利用定积分求曲线围成的面积

12.9利用定积分求曲线围成的面积
武汉外国语学校
汪家硕
•复习回顾:
b 1.定积分的几何意义：当f(x)_O 时，积分 f(x)dx 在几何上表示由y = f(x)、x = a 、x =b _a 与x 轴所围成的曲边梯形的面积。

当f(x)空0时，由y 二f(x)、x 二a 、x 二b 与x 轴所围成的曲边梯形位于x 轴的下方。

2.牛顿一莱布尼茨公式
定理(微积分基本定理)如果f (x)是区间［a, b ］上的连续函数，并且F (x)= f (x)，则 二•曲线围成的面积
1.设f 和g 是区间［a,b ］上的连续函数且对任意的［a,b ］有f(x) —g(x)，则直线x = a 和直
线x =b 以及曲线间围成的面积可以表示为：
b b b
J f(x)dx —a g(x)dx=J f(x)—g(x)dx a a a 例1求抛物线y =x 2和直线y =2x 所围成的区域面积。

例2.计算曲线y =X 2 • 1和y =4 -X 2，以及直线x =1和x - -
1所围成的区域面积
解：所求面积=
例2
解：先求出P 点坐标 解方程组 P 点的坐标是(2,4) 所求的面积=
2x -x 2dx 二 x 2 0 - A
0 a b
2.前面的例题都是一个曲线总在另外一个曲线的上方,
它们交叉会是什么结果？
考虑区间［a’CiHcitLGqHob］，阴影部分面积可以表示为: 例3:求f(x) =x3和g(x)二x所围成的圭寸闭区域面积
解：当f(x)=g(x)时图像的交点，
即x3 = x 二f - x 0 : (x 2x 1) £
例4:求阴影部分的面积
练习：
1.求阴影部分面积例3例4。