用导数方法解决参数和函数零点技巧专题
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用导数方法解决参数和函数零点技巧专题
一．参变分离
1. 注意分离后的函数是否严格单调
2. 注意定义域上是否取遍
3. 严格单调且定义域取遍用端点效应
二．端点效应
比较适用于恒成立问题，那么区间的端点也一定满足恒成立要求 1. 优先论证函数严格单调
2. 在区间左右端至少能找一点满足题干
3. 不到万不得已不要取无穷远端
注：一旦定义域完全为开区间，要么丢失此法，要么洛必达开始论述，要么证明函数严格单调并证函数值大于（小于）端点值 【例1】
方法1：参变分离 方法2：端点效应
解：
（我们可以看到函数要非负一定要增，也可能又增又减出现极小值） （这就是函数增的一个条件）
2)('2
2)0(')('0
)('0,0)(0
)0(0,0)(≥+-+=≤∴≥-=-+=≥∀≥=∀≥---e e a e e x f a a f a
e e x
f x f x x f f x x f x x x x x x 充分性：恒成立的必要条件为又恒成立φφΘ的取值范围恒成立，求，使得，其中a x f x ax e e x f x x 0)(0)(≥∀--=-φ
（这就是函数值非负的必要条件，我们仅考虑的是函数严格递增的条件） （现在我们论证一下函数是否在此条件下单调增）
显然我们应有此方法成立的充要条件是函数严格单调，我们考虑的端点并不是整个定义域的增减趋势，但是从0开始函数值一定要单调增，否则恒成立失效。于是才有导函数在0处也非负，我们就得到a 的一个大致范围，通过这个大致范围作为已知条件验证其充分性。
【注】：充分性验证时一旦出现导函数有小于0的情况，表示函数不单调，则在必要性的条件下研究函数的最值。
【思考1】的取值范围，求有，a x f x ax e ax x f x
0)(,01
)1()(≥∀++-=φ
三：极值点偏移 我们分析一下二次函数： 0
2102121212
2),()()(,)(x x x x x f x f x x x x c bx ax x f =+=≠∃++=我们有是二次函数的对称轴，使得，
我们把
1）.构造：判断函数单调性确定两对称点的区间，分析法（传统艺能，不在论述）
)
()()(,.2)
2()()(,2.1)()(),(,),(2
20
210021212121x
x f x f x G x x x x x f x f x F x x x x f x f x x x x x f -=--=+=≠∃构造与构造与已知函数
2） 对数均值不等式2
2
22ln ln 112
b 0b a b
a b a b a ab b
a a ++--+π
πππππ，则若
)1()(0
2)11
(2211)('0)(,ln 21)()
1(ln 211ln ln ln 12ln ln 12ln ln 0=∴≥-=-+=--=-⇔∴=-⇔
--⇔
+--⇔+--f t f x x
x t f t f t t t t f t t t t b
a
t b
a
a b b a b a b a ab
b a b a b a ab
b
a b a b a ab b a φφφφφφφφ
φπ
π
φφ恒成立
只需证则令原式令①左边：要证不妨设证明： 称为极值点右偏。
称为极值点左偏，02102122x x x x x x πφ++为实际极值点
可视为理想极值点，0212
x x x +0
)1()(0)1()1()1(41)(0
)(),1(1
1
2ln )(1
12
ln ,111
2
ln 2ln ln 2
22'
=+-=+-=+--=+-⇔=+-⇔+--f t f t t t t t t f t f t t t t t f t t t b a t b
a b a
b a b a b a b a φφφφφφφφ故只需证则令则原式令②右边：
【例2】
【分析】这是一个极值点左偏的例题，并且含参，欲证不等式中不含参，我们需将参数消掉。
命题得证
由引理可得：两式相减得：两式相加得：，由题意得：引理得证。
故只需证则令则原式令证明：
引理：221212
1212121212121212
12
121212
12
121212
12
121212
111222'
2ln ln 2ln ln ln ln 2
ln ln ln ln ln ln ln ln )-(ln -ln ln ln )(ln ln ln ln 0)1()(0
)1()1()1(41)(0
)(),1(1
1
2ln )(1
12
ln ,111
2ln 2ln ln 2ln ln e x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x a x x a x x x x x x a x x a x x ax x ax x f t f t t t t t t f t f t t t t t f t t t b a t b
a b
a b a
b a b a b a b
a b a b a φφφ
φ
φφφφφφφφφ
∴+∴+++=--∴
+----=
++∴
--=⇒=++=⇒+=+===+-=+-=+--=+-⇔=+-⇔+--+--
2
2121,ln )(e x x x x ax x x f φ，证明的两个零点为-=