是等腰直角三角形，AD⊥BC，
∴BD=CD=AD=3；
∴OD=AD﹣OA=2；
Rt△OBD中，根据勾股定理，得：
OB==．
故选C．
点评：本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
18. (2015 贵州省六盘水市) 】．赵洲桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙。

如图10，若桥跨度AB约为40米，主拱高CD约
10米，则桥弧AB所在圆的半径R＝米．
答案：】．分析：根据垂径定理和勾股定理求解即可． 解答：解：根据垂径定理，得AD=AB=20米．
设圆的半径是r ，根据勾股定理，
得R 2=202+（R ﹣10）2
，
解得R=25（米）．
故答案为25． 点评：此题综合运用了勾股定理以及垂径定理．注意构造由半径、半弦、
弦心距组成的直角三角形进行有关的计算．
19. (2015 贵州省安顺市) 如图⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足是E ，22.5A ∠=︒，4OC =，
CD 的长为（ ） A ．22 B ．4 C ．24 D ．8
答案：C。