一维无限深势阱

aa
能量
En

n2
h2 8ma2
讨论：
19.8 一维无限深势阱
(1) 粒子能量量子化
Ep
能
量
En

n2
h2 8ma2
o ax
基态 能量
E1

h2 8ma 2
,
(n 1)
激发态能量
En
n2
h2 8ma 2
n2E1,
(n 2,3,)
一维无限深势阱中粒子的能量是量子化的 .
19.8 一维无限深势阱
k
8π 2 mE h2
E

n2
h2 8ma2
19.8 一维无限深势阱
(x) Asin kx
Ep
k nπ , n 1,2,3, a
(x) Asin nπ x
a
o ax
归一化条件



2
dx

0a
*dx

1
A2 a sin2 0
nπ a
xdx
1
A 2 a
19.8 一维无限深势阱
粒子势能 Ep满足条件
Ep
Ep
0, 0 x a Ep , x 0,x a
o ax
(1)是固体物理金属中自由电子的简化 模型；
(2)数学运算简单,量子力学的基本概念、 原理在其中以简洁的形式表示出来 .
Ep , x 0, x a
0, (x 0,x a)
Ep 0, 0 x a
d2
dx2

8π h2 2mE

0
d2
dx2
k 2

0
19.8 一维无限深势阱
Ep
o ax
8 π2 mE k
h2
d2
dx2

k 2

0
19.8 一维无限深势阱
Ep
(x) Asin kx Bcoskx
(x) Asin nπ x

a
n
n4
(x) 2 2 sin 2 nπ x
a
a
Baidu Nhomakorabean 2
16E1
n3
n2 n 1
x0
a x0
9E1
4E1 E1
a
Ep 0
o ax
波函数的标准条件：单值、有限和连续 .
x 0, 0,B 0
(x) Asin kx
x a, Asin ka 0 sin ka 0
19.8 一维无限深势阱
Ep
sin ka 0, ka nπ
o ax
k nπ , n 1,2,3, 量子数 a
19.8 一维无限深势阱
(x) 2 sin n π x , (0 x a)
aa
波动方程
d 2
dx 2

8
π2 mE h2

0
波函数
(x)
0, (x 0, x a)
2 sin n π x, (0 x a) aa
19.8 一维无限深势阱
概率密度 (x) 2 2 sin2 nπ x
(2) 粒子在势阱中各处出现的概率密度不同
波函数
(x) 2 sin nπ x
aa
概率密度
(x) 2 2 sin2 ( nπ x)
aa
例如,当 n =1时,粒子在 x = a /2处出现的 概率最大
19.8 一维无限深势阱
(3) 波函数为驻波形式,阱壁处为波节,波腹 的个数与量子数 n 相等