2019年广西贵港市中考数学试卷(附答案与解析)

数学试卷 第1页（共24页） 数学试卷 第2页（共24页）
绝密★启用前
广西贵港市2019年初中毕业学业水平考试
数 学
本试卷满分120分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷(选择题 共36分)
一、选择题(本大题共12小题，共36.0分) 1.计算3(1)-的结果是
( ) A .1-
B .1
C .3-
D .3
2.某几何体的俯视图如图所示，图中数字表示该位置上的小正方体的个数，则
这个几何体的主视图是
( )
A
B
C
D
3.若一组数据为：10,11,9,8,10,9,11,9，则这组数据的众数和中位数分别是
( ) A . 9,9
B .10,9
C . 9,9.5
D .11,10 4.
若分式211
x x -+的值等于0，则x 的值为
( ) A .1±
B .0
C .1-
D .1 5.下列运算正确的是
( )
A .336
()a a a +-=- B .222()a b a b +=+ C .23 22a a a =
D .2335)(ab a b =
6.若点(1,5)P m -与点(3,2)Q n -关于原点成中心对称，则m n +的值是 ( ) A .2-
B .3-
C .2
D .3
7.若α，β是关于x 的一元二次方程220x x m -+=的两实根，且1
1
2
+
3
α
β
=-
，则m 等于
( ) A .2-
B .3-
C .2
D .3
8.下列命题中假命题是 ( )
A .对顶角相等
B .直线5y x =-不经过第二象限
C .五边形的内角和为°540
D .因式分解322()x x x x x x ++=+
9如图，AD 是O 的直径，AB CD =，°40AOC =∠，则圆周角BPC ∠的度数是
( )
A .°40
B .°50
C .°60
D .°60
10.将一条宽度为2 cm 的彩带按如图所示的方法折叠，折痕为AB ，重叠部分为ABC △(图中阴影部分)，若°45AOC =∠，则重叠部分的面积为
( )
A .22 2 cm
B .22 3 cm
C .24 cm
D .24 2 cm
11.如图，在ABC △中，点D ，E 分别在AB ，AC 边上，DE BC ∥，ACD B =∠∠，
若2AD BD =，6BC =，则线段CD 的长为
( )
毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________
-------------在
--------------------此--------------------
卷--------------------
上--------------------答--------------------
题--------------------
无--------------------
效----------------
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A .
23 B .32
C .26
D .5
12.如图，E 是正方形ABCD 的边AB 的中点，点H 与B 关于
CE 对称，EH 的延长线与AD 交于点F ，与CD 的延长线交
于点N ，点P 在AD 的延长线上，作正方形DPMN ，连接
CP ，记正方形ABCD ，DPMN 的面积分别为1S ，2S ，则下
列结论错误的是
( )
A .212S S CP +=
B .42F FD =
C .4C
D PD =
D .3
cos 5
HCD =
∠ 第Ⅱ卷(非选择题 共84分)
二、填空题(本大题共6小题，共18.0分) 13.有理数9的相反数是 .
14.将实数53.1810-⨯用小数表示为 .
15.如图，直线a b ∥，直线m 与a ，b 均相交，若°138=∠，则2=∠ .
16.若随机掷一枚均匀的骰子，骰子的6个面上分别刻有1，2，3，4，5，6点，则点数
不小于3的概率是 .
17.如图，在扇形OAB 中，半径OA 与OB 的夹角为°120，点A 与点B 的距离为23，若扇形OAB 恰好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面半径为 . 18.我们定义一种新函数：形如2||y ax bx c =++(0a ≠，且
240b a -＞)的函数叫做
“鹊桥”函数.小丽同学画出了“鹊桥”函数2||23y x x =--的图象(如图所示)，并写出下列五个结论：①图象与坐标轴的交点为(1,0)-，(3,0)和
(0,3)；②图象具有对称性，对称轴是直线1x =；③当
11x -≤≤或3x ≥时，
函数值y 随x 值的增大而增大；④当1x =-或3x =时，函数的最小值是0；⑤当1x =时，函数的最大值是4.其中正确结
论的个数是 .
三、解答题(本大题共8小题，共66.0分)
19.(1)计算：021
4(33)()4sin302
--+-︒
(2)解不等式组：622(4)233
23x x x x --⎧⎪
-⎨--⎪⎩＞≤，并在数轴上表示该不等式组的解集.
20.尺规作图(只保留作图痕迹，不要求写出作法)：如图，已知ABC △，请根据“SAS ”基本事实作出DEF △，使DEF ABC △≌△.
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21.如图，菱形ABCD 的边AB 在x 轴上，点A 的坐标为(1,0)，点
(4,4)D 在反比例函数
(0)k
y x x
=＞的图象上，直线23y x b
=+经过点C ，与y 轴交于点E ，连接AC ，AE .
(1)求k ，b 的值； (2)求ACE △的面积.
22.为了增强学生的安全意识，某校组织了一次全校2 500名学生都参加的“安全知识”考试.阅卷后，学校团委随机抽取了100份考卷进行分析统计，发现考试成绩(x 分)的最低分为51分，最高分为满分100分，并绘制了如下尚不完整的统计图表.请根据图表提供的信息，解答下列问题：
分数段(分)
频数(人)
频率
5161x ≤＜ a
0.1 6171x ≤＜
18
0.18
7181x ≤＜ b
n
8191x ≤＜
35 0.35 91101x ≤＜
12 0.12
合计
100
1
(1)填空：a = ，b = ，n = ； (2)将频数分布直方图补充完整；
(3)该校对考试成绩为91100x ≤＜的学生进行奖励，按成绩从高分到低分设一、二、三等奖，并且一、二、三等奖的人数比例为1:3:6，请你估算全校获得二等奖的学生人数.
23.为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从2016年底到2018年底两年内由5万册增加到7.2万册.
(1)求这两年藏书的年均增长率；
(2)经统计知：中外古典名著的册数在2016年底仅占当时藏书总量的5.6%，在这两年新增加的图书中，中外古典名著所占的百分率恰好等于这两年藏书的年均增长率，那么到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几？
24.如图，在矩形ABCD 中，以BC 边为直径作半圆O ，
OE OA ⊥交CD 边于点E ，对角线AC 与半圆O 的另一个交点为P ，连接AE .
(1)求证：AE 是半圆O 的切线； (2)若2PA =，4PC =，求AE 的长.
25.如图，已知抛物线2y ax bx c =++的顶点为(4,3)A ，与y 轴相交于点(0,5)B -，对称轴为直线l ，点M 是线段AB 的中点.
(1)求抛物线的表达式；
(2)写出点M 的坐标并求直线AB 的表达式；
(3)设动点P ，Q 分别在抛物线和对称轴l 上，当以A ，P ，
Q ，M 为顶点的四边形是平行四边形时，求P ，Q 两点的坐标.
26.已知：ABC △是等腰直角三角形，°90BAC =∠，将ABC △绕点C 顺时针方向旋转得到A B C '''△，记旋转角为α，当°°90180α＜＜时，作A D AC '⊥，垂足为D ，A D '与B C '交于点E .
(1)如图1，当°15CA D '=∠时，作°15A EC '=∠的平分线EF 交BC 于点F .
①写出旋转角α的度数； ②求证：EA EC EF '+=；
(2)如图2，在(1)的条件下，设P 是直线A D '上的一个动点，连接PA ，PF ，若
2AB =，求线段PA PF +的最小值.(结果保留根号).
毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________
-------------在
--------------------此--------------------
卷--------------------
上--------------------
答--------------------
题--------------------
无--------------------
效---
-------------
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广西贵港市2019年初中毕业学业水平考试
数学答案解析
第Ⅰ卷
一、选择题 1．【答案】A
【解析】解：3(1)-表示3个(1)-的乘积， 所以3(1)=3-． 故选：A ．
乘方是乘法的特例，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行．负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数；1-的奇数次幂是1-，1-的偶数次幂是1． 【考点】有理数的乘方运算． 2．【答案】B
【解析】解：从正面看去，一共两列，左边有2竖列，右边是1竖列．故选：B ． 先细心观察原立体图形中正方体的位置关系，从正面看去，一共两列，左边有2竖列，
右边是1竖列，结合四个选项选出答案．
【考点】由三视图判断几何体，解题的关键是具有几何体的三视图及空间想象能力． 3．【答案】C
【解析】解：将数据重新排列为8，9，9，9，10，10，11，11，
∴这组数据的众数为9，中位数为9+10
=9.52
，故选：C ．
根据众数和中位数的概念求解可得．
本题为统计题，中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个
数(最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错． 【考点】众数与中位数的意义． 4．【答案】D
【解析】解：21(1)(1)
1011
x x x x x x -+-==-=++，
∴1x =；
故选：D ．
化简分式21(1)(1)
1011
x x x x x x -+-==-=++即可求解；
【考点】解分式方程；熟练掌握因式分解的方法，分式方程的解法是解题的关键． 5．【答案】C
【解析】解：33()0a a +-=，A 错误；
222()2a b a ab b +=++，B 错误； 2335()ab a b =，D 错误；
故选：C ．
利用完全平方公式，合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方法则运算即可；
【考点】整式的运算；熟练掌握完全平方公式，合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方
法则是解题的关键． 6．【答案】C
【解析】解：∵点(1,5)P m -与点(3,2)Q n - 关于原点对称， ∴13m -=-，25n -=-， 解得：2m =-，7n =， 则275m n +=-+=， 故选：C ．
关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数． 【考点】本题考查列方程组解应用题． 7．【答案】B
【解析】α，β是关于x 的一元二次方程220x x m -+=的两实根， ∴2αβ+=，m αβ=， ∵
1
1+22
+
=
=3
m αβα
βαβ=-，
∴3m =-； 故选：B ．
利用一元二次方程根与系数的关系得到2αβ+=，m αβ=，再化简
1
1++
=
αβ
α
βαβ
，代
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入即可求解；
【考点】一元二次方程；熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 8．【答案】D
【解析】解：A ．对顶角相等；真命题；B ．直线5y x =-不经过第二象限；真命题；C ．五
边形的内角和为°540；真命题；D ．因式分解322()x x x x x x ++=+；假命题； 故选：D ．
由对顶角相等得出A 是真命题；由直线5y x =-的图象得出B 是真命题；由五边形的内
角和为°540得出C 是真命题；由因式分解的定义得出D 是假命题；即可得出答案． 【考点】命题与定理、真命题和假命题的定义：正确的命题是真命题，错误的命题是假
命题． 9．【答案】B
【解析】解：∵AB CD =，°40AOB =∠， ∴°40COD AOB ==∠∠，
∵°+180AOB BOC COD +=∠∠∠， ∴°100BOC =∠，
∴°1502
BPC BOC ==∠∠， 故选：B ．
根据圆周角定理即可求出答案．
【考点】圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 10.【答案】A
【解析】如图，过B 作BD AC ⊥于D ，则°90BDC =∠， ∵°45ACB =∠， ∴°45CBD =∠， ∴ 2 cm BD CD ==，
∴Rt BCD △中，222222(cm)BC =+=， ∴重叠部分的面积为1222=22(cm)2
⨯⨯， 故选：A ．
过B 作BD AC ⊥于D ，则°90BDC =∠，依据勾股定理即可得出BC 的长，进而得到重
叠部分的面积．
【考点】折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小
不变，位置变化，对应边和对应角相等． 11．【答案】C
【解析】设2AD x =，BD x =， ∴3AB x =， ∵DE BC ∥， ∴ADE ABC △∽△，
∴
DE AD DE
BC AB CD ==
， ∴263DE x x
=
， ∴4DE =，2
3
AE AC =，
∵ACD B =∠∠，
ADE B =∠∠，
∴ADE ACD =∠∠， ∵A A =∠∠， ∴ADE ACD △∽△， ∴
DE AE DE
BC AD CD ==
， 设2AE y =，3AC y =， ∴
23AD y
y AD =， ∴6AD y =， ∴
24
6y CD
y =， ∴2CD =， 故选：C ．
设2AD x =，BD x =，所以3AB x =，易证ADE ABC △∽△，利用相似三角形的性质可
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求出DE 的长度，以及
2
3
AE AC =，再证明ADE ACD △∽△，利用相似三角形的性质即可求出得出DE AE DE
BC AD CD
==
，从而可求出CD 的长度． 【考点】相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定． 12．【答案】D
【解析】解：∵正方形ABCD ，DPMN 的面积分别为1S ，2S ， ∴12S CD =，22S PD =，
在Rt PCD △中，2
2
2
PC CD PD =+， ∴2
12S S CP +=，故A 结论正确； 连接CF ，
∵点H 与B 关于CE 对称， ∴CH CB =，BCE ECH =∠∠ ， 在BCE △和HCE △中，
ECH BC CH CB CE CE E =⎧⎪=⎩
=⎪
⎨∠∠ ∴()CE HCE SAS △≌△ ，
∴BE EH =，°90ECH B ==∠∠，BEC HEC =∠∠， ∴CH CD =，
在Rt FCH △和Rt FCD △中 =CH CD CF CF ⎧⎨=⎩
∴Rt Rt ()FCH FCD HL △≌△， ∴FCH FCD =∠∠，FH FD =，
∴°
+45ECH ECH BCD ==∠∠∠，即°
=45ECH ∠， 作FG EC ⊥于G ，
∴CFG △是等腰直角三角形， ∴FG CG =，
∵BEC HEC =∠∠，°
90B FGH ==∠∠，
∴FEG CEB △∽△， ∴
1
2
EG EB FG BC ==， ∴2FG EG =，
设EG x =，则2FG x =， ∴2CG x =，2CF x = ， ∴3EC x =， ∵222EB BC EC +=， ∴22594
BC x =， ∴22 BC x =， ∴ BC x =，
在Rt FCD △中，22236
(22)5
FD CF CD x x =-=-， ∴3FD AD =，
∴2AF FD =，故B 结论正确； ∵AB CN ∥， ∴
1
2
ND FD AE AF ==， ∵PD ND =，12
AE CD =， ∴4CD PD =，故C 结论正确； ∵EG x =，2FG x =， ∴5EF x =， ∵25
5
FH FD x ==， ∵65
5BC x =
， ∴35
5
AE x =，
作HQ AD ⊥于Q ， ∴HQ AB ∥，
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∴HQ HF AE EF =，即25
53555
x
HQ x
x =， ∴65
25
HQ x =，
∴6565245
52525
CD HQ x x x -=-=，
∴245
610
25cos 2522CD HQ HCD CF x
-===
∠，故结论D 错误， 故选：D ．
根据勾股定理可判断A ；连接CF ，作FG EC ⊥，易证得FGC △是等腰直角三角形，设
EG x =，则2FG x =，
利用三角形相似的性质以及勾股定理得到2CG x =，3EC x =，BC x =， FD x =，即可
证得3FD AD =，可判断B ；根据平行线分线段成比例定理可判断C ；求得
cos HCD ∠可判断D ．
【考点】正方形的性质，三角形全等的判定和性质三角形相似的判定和性质，勾股定理
的应用以及平行线分线段成比例定理，作出辅助线构建等腰直角三角形是解题的关键．
第Ⅱ卷
二．填空题 13．【答案】9-
【解析】解：9的相反数是9-； 故答案为9-；
根据相反数的求法即可得解；
【考点】考查相反数；熟练掌握相反数的意义与求法是解题的关键． 14．【答案】0.000 031 8
【解析】解：53.18100.000 031 8-⨯=； 故答案为0.000 031 8；
根据科学记数法的表示方法1019n
a a ⨯≤<（）
即可求解； 【考点】科学记数法；熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键． 15．【答案】°142 【解析】解：如图， ∵a b ∥， ∴23=∠∠， ∵°13180+=∠∠， ∴°°°218038142=-=∠． 故答案为°142．
如图，利用平行线的性质得到23=∠∠，利用互补求出2∠，从而得到3∠的度数．． 【考点】平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直
线平行，内错角相等． 16．【答案】
2
3
【解析】解：随机掷一枚均匀的骰子有6种等可能结果，其中点数不小于3的有4种结
果，
所以点数不小于3的概率为42=63
， 故答案为：
2
3
． 骰子六个面出现的机会相同，求出骰子向上的一面点数不小于3的情况有几种，直接应
用求概率的公式求解即可．
【考点】概率的求法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事
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件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率()
m
P A n
=．
17．【答案】2
3
【解析】解：连接AB ，过O 作OM AB ⊥于M ，
∵°
120AOB ∠=，OA OB =， ∴°30BAO ∠=，3AM =， ∴2OA =，
∵
1202180r π
π=， ∴23
r =
故答案是：2
3
利用弧长=圆锥的周长这一等量关系可求解．
【考点】本题考查了勾股定理、平面直角坐标系内点的坐标弧长公式和圆的周长公式，
建立准确的等量关系是解题的关键． 18．【答案】4
【解析】解：①∵(1,0)-，(3,0)和(0,3)坐标都满足函数2||23y x x =--，∴①是正确的； ②从图象可知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线1x =，因
此②也是正确的；
③根据函数的图象和性质，发现当11x -≤≤或3x ≥时，函数值y 随x 值的增
大而增大，因此③也是正确的；
④函数图象的最低点就是与x 轴的两个交点，根据0y =，求出相应的x 的值为
1x =-或3x =，因此④也是正确的；
⑤从图象上看，当1x -＜或3x ＞，函数值要大于当1x =时的
223||=4y x x =--，因此⑤时不正确的；
故答案是：4
由(1,0)-，(3,0)和(0,3) 坐标都满足函数223||=4y x x =--，∴①是正确的；从图象可
以看出图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线x=1，②也是正确的； 根据函数的图象和性质，发现当11x -≤≤或3x ≥时时，函数值y 随x 值的增大而增大，
因此③也是正确的；函数图象的最低点就是与x 轴的两个交点，根据0y =，求出相应的x 的值为1x =-或3x =，因此④也是正确的；从图象上看，当1x -＜或3x ＞，函数值要大于当1x =时的223||=4y x x =--，因此⑤时不正确的；逐个判断之后，可得出答案．
理解“鹊桥”函数2||23y x x =--的意义，掌握“鹊桥”函数与2||y x bx c a =++与二次
函数2x c a y x b =++ 之间的关系；两个函数性质之间的联系和区别是解决问题的关键；二次函数2x c a y x b =++与x 轴的交点、对称性、对称轴及最值的求法以及增减性应熟练掌握．
【考点】二次函数轴2x c a y x b =++与x 的交点、对称性、对称轴及最值的求法以及增减
性应熟练掌握． 三、解答题
19．【答案】解：(1)原式1
21442
=-+-⨯ 2142=-+- 3=；
(2)解不等式622(4)x x --＞，得：32
x ＞-，
解不等式
23323
x x --≤，得：1x ≤， 则不等式组的解集为3
12
x -<≤，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
【解析】(1)先计算算术平方根、零指数幂、负整数指数幂、代入三角函数值，再计算乘
法，最后计算加减可得；
(2)分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、
大大小小无解了确定不等式组的解集．
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评分说明第(1)题，与“去括号法则用错”等同的说法均给分．
【考点】解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；
同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 20.【答案】解：如图，
DEF △即为所求．
【解析】先作一个D A =∠∠，然后在D ∠的两边分别截取ED BA =，DF AC =，连接
EF 即可得到DEF △；
解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图
拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定．
【考点】作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了
几何图形的性质和基本作图方法． 21．【答案】解：(1)由已知可得5AD =， ∵菱形ABCD ， ∴(6,0)B ，(9,4)C ， ∵点(4,4)D 在反比例函数(0)k
y x x
=>的图象上， ∴16k =，
将点(9,4)C 代入2
3
y x b =+，
∴2b =-； (2)(02)E -，， 直线2
23y x =-与x 轴交点为(3,0)， ∴1
22462
AEC
S =⨯⨯+=△（）； 【解析】(1)由菱形的性质可知B ∴(6,0)B ，(9,4)C ，
点(4,4)D 代入反比例函数k y x =，求出k ；将点(9,4)C 代入2
3
y x b =+，求出b ；
(2)求出直线 2y x =-与x 轴和y 轴的交点，即可求AEC △的面积；．
【考点】反比例函数、一次函数的图象及性质，菱形的性质；能够将借助菱形的边长和
菱形边的平行求点的坐标是解题的关键． 22．【答案】(1)10 25
0.25
(2)
(3)123
25009010010
⨯
⨯=(人) 【解析】解：(1)1000.110a =⨯=，1001018351225b =----=，25
0.25100
n ==； 故答案为：10，25，0.25； (2)补全频数分布直方图如图所示；
(3)123
25009010010
⨯
⨯=(人)， 答：全校获得二等奖的学生人数90人． (1)利用×这组的频率即可得到结论；
(2)根据(1)求出的数据补全频数分布直方图即可；
(3)利用全校2 500名学生数×考试成绩为91100x ≤≤考卷占抽取
了的考卷数×获得二等奖学生人数占获奖学生数即可得到结论．
解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程的知识解答，这是一道典型的
增长率问题．
【考点】一元二次方程的应用．
23．【答案】解：(1)设这两年藏书的年均增长率是x ，
25(1)7.2x +=，
解得，10.2x =，2 2.2x =-(舍去)，
数学试卷 第19页（共24页） 数学试卷 第20页（共24页）
答：这两年藏书的年均增长率是20%；
(2)在这两年新增加的图书中，中外古典名著有(7.25)200.44-⨯=%(万册)， 到
2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分比是：
(5 5.60.44)
100107.2
⨯+⨯=%%%，
答：到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的10%．
【解析】(1)根据题意可以列出相应的一元二次方程，从而可以得到这两年藏书的年均增
长率；
(2)根据题意可以求出这两年新增加的中外古典名著，从而可以求得到2018年底中外古
典名著的册数占藏书总量的百分之几． 提示：(1)根据题意作出圆弧；
(2)根据轴对称图形和中心对称图形的概念进行判断； (3)根据弧长公式求出三条弧的长度的和即可．
【考点】本题考查基本作图一一作弧、轴对称图形和中心对称图形的概念、扇形的弧长． 24．【答案】(1)证明：∵在矩形ABCD 中，°90ABO OCE ==∠∠， ∵OE OA ⊥， ∴°90AOE =∠，
∴°90BAO AOD AOB COE ====∠∠∠∠， ∴BAO COE =∠∠， ∴ABO OCE △∽△， ∴
AB AO
OC OE
=
， ∵OB OC =， ∴
AB AO
OB OE
=
， ∵°90ABO AOE ==∠∠， ∴ABO AOE △∽△， ∴BAO OAE =∠∠， 过O 作OF AE ⊥于F ，
∴°90ABO AFO ==∠∠，
在ABO △与AOE △中，BAO FAO
ABO AFO AO AO =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
∠∠∠∠，
∴ABO AFO △≌△()AAS ， ∴OF OB =，
∴AE 是半圆O 的切线；
(2)解：∵AF 是O 的切线，AC 是O 的割线， ∴2 AF AP AC =， ∴2(24)23AF =+=， ∴23AB AF ==， ∵6AC =， ∴2226BC AC AB =-=，
∴22=3AO AB OB =
+，
∵ABO AOE △∽△，
∴
AO AB
AE AO =
， ∴323=3
AE ， ∴33
2
AE =．
【解析】(1)根据已知条件推出ABO OCE △∽△，根据相似三角形的性质得到
BAO OAE =∠∠，过O 作OF AE ⊥于F ，根据全等三角形的性质得到OF OB =，于是得到AE 是半圆O 的切线； (2)根据切割线定理得到2(24)23AF =+=，求得23AB AF ==，根据勾股定理得
到2226BC AC AB =-=，22=3AO AB OB =+，根据相似三角形的性质即可得
到结论．
【考点】切线的判定和性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判
定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 25．【答案】解：(1)函数表达式为：2(+4)3y a x =+， 将点B 坐标代入上式并解得：12
a =-
，
数学试卷 第21页（共24页） 数学试卷 第22页（共24页）
故抛物线的表达式为：21452
y x x =-+-； (2)(4,3)A 、(0,5)B -，则点(2,1)M -， 设直线AB 的表达式为：5y kx =-，
将点A 坐标代入上式得：345k =-，解得：2k =， 故直线AB 的表达式为：25y x =-； (3)设点(4,)Q s 、点21(,45)2
P m m m -+-， ①当AM 是平行四边形的一条边时，
点A 向左平移2个单位、向下平移4个单位得到M ，
同样点21(,45)2
P m m m -+-向左平移2个单位、向下平移4个单位得到(4,)Q s ， 即：24m -=，2145=2
m m s -+-， 解得：6m =，3s =-，
故点P 、Q 的坐标分别为(6,1)、(4,3)-； ②当AM 是平行四边形的对角线时，
由中点定理得：424m +=+，21
3145+2
m m s -=-+-，
解得：2m =，1s =，
故点P 、Q 的坐标分别为(2,1)、(4,1)；
故点P 、Q 的坐标分别为(6,1)或(2,1)、(4,3)-或(4,1)．
【解析】(1)函数表达式为：2(+4)3y a x =+，将点B 坐标代入上式，即可求解； (2)(4,3)A 、(0,5)B -，则点(2,1)M -，设直线AB 的表达式为：5y kx =-，将点A 坐标
代入上式，即可求解；
(3)分当AM 是平行四边形的一条边AM 是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即
可．
【考点】二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图象的面积计算等，
其中(3)，要主要分类求解，避免遗漏． 26．【答案】(1)①解：旋转角为°105． 理由：如图1中，
∵A D AC '⊥， ∴°90A DC '=∠， ∵°15CA D '=∠， ∴°75A CD '=∠， ∴°105ACA '=∠， ∴旋转角为°105．
②证明：连接A F '，设EF 交CA '于点O ．在EF 时截取EM EC =，连接CM ． ∵°°°451560CED A CE CA E ='+'=+=∠∠∠， ∴°120CEA '=∠， ∵FE 平分EA C '∠， ∴°60CEF FEA ='=∠∠ ， ∵°°°°180457560FCO =--=∠， ∴FCO A EO ='∠∠，∵FOC AOE ='∠∠， ∴FOC A OE '△∽△，
∴
'OF OC
A O OE =
， ∴OF A O OC OE
'=， ∵COE FOA ='∠∠， ∴COE FOA '△∽△， ∴°60FA O OEC '==∠∠， ∴A OF '△是等边三角形，
∴CF CA A F ='='，
数学试卷 第23页（共24页） 数学试卷 第24页（共24页）
∵EM EC =，°60CEM =∠， ∴CEM △是等边三角形，
°60ECM =∠，CM CE =，
∵°60FCA MCE '==∠∠， ∴FCM A CE '=∠∠， ∴()FCM A CE SAS '△≌△， ∴FM A E ='，
∴CE A E EM FM EF +'=+=．
(2)解：如图2中，连接A F '，PB '，AB '，作B M AC '⊥交AC 的延长线于M ．
由②可知，°75EA F EA B '='''=∠，A E A E '='，A F A B '=''， ∴A EF A EB '''△≌△， ∴EF EB ='，
∴B '，F 关于A E '对称， ∴PF PB ='，
∴PA PF PA PB AB +=+'≥'，
在Rt CB M '△
中，2CB BC '===，°30MCB '=∠， ∴1
12
B M CB '='=
，CM =
∴AB '∴PA PF +
【解析】①解直角三角形求出A CD '∠即可解决问题．
②连接A F '，设EF 交CA '于点O ．在EF 时截取EM EC =，连接CM ．首先证明CFA '
△是等边三角形，再证明()FCM A CE SAS '△≌△，即可解决问题．
(2)如图2中，连接A F '，PB '，AB '，作B M AC '⊥交AC 的延长线于M ．证明
A EF A E
B '''△≌△，推出EF EB ='，推出B '，F 关于A E '对称，推出PF PB ='，
推出PA PF PA PB AB +=+'≥'，求出AB '即可解决问题．
【考点】四边形综合题，旋转变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性
质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．。