两个随机变量的函数的分布课堂

1 dx ? 2? z
z?1
于是
? z , 0 ? z ? 1,
fZ
?z??
? ?
2
?
z
,1
?
z
?
2,
??0 , 其它.
2
z 1 z O zz ?11
z? x x
例5 若X和Y 是两个相互独立的随机变量 , 具 有相同的分布 N(0,1) , 求 Z=X+Y 的概率密度 .
解 由卷积公式
?
? fZ (z) ? ?? fX ( x) fY (z ? x)dx
一、Z ? X ? Y 的分布
例1 若 X、Y 独立，P(X=k)=ak , k=0 , 1 , 2 ,…, P(Y=k)=bk , k=0,1,2,… ,求 Z=X+Y 的概率函数 .
解 P(Z ? r) ? P(X ? Y ? r)
r
? ? P (X ? i,Y ? r ? i) i?0 r
? ? P ( X ? i)P (Y ? r ? i) i?0
? P ?X ? Y ? z?
0
? ??f ( x, y)dxdy D
这里积分区域 D={(x, y): x+y ≤z}
它是直线 x+y =z 及其左下方的半平面 .
x x? y? z
y
FZ (z) ? ??f ( x, y)dxdy
x? y? z
y
化成累次积分 ,得
? z? y
0
? ? FZ (z) ?
2 1
),Y
~
N
(? 2 ,?
2 2
),
结论又如何呢 ?
用类似的方法可以证明 :
Z
?
X
?Y
~
N(?1
?
?
2
,?
wenku.baidu.com2 1
?
?
2 2
)
此结论可以推广到 n个独立随机变量之和的情形 , 请自行写出结论 .
更一般地, 可以证明 :
有限个独立正态变量的线性组合仍然服从正态 分布. 即
若 Xi :
N
(?
i
,?
2 i
例4 若 X 和Y 独立, 具有共同的概率密度
f
( x)
?
?1, ??0,
0? x?1 其它
求 Z=X+Y 的概率密度 .
解 由卷积公式
?
? fZ (z) ? ?? fX ( x) fY (z ? x)dx
为确定积分限 ,先找出使被积函数不为 0 的区域
? 0? x?1 ??0 ? z ? x ? 1
[
??
??
f ( x, y)dx]dy
x x? y? z
固定z和y,对方括号内的积分作变量代换 , 令 x=u-y,
得
?z
? ? FZ (z) ?
[
??
f (u ? y, y)du]dy
??
z?
变量代换
? ? ?
[
f (u ? y, y)dy]du
?? ??
交换积分次序
z?
? ? FZ (z) ?
特别地，当 X 和 Y 独立，设 (X,Y) 关于 X , Y 的边 缘密度分别为 fX(x) , fY(y) , 则上述两式化为 :
?
? ? fZ ( z) ? ?? fX ( z ? y) fY ( y)dy
? ?
?
fZ ( z) ?
? ??
fX ( x) fY(z ? x)dx
卷积公式
下面我们用卷积公式来求 Z=X+Y的概率密度 .
),
i
?
1,2,L
, n 相互独立，则
n
n
n
? ? ? ki Xi : N(
ki ? i ,
ki2?
2 i
)
i ?1
i?1
i?1
二、Z=Y\X, Z=XY的分布
设(X,Y)的概率密度为 f(x,y)，则Z=Y\X的密
? ? 1
? ? x2
? ?z? x ?2
e 2 ?e 2 dx
2π ??
? ? 1
?
? z2
e2
?e ? ( x2 ? zx)dx
2π ??
? ?
1
? z2
e4
? ? ( x? z )2
e 2 dx
2π
??
? ?
1 ? z2 e4
? ? ( x? z )2
e 2 dx
2π
??
令 t ? x? z, 得 2
也即
? 0? x?1 ??z ? 1 ? x ? z
?
? fZ ( z) ? ?? fX ( x) fY(z ? x)dx
故 当 z ? 0 或 z ? 2 时 , fZ ?z?? 0.
当0 ? z ? 1时 ,
暂时固定
? fZ ?z??
z
dx ? z
0
z? x?1
当 1 ? z ? 2时 ,
z
? fZ ?z??
由独立性 =a0br+a1br-1+…+arb0 r=0,1,2, …
例2 若 X 和 Y 相互独立 ,它们分别服从参数为 λ1 , λ2 的泊松分布 , 证明Z=X+Y服从参数为 λ1 ? λ2 的泊松分布 .
解 依题意
P(X
?
i) ?
? e ? ?1 i 1
i=0,1,2,…
i!
P (Y ?
j) ?
? ? ? fZ
z
?
1
? z2
e4
2π
? e? t2 dt ?
1
? z2
e4
?
??
2π
π
? z2
?
1
e 2?? 2?2
2π ? 2
可见 Z=X+Y 服从正态分布 N(0,2).
?
若X和Y 独立 , 具有相同的分布 N(0,1) , 则Z=X+Y 服从正态分布 N(0,2).
若X和Y 独立,
X
~
N
(?1,?
? e ? ?2 j 2
j=0,1,2,…
j!
于是
r
P (Z ? r) ? ? P (X ? i,Y ? r ? i) i?0
r
P(Z ? r) ? ? P(X ? i,Y ? r ? i) i?0
??
? r
i
e-?1 1 ?e-?2
? r-i 2
i?0
i!
(r -i)!
? ?
e? (?1 ? ?2 ) r!
[
??
f (u ? y, y)dy]du
??
由概率密度与分布函数的关系 , 即得Z=X+Y的概率
密度为 :
? fZ
( z)
?
F
' Z
(z)
?
? ??
f (z ? y, y)dy
由X和Y的对称性 , fZ (z)又可写成
? fZ
(z)
?
F
' Z
(z)
?
? ??
f (x, z ? x)dx
以上两式即是 两个随机变量和的概率密度的一般公式 .
第五节 两个随机变量的函数的分布
Z=X+Y的分布 Z=Y\X及Z=XY的分布 M=max( X,Y)及N=min( X,Y)的分布 课堂练习
在第二章中，我们讨论了一维 随机变量函数的分布，现在我们进一 步讨论:
当随机变量 X, Y 的联合分布已知时，如何
求出它们的函数
的分布?
Z = g ( X, Y )
r i?0
r! i!(r -i)!
?
?i r-i
12
?
e? (?1 ? ?2 ) r!
(?1 ?
?2 )r ,
r=0,1,…
即Z服从参数为 λ1 ? λ2 的泊松分布 .
例3 设X和Y的联合密度为 f (x,y) , 求 Z=X+Y 的概率密度 .
解 Z=X+Y的分布函数是 :
y
FZ ?z?? P ?Z ? z?