北师大版数学七年级上册 有理数(培优篇)(Word版 含解析)

一、初一数学有理数解答题压轴题精选（难）
1．如图，在数轴上每相邻两点间的距离为一个单位长度，点、、、对应的数分别是，且 .
（1）那么 ________， ________：
（2）点以个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动，秒后点以个单位/秒的速度也沿着数轴的正方向运动，当点到达点处立刻返回，与点在数轴的某点处相遇，求这个点对应的数；
（3）如果、两点以（2）中的速度同时向数轴的负方向运动，点从图上的位置出发
也向数轴的负方向运动，且始终保持，当点运动到时，点对应的数是多少？
【答案】（1）-6；-8
（2）解：由（1）可知：，，，，
点运动到点所花的时间为，
设运动的时间为秒，
则对应的数为，
对应的数为： .
当、两点相遇时，，，
∴ .
答：这个点对应的数为；
（3）解：设运动的时间为
对应的数为：
对应的数为：
∴
∵
∴
∵对应的数为
∴
①当，；
②当，，不符合实际情况，
∴
∴
答：点对应的数为
【解析】【解答】解：（1）由图可知：，
∵，
∴，
解得，
则；
【分析】（1）由a、d在数轴上的位置可得d=a+8，代入已知的等式可求得a的值，再根据数轴可确定原点的位置；
（2）根据相遇问题可求得相遇时间，然后结合题意可求解；
（3）根据AB=AC列方程，解含绝对值的方程可求解.
2．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是________；表示-3和2两点之间的距离是________；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m-n|.
（2）如果|x+1|=3，那么x=________；
（3）若|a-3|=2，|b+2|=1，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B 两点间的最大距离是________.
（4）若数轴上表示a的点位于-4与2之间，则|a+4|+|a-2=________.
【答案】（1）3；5
（2）2或-4
（3）8
（4）6
【解析】【解答】解：数轴上表示4和1的两点之间的距离是：；表示和两点之间的距离是：故答案为：
或
或
故答案为：或（3）
或或
当时，则两点间的最大距离是，
当a=5，b=-1时，A、B两点间的距离是6，
当a=1，b=-3时，A、B两点间的距离是4，
当时，则两点间的最小距离是，
则两点间的最大距离是，最小距离是
故答案为：（4）数轴上表示a的点位于-4与2之间，则
故答案为：
【分析】（1）根据数轴上任意两点间的距离等于这两点所表示的数的绝对值即可算出答案；
（2）根据绝对值的意义去绝对值的符号，再解方程即可；
（3）根据绝对值的意义去绝对值的符号，再解方程求出a,b的值，然后分四种情况求出ab 之间的距离，再比大小即可；
（4）根据数轴上的点所表示的数的特点可知-4＜a＜2，所以a+4＞0,a-2＜0，再根据绝对值的意义去绝对值符号并合并同类项即可.
3．数轴上两点间的距离等于这两个点所对应的数的差的绝对值.例：点A、B在数轴上对应的数分别为a、b，则A、B两点间的距离表示为AB＝|a﹣b|.根据以上知识解题：
（1）点A在数轴上表示3，点B在数轴上表示2，那么AB＝________.
（2）在数轴上表示数a的点与﹣2的距离是3，那么a＝________.
（3）如果数轴上表示数a的点位于﹣4和2之间，那么|a+4|+|a﹣2|＝________.
（4）对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，直接写出最小值.如果没有.请说明理由.
【答案】（1）1
（2）1或-5
（3）6
（4）解：∵|a-3|+|a﹣6|表示a到3与a到6的距离的和，
∴当3≤a≤6时，|a-3|+|a-6|= =3，
当a>6或a<3时，|a-3|+|a﹣6|>3，
∴|a-3|+|a﹣6|有最小值，最小值为3.
【解析】【解答】（1）AB= =1，
故答案为：1
（ 2 ）∵数轴上表示数a的点与﹣2的距离是3，
∴ =3，
∴-2-a=3或-2-a=-3，
解得：a=1或a=-5，
故答案为：1或-5
（ 3 ）数a位于﹣4与2之间，|a+4|+|a﹣2|表示a到-4与a到2的距离的和，
∴|a+4|+|a﹣2|= =6，
故答案为：6
【分析】（1）根据数轴上两点间的距离等于这两个点所对应的数的差的绝对值即可算出
答案；
（2）根据数轴上两点间的距离等于这两个点所对应的数的差的绝对值列出方程，求解即可；
（3）根据题意可知：此题其实质就是求数轴上表示数a的点到表示数字-4的点的距离与数轴上表示数a的点到表示数字2的点的距离的和，又数轴上表示数a的点位于-4与2之间，故该距离等于数轴上表示数字-4与表示数字2的点之间的距离，从而即可得出答案；（4）此题其实质就是求数轴上表示数a的点到表示数字3的点的距离与数轴上表示数a 的点到表示数字6的点的距离的和，从而分当3≤a≤6时，当a>6或a<3时三种情况考虑即可得出答案.
4．快递员小王下午骑摩托车从总部出发，在一条东西走向的街道上来回收送包裹.他行驶的情况记录如下（向东记为“ ”，向西记为“ ”，单位：千米）：
，，，，，，
（1）小王最后是否回到了总部？
（2）小王离总部最远是多少米？在总部的什么方向？
（3）如果小王每走米耗油毫升，那么小王下午骑摩托车一共耗油多少毫升？
【答案】（1）解：+2-3.5+3-4-2+2.5+2=0，
∴小王最后回到了总部
（2）解：第一次离总部2=2千米；
第二次：2-3.5=-1.5千米；
第三次：-1.5+3=1.5千米；
第四次：1.5-4=-2.5千米；
第五次：-2.5-2=-4.5千米；
第六次：-4.5+2.5=-2千米；
第七次：-2+2=0千米.
所以离总部最远是4.5千米，在总部的西方向
（3）解：|+2|+|-3.5|+|+3|+|-4|+|-2|+|+2.5|+|+2|=2+3.5+3+4+2+2.5+2=19千米
又∵摩托车每行驶1千米耗油30毫升，∴19×30=570（毫升）
∴这一天下午共耗油570毫升.
【解析】【分析】（1）根据有理数的加减法，再根据正负数即可；（2）根据有理数的加减法，再根据正负数即可；（3）根据绝对值的性质，再根据正负数即可；
5．已知：b是最小的正整数，且a、b满足＋＝0，请回答问题：
（1）请直接写出a、b、c的值；
（2）数轴上a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点M是A、B之间的一个动点，其对应的数为m，请化简（请写出化简过程）；
（3）在（1）（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动．若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动．同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动．假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BC－AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
【答案】（1）解：∵b是最小的正整数
∴b=1
∵＋＝0
∴a = -1，c=5
故答案为：-1；1；5；
（2）解：由（1）知，a = -1，b=1，a、b在数轴上所对应的点分别为A、B，
①当m<0时，|2m|=-2m；
②当m≥0时，|2m|=2m；
（3）解：BC-AB的值不随着时间t的变化而变化，其值是2，理由如下：
∵点A以每秒一个单位的速度向左移动，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右移动，
∴BC=3t+4，AB=3t+2
∴BC-AB=3t+4-（3t+2）=2
【解析】【分析】（1）先根据b是最小的正整数，求出b，再根据＋
＝0，即可求出a、c的值；（2）先得出点A、C之间（不包括A点）的数是负数或0，得出m≤0，在化简|2m|即可；（3）先求出BC=3t+4，AB=3t+2，从而得出BC-AB=2.
6．点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．
利用数轴，根据数形结合思想，回答下列问题：
（1）已知|x|＝3，则x的值是________．
（2）数轴上表示2和6两点之间的距离是________，数轴上表示1和﹣2的两点之间的距离为________；
（3）数轴上表示x和1两点之间的距离为________，数轴上表示x和﹣3两点之间的距离为________
（4）若x表示一个实数，且﹣5＜x＜3，化简|x﹣3|+|x+5|＝________；
（5）|x+3|+|x﹣4|的最小值为________，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|+|x﹣5|的最小值为________．
（6）|x+1|﹣|x﹣3|的最大值为________．
【答案】（1）
（2）4；3
（3）|x﹣1|
；|x+3|
（4）8
（5）7；6
（6）4
【解析】【解答】解：（1）∵，则；
故答案为：；（2），，
故答案为：4，3；（3）根据两点间距离公式可知：数轴上表示x和1两点之间的距离为：；
数轴上表示x和-3两点之间的距离为：；
故答案为：，；（4）x对应点在点-5和3之间时的任意一点时|x-3|+|x+5|的值都是8；
故答案为：8；（5）x对应点在点-4和3之间时的任意一点，|x-3|+|x+4|的值最小是7；当x对应点是3时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|的最小值为6；
故答案为：7，6；（6）当x对应点不在-1和3对应点所在的线段上，即x＜-1或x＞3时，
|x+1|-|x-3|的最大值为4；
故答案为：4．
【分析】（1）根据绝对值的意义，即可得到答案；（2）（3）直接代入公式即可；（4）实质是在表示3和-5的点之间取一点，计算该点到点3和-5的距离和；（5）可知x对应点在对应-3和4的点之间时|x+3|+|x-4|的值最小；x对应点在3时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|值最小；（6）可知x对应点在表示-1和3的点所形成的线段外时，|x+1|-|x-3|的值最大．
7．点P，Q在数轴上分别表示的数分别为p，q，我们把p，q之差的绝对值叫做点P，Q之间的距离，即．如图，在数轴上，点A，B，O，C，D的位置如图所示，则；；
．请探索下列问题：
（1）计算 ________，它表示哪两个点之间的距离？ ________
（2）点M为数轴上一点，它所表示的数为x，用含x的式子表示PB=________；当PB=2时，x=________；当x=________时，|x+4|+|x-1|+|x-3|的值最小．
（3）|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-2018|+|x-2019|的最小值为________．
【答案】（1）5；A与C
（2）x+2
；-4或0
；1
（3）1019090
【解析】【解答】解：（1）|1−（−4）|＝|1＋4|＝|5|＝5，|1−（−4）|表示点A与C之间的距离，
故答案为：5，点A与C；（2）∵点P为数轴上一点，它所表示的数为x，点B表示的数为−2，
∴PB＝|x−（−2）|＝|x＋2|，
当PB＝2时，|x＋2|＝2，得x＝0或x＝−4，
当x≤−4时，|x＋4|＋|x−1|＋|x−3|＝−x−4＋1−x＋3−x＝−x≥4；
当−4＜x＜1时，|x＋4|＋|x−1|＋|x−3|＝x＋4＋1−x＋3−x＝8−x，
当1≤x≤3时，|x＋4|＋|x−1|＋|x−3|＝x＋4＋x−1＋3−x＝6＋x，
当x＞3时，|x＋4|＋|x−1|＋|x−3|＝x＋4＋x−1＋x−3＝3x＞9，
∴当x＝1时，|x＋4|＋|x−1|＋|x−3|有最小值；
故答案为：|x＋2|；−4或0；1（3）|x−1|＋|x−2019|≥|1−2019|＝2018，
当且仅当1≤x≤2019时，|x−1|＋|x−2019|＝2018，
当且仅当2≤x≤2018时，|x−2|＋|x−2018|≥|2−2018|＝2016，
…
同理，当且仅当1009≤x≤1011时，|x−1009|＋|x−1011|≥|1009−1011|＝2，
|x−1010|≥0，当x＝1010时，|x−1010|＝0，
∴|x−1|＋|x−2|＋|x−3|＋…＋|x−2018|＋|x−2019|≥0＋2＋4＋…＋2018＝1019090，
∴|x−1|＋|x−2|＋|x−3|＋…＋|x−2018|＋|x−2019|的最小值为1019090；
故答案为1019090．
【分析】（1）由所给信息，结合绝对值的性质可求；（2）由绝对值的性质，分段去掉绝对值符号，在不同的x范围内确定|x＋4|＋|x−1|＋|x−3|的最小值；（3）由所给式子的对称性，结合绝对值的性质，将所求绝对值式子转化为求0＋2＋4＋…＋2018的和．
8．平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化.
（1）平移运动
①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动个单位长度，再向正方向移动个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是(________)
A. B.
C. D.
②一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，……，依次规律跳，当它跳2019次时，落在数轴上的点表示的数是________.
（2）翻折变换
①若折叠纸条，表示-1的点与表示3的点重合，则表示2019的点与表示________的点重合；
②若数轴上A、B两点之间的距离为2019（A在B的左侧，且折痕与①折痕相同），且
A、B两点经折叠后重合，则A点表示________B点表示________.
③若数轴上折叠重合的两点的数分别为a，b，折叠中间点表示的数为________.（用含有a，b的式子表示）
【答案】（1）D；-1010
（2）-2017；-1008.5；1010.5；
【解析】【解答】解：①∵笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动3个单位长度，再向正方向移动2个单位长度，
∴（-3）+（+2）=-1
故答案为：D.
②∵一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位…
∴-1+2-3+4-…+2018-2019
=（-1+2）+（-3+4）+…+（-2017+2018）-2019
=1+1+…-2019
=1009-2019
=-1010
故答案为：D，-1010.
（2）①∵折叠纸条，表示-1的点与表示3的点重合
∴对称中心为：，
∴2019-1=2018，
∴与表示2019的点重合的点在1的左边，
∴1-2018=-2017.
②∵数轴上A、B两点之间的距离为2019，折痕与①折痕相同
∴点B和1，点A和1之间的距离相等，
∴点A和1之间的距离为2019÷2=1009.5
∵A在B的左侧，
∴点A表示的数为1-1009.5=-1008.5
点B表示的数为：1009.5+1=1010.5；
③根据以上规律可知数轴上折叠重合的两点的数分别为a，b，折叠中间点表示的数为
.
故答案为：-2017、-1008.5、1010.5、.
【分析】（1）点在数轴上平移的规律为：左减右加，列式计算。

（2）①根据点在数轴上平移的规律为：左减右加，由题意可知奇数次向左，偶数次向右，再列式可求出结果；②由题意可知点B和1，点A和1之间的距离相等，先求出它们之间的距离，再根据点A在点B的左侧，可得到点A和点B表示的数；③根据前两题的规律，利用中心对称的性质，可得到数轴上折叠重合的两点的数分别为a，b，折叠中间点表示的数。

9．把具有某种规律的一列数：1,－2,3,－4,5,－6，...，排列成下面的阵形：
........
探索下列事件：
（1）第10行的第1个数是什么数？
（2）数字2019前面是负号还是正号?在第几行?第几列?
【答案】（1）解：∵第1行第1个数1=（-1）2×（02+1）；
第2行第1个数-2=（-1）3×（12+1）；
第3行第1个数5=（-1）4×（22+1）；
第4行第1个数-10=（-1）5×（32+1）；
…
∴第10行第1个数为（-1）11×（92+1）=-82，
（2）解：由以上数列可知，绝对值为奇数的为正，绝对值为偶数的符号为负，
∴2019前面是正号；
∵第45行第1个数为（-1）46×（442+1）=1937，
第46行第1个数为（-1）47×（452+1）=-2026，
且2019-1937+1=83，
∴2019在第45行，第83列
【解析】【分析】（1）由每行的第一个数可知，第n行第一个数为（-1）n+1×[（n-1）2+1]，据此可得；（2）根据题意知绝对值为奇数的为正，绝对值为偶数的符号为负；求出第45行第1个数为1937，第46行第1个数为-2026知2021在第45行，再由每行中每个数的绝对值依次加1可得列数．
10．数轴上两点之间的距离等于相应两数差的绝对值,即：点A、B表示的数分别为a、b,这
两点之间的距离为AB= ，如:表示数1与5的两点之间的距离可表示为，表示数-2与3的两点之间的距离可表示为 .
（借助数轴，画出图形，写出过程）
（1）数轴上表示2和7的两点之间的距离是________,数轴上表示3和-6的两点之间的距离是________；
（2）数轴上表示x和-2的两点M和N之间的距离是________,如果|MN|，则x为________；
（3）当式子： |x+2|+|x-3|+|x-4| 取最小值时，x的值为________,最小值为________.
【答案】（1）｜2-7｜＝5；｜3-（-6）｜＝9
（2）｜x+2｜；-8或4
（3）3；6
【解析】【解答】解：（1）数轴上表示2和7的两点之间的距离是：|2-7|=5；
数轴上表示-3和-6的两点之间的距离是：|3-（-6）| =9；
故答案为：5，9；
（2）数轴上表示x和-2的两点M和N之间的距离是：|x+2|，
如果|MN|=6，则|x+2|=6，
∴x+2=±6，
解得：x=4或x=-8，
故答案为：|x+2|，4或-8；
（3）|x+2|+|x-3|+|x-4|的几何意义是：数轴上表示数x的点到表示-2、3、4的三
点的距离之和，
显然只有当x=3时，取到最小值；
∴当x=3时，
最小值为：；
【分析】（1）和（2）主要是根据数轴上两点之间的距离等于相对应两数差的绝对值或直接让较大的数减去较小的数，进行计算；（3）结合数轴和两点间的距离进行分析.
11．阅读材料：
我们知道的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离，即，也就是说表示在数轴上数与数对应的点之间的距离，这个结论可以推广为
表示数轴上与对应点之间的距离．
例1：已知，求的值．
解：容易看出，在数轴上与原点距离为2的点的对应数为-2和2，即的值为-2和2．
例2：已知，求的值．
解：在数轴上与的距离为2的点的对应数为3和-1，即的值为3和-1．
仿照阅读材料的解法，求下列各式中的值．
（1）
（2）
（3）由以上探索猜想：对于任何有理数是否有最小值？如果有，写
出最小值；如果没有，请说明理由．
【答案】（1）解：，在数轴上与原点距离为3的点的对应数为-3和3，即的值
为-3和3
（2）解：，在数轴上与-2距离为4的点的对应数为-6和2，即的值为-6和2；
（3）解：有最小值，最小值为3，
理由是：
∵理解为：在数轴上表示到3和6的距离之和，
∴当在3与6之间的线段上（即）时：
即的值有最小值，最小值为．
【解析】【分析】（1）由阅读材料中的方法求出的值即可；（2）由阅读材料中的方法
求出的值即可；（3）根据题意得出原式最小时的范围，并求出最小值即可．
12．如图，已知数轴上点A表示的数为﹣3，B是数轴上位于点A右侧一点，且AB＝12.动
点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向点B方向匀速运动，设运动时间为
t秒.
（1）数轴上点B表示的数为________；点P表示的数为________（用含t的代数式表示）. （2）动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向点A方向匀速运动；点P、点Q同时出发，当点P与点Q重合后，点P马上改变方向，与点Q继续向点A方向匀
速运动（点P、点Q在运动过程中，速度始终保持不变）；当点P返回到达A点时，P、Q 停止运动.设运动时间为t秒.
①当点P返回到达A点时，求t的值，并求出此时点Q表示的数.
②当点P是线段AQ的三等分点时，求t的值.
【答案】（1）9；
（2）解：①根据题意，得：（1+2）t＝12，
解得：t＝4，
∴P回到A需8s，当t＝8时，点P与点A重合，此时点Q表示的数为1；
②P与Q重合前（即t<4）：
当2AP＝PQ时，有2t+4t+t＝12，解得t＝；
当AP＝2PQ时，有2t+t+t＝12，解得t＝3；
P与Q重合后（即4<t<8）：
当AP＝2PQ时，有2（8﹣t）＝2（t﹣4），解得t＝6；
当2AP＝PQ时，有4（8﹣t）＝t﹣4，解得t＝；
综上所述，当t＝秒或3秒或6秒或秒时，点P是线段AQ的三等分点.
【解析】【解答】解：（1）由题意知，点B表示的数是﹣3+12＝9，点P表示的数是﹣3+2t，
故答案为：9，﹣3+2t；
【分析】（1）根据两点间的距离求解可得；（2）①根据重合前两者的路程和等于AB的长度列方程求解可得；②分点P与点Q重合前和重合后，依据点P是线段AQ的三等分点线段间的数量关系，并据此列出方程求解可得.。