柯西积分公式和高阶导数公式

1 1 1 ∫| = 1 z4 −1 d z =z −1∫| = 1 (z2 +1)(z +1) ⋅ z −1 d z | z −1 | 1 内包含 而函数 2 圆周 在 (z +1)(z +1)
内解析， 内解析， 所以
| z −1 | = 1
∫
1 1 1 d z = 2π i ⋅ 2 |z =1 = 2πi 4 z −1 (z +1)(z +1)
3 2 例6 证明 u (x, y) = y − 3x y 为调和函数， 为调和函数， 并求其共轭
调和函数 v (x, y) 和由它们构成的解析函数. 和由它们构成的解析函数 解：
所以
即 u (x, y) 为调和函数 为调和函数.
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由
得
所以 又由 即 因此 得解析函数
内包含
圆周
f (z) = e z + z 2 在 而函数
f ′(z) = e z + 2z , f ′′(z) = e z + 2 , 内解析， 内解析， f ′′(z) = e z , 所以
e +z 2π i eπ i 2π i dz = ⋅e = ⋅ f ′′′(1) = 4 (z −1) 3! 3 3!
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得， 故
例7 已知一调和函数 v ( x, y) = e ( y cosy + x sin y) + x + y
x
求一解析函数 f (z) = u + iv, 使 f (0) = 0. 解：
得
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由
得，
即 因此 得解析函数
故
+ i [e ( y cosy + x sin y) + x + y]
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例3 计算积分 解：
∫
3 2
| z −2i | = iz
ei z dz . 2 z +1 e 1 ⋅ dz z +i z −i
e 而函数 在 z +i
−1
iz
∫
| z −2i | = 3 2
e dz = ∫ 2 z +1
iz
| z −2i | =
3 2
圆周
内包含 所以 内解析， 内解析，
内的调和函数， 定义： 设 定义： u ( x, y), v (x, y) 都是 D 内的调和函数， 且满足柯西 - 黎曼方程 则称 u ( x, y), v ( x, y) 是共轭调和函数. 共轭调和函数
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定理： 内解析的函数， 定理： 任何在区域 D 内解析的函数，它的实部和 虚部都是 D 内的调和函数 内的调和函数.
z
其中
∫
| z −i | = 1 2
e dz = ∫ 2 2 (z +1)
z
|z − i | =
′ i i (−1− i) e −π i (1+ i) e 2π i e = ⋅ |z = i = 2πi ⋅ 4 = 2 1! (z + i)2
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1 2
−π i (1+ i) e π i (−1+ i) e −i 原积分 = + 2 2
i
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三、调和函数 内具有二阶连续偏导数， 定义： ϕ ( x, y) 在区域 D 内具有二阶连续偏导数， 定义： 设 并且满足拉普拉斯方程 为区域 内的调和函数 内的调和函数. 调和函数 那么称
第三章
第三节 柯西积分公式和高阶 导数公式
一、柯西积分公式 二、高阶导数公式 三、调和函数
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一、柯西积分公式 设 是正向简单闭曲线， 是正向简单闭曲线， 内一点， 内一点， 则 在 上及其内部 上及其内部
解析， 解析， 是
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二、高阶导数公式 设 是正向简单闭曲线， 是正向简单闭曲线， 内一点， 内一点， 则 在 上及其内部 上及其内部
解析， 解析， 是
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公式
常用于计算积分： 常用于计算积分：
这两个积分的被积函数分别为： 这两个积分的被积函数分别为：
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例1 计算积分 解：
| z −1 | = 1
∫
1 dz . 3 z −1
| z −1 | = 1
∫
1 1 1 ⋅ dz dz = ∫ 2 3 z + z +1 z −1 z −1 | z −1 | = 1
内包含 内解析， 内解析， 所以
圆周
1 而函数 2 在 z + z +1
| z −1 | = 1
∫
1 2 1 d z = 2π i ⋅ 2 |z =1 = 3πi 3 z −1 z + z +1
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例2 计算积分 解：
| z −1 | = 1
∫
1 dz . 4 z −1
e 1 ⋅ dz 2 2 (z + i) (z − i)
∫
| z+ i | = 1 2
e dz = 2 2 (z +1)
z
z
∫
1 2
|z + i | =
e 1 ⋅ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱdz 2 2 (z − i) (z + i)
z
′ −i −i π i (−1+ i) e (−1+ i) e 2π i e = = 2π i ⋅ = ⋅ 2 |z = − i 2 4 1! (z − i)
∫
| z −2i | = 3 2
e π e e d z = 2π i ⋅ |z =i = 2π i ⋅ 2i = e 2 z +1 z +i
iz iz
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例4 计算积分 解：
|z|=2 z 2
|z|=2
∫
e +z dz . 4 (z −1)
z 2
∫
1 e +z z 2 dz d z = ∫ (e + z ) ⋅ 4 4 (z −1) (z −1) |z|=2
x
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即 由 f (0) = 0 得， c = 0, 所以
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z 2
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|z|=2
∫
例5 计算积分 解：
|z|=2
|z|=2
z
∫
e dz . 2 2 (z +1)
e dz + 2 2 (z +1)
z
z
z
∫
e dz = 2 2 (z +1)
∫
1 2
∫
|z + i | = 1 2
| z −i | = z
e dz 2 2 (z +1)