(-数学建模)排队论模型

排队论模型
朱建青 （苏州科技学院信息与计算科学系）
排队论模型
一、排队论的基本概念 二、单通道等待制排队问题
（M／M／1排队系统） 三、多通道等待制排队问题
（M／M／c排队系统）
一、排队论的基本概念
（一）排队过程 1.排队系统
“排队”是指在服务机构处要求服务对象的一个等 待队列，而“排队论”则是研究各种排队现象的理论。
常用的记号：M——负指数分布；D——确定型；Ek—— k阶爱尔朗（Erlang）分布；GI——一般相互独立的随 机分布，G——一般随机分布。这里主要讨论M／M／ 1，M／M／C。
2.排队模型的数量指标
(1)队长
队长是指系统中的顾客数(包括排队等候和正在 接受服务的顾客数)；等待队长是指系统中等待服务 的顾客数。无论是队长还是等待队长，都是顾客和 服务机构最关心的数量指标，特别是对系统设计者 来说，尤为重要，因为它涉及到系统等待空间的大 小。
顾客源
到来
排队机构
服务规则
服 离去 务 机 构
排队系统
在排队论中，我们把要求服务的对象称为“顾 客”，而将从事服务的机构或人称为“服务台”。 在顾客到达服务台时，可能立即得到服务，也可 能要等待到可以利用服务台的时候为止。
排队系统中的“顾客”与“服务台”这两个名词 可以从不同的角度去理解。
排队系统
t
t
即在t时间内，事件发生多于1次的概率为 o(。t)
定理1设 x(t) :t是 0最 简单流，则对任何 和a 0 t 0 都有 Prx(a t) x(a) k (k)k et (k 0,1,2,)
k!
我们把满足这一分布规律的随机过程 x(t) :t 0
称为Poisson过程，最简单流亦称Poisson流，特别
(2)排队规则
排队规则是指到达的顾客以怎样的规则接受服务。 1）损失制：顾客到达，服务台不空立即离去，另 求服务。 2）等待制：顾客到达，排队等待。对等待制服务 可分为：先到先服务，后到先服务，优先服务，随机 服务，成批服务等。 3）混合制：在现实生活中，很多服务系统介于损 失制和等待制之间，当顾客到达时，服务台不空就排 队，若排队的位置已满就离去。
从而级数
(
必)n须收敛，故有
n0
，pn 1
n0
。 1
记 为 排 队系统的来往强度，当
时1 ，由 p可n 得1 n0 pn n (1 ) n 0,1,2,
M／M／1／∞系统的数量指标
(1)稳定状态下系统中顾客数的数学期望的定义为
L npn n0
被称为系统中顾客的平均数，简称平均队长。
1
q
1
1
( )
Little公式
L与, Lq 是衡,量q 排队系统质量的很重要的效率度量， 它们之间有着有趣的联系：
L 上式称为Little公式。
Lq q
对M／M／1／∞排队系统，它有着明显的直观
意义：从平均意义来说，L 表明系统中的顾客数，
等于一个顾客在系统时间内来到的新的顾客数；
当 时t 有0
p0(t) p0 (t) p1(t)
对 n1
pn (t t) pn1(t)t pn (t)(1 t)(1 t) pn1(t)t o(t)
pn (t) pn1(t) ( ) pn (t) pn1(t)
故pn (t满)足的微分方程组
pn (t) pn1(t) ( ) pn (t) pn1(t)
顾客数状况，与过去时刻
t1,时t2顾,客,数tn的2 状况无
关。这个特性就是随机过程
x(t) : t 0
的Markov特性。
我们把系统在某一时刻的顾客数看做系统在这个
时刻的状态。根据系统状态 x的(t)Markov特性，容
易研究在时间区间 (t,t 内t)系统状态的转移概率，为
研究系统在任一时刻的状态分布提供工具。
中的顾客数。
对于任何 0 t1 t条2 件概 t率n
Pr x(tn ) in x(t1) i1, x(t2 ) i2,, x(tn1) in1
由于输入为Poisson流，服务时间服从负指数分布，
则无论x(t)在 t1,t2,处,tn取何值，上式条件概率仅依赖于
的值和x(t区n1 )间
Pr(t,内t 多于t) 一名顾客进入 Pr(t,t内没t有) 顾客离开
o(t) et 1 t o(t)
Pr(t,t内有t一) 名顾客离开
tet t o(t)
Pr(t,内t 多t于) 一名顾客离开
o(t)
导出 pn (满t)足的微分方程组
p0(t t) p0(t)(1 t) p1(t)t(1 t) o(t) p0 (t t) p0 (t) p0 (t)t p1(t)t o(t)
Lq 表明q 系统中处于等待状态的顾客数，等于一个 顾客的等待时间内来到的新顾客数。
(3)稳定状态下忙期的数学期望
E (T忙 )
1
由此可见，一个忙期中所服务顾客的平均数为
E(T忙 )
1
1
例2（病人候诊问题）某单位医院的一个科室有一 位医生值班，经长期观察，每小时平均有4个病人， 医生每小时平均可诊断5人，病人的到来服从 Poisson流，诊病时间服从负指数分布，试分析该科 室的工作状况，如要求99%以上的病人有座，该科室 至少设多少座位?如果该单位每天24小时上班，病人 因看病1小时而耽误工作单位要损失30元，这样单位 平均损失多少元?如果该科室提高看病速度，每小时 平均可诊6人，单位每天可减少损失多少?可减少多少 座位?
上、下班的工人乘公共汽车 病人到医院看病 高炮击退敌机
机器发生故障需要维修
顾客
工人 病人 敌机 机器
服务台
公共汽车 医生 高炮 修理工
排队系统队列除了有形的还有无形的。
在上述顾客-服务台组成的排队系统中，顾客到来 的时刻与服务台进行服务的时间一般来说是随不同 的时机与条件而变化的，往往预先无法确定。因此， 系统的状态是随机的，故而排队论也称随机服务系 统。
1.最简单流与Poisson过程
记随机过程｛x（t）：t≥0｝为时间［0，t］内流 (事件)发生的次数，例如对于随机到来某电话交换台 的呼叫，以x（t）表示该交换台在［0，t］这段时间 内收到呼叫的次数；若是服务机构，可以用x（t）表 示该机构在［0，t］时间内来到的顾客数。
最简单流应 x(t) :t 具 0有以下特征称
(3)服务机构
服务机构主要指服务台的数目，多个服务台 进行服务时，服务方式是并联还是串联；服务 时间服从什么分布等。
（二）排队模型的分类及数量指标
1.排队模型的分类
D.G.Kendall引进了排队模型分类符号，现已广泛 采用，这里仅针对并列的服务台。
记X：顾客到达的时间间隔分布；Y：服务时间的分 布；Z：服务台数。则排队模型：X／Y／Z。
且仅当非负随机变量服从负指数分布时才具有。
例1 设某一服务系统的输入流是Poisson流，平均
每3分钟进入5名顾客，试计算：
(1)12分钟内进入15名顾客的概率；
(2)输入时间间隔大于1分钟的概率。
解(1)由于 ，5 在［0，t］内进入k名顾客的概率
3
Prx(t)
k
(k )k
et
(k 0,1,2,)
PrT t1 T t0 PrT t1 t0
上式可改写为：对任何 t0 ，0 都有
PrT t0 xT t0 PrT x
如果把T解释为寿命，上式表明：如果已知年龄大
于 岁t0，则再活x年的概率与以前的 (年t0)无关，所以
有时又风趣地称指数分布是“永远年轻”。 上面两式表明连续型随机变量T的Markov特性当
(3)忙期
忙期是指从顾客到达空闲服务机构起到服务机构再 次为空闲为止的这段时间，即服务机构连续繁忙的时 间长度。这是服务机构最关心的数量指标，因为它直 接关系到服务员的工作强度，与忙期相对应的是闲期， 即为服务机构连续保持空闲的时间长度。显然，在排 队系统中，忙期与闲期是交错出现的。
（三）Poisson流与指数分布
(2)逗留时间
逗留时间是指一顾客从进入系统起一直到接受服 务后离开系统为止所花费的时间；等待时间是指一 顾客从进入系统起到接受服务时所花费的时间。显 然，一个顾客的逗留时间等于其等待时间与接受服 务的时间之和。逗留时间与等待时间对顾客来说是 最关心的，因为每个顾客都希望自己用于排队等待 的时间愈短愈好。
2.排队系统的组成和特征
各式各样的排队现象呈现的基本特征：排队系统由 输入过程、排队规则及服务机构三部分组成。
(1)输入过程
输入过程就是顾客按怎样的规律到达，它首先应包 括顾客总体数，是有限的还是无限的；其次应说明顾 客到达的方式，是成批到达(每批数量是随机的还是确 定性的)还是单个到达；最后应说明相继到达的顾客 (或批或单个)之间的时间间隔的分布是什么。
p0
(t
)
p0
(t
)
p1
(t
)
n 1,2,
对于系统的稳定状态情形， pn (与t)t无关，
故 pn (t)， 0记
pn，从pn而(t)有
pn1 ( ) pn pn1 0 p0 p1 0
n 1,2,
对于上述差分方程，利用归纳法不难求得
pn
( )n
p0
由于 p构n成概率分布，则
取a 0 得
Prx(t) k (k)k et
k!
Ex(t) t
(k 0,1,2,)
故参数λ表示单位时间内事件发生次数的平均数。
2.Poisson流的发生时间间隔分布
当流(过程) x(t) :t 构0成Poisson过程时，就称为
Poisson流。设流发生的时刻依次为 t1,t2,,…,，tn
(1)流具有平衡性
对任何 a 和0 0 t1 t,2 tn x(a ti ) x(a)
的分布只取决于 t1,t2,而,t与n 无关a。
(2)流具有无后效性
(1 i n)
对互不交接的时间区间序列 ai ,bi (1 i， n)
x(bi ) 是x(a一i ) 组相互独立的随机变量。
(3)流具有普通性 lim Prx(a t) x(a) 1 0
于是12分钟内进入15k名! 顾客的概率
Prx(12) 15
1
(
5
12)15
512
e3
0.0516
15! 3
(2)由于输入时间间隔τ服从参数为λ的指数分布
Pr n
t
1 0
பைடு நூலகம்et
t0 t0
则所求概率为
Pr n
1
5
e3
0.1888
二、单通道等待制排队问题
（M／M／1排队系统）
对于单通道等待制排队问题主要讨论输入过程 为Poisson流，服务时间服从负指数分布，单服务 台的情形，即M／M／1排队系统。
2.排队系统的稳态解
记时刻t系统处于状态n的概率 Pn (t) Prx(t) n
利用M／M／1／∞对输入与服务时间分布的假设，在时
间区间 (t,t 内，t) 新进入或离开顾客个数有以下结果：
Pr(t,内t 没有t) 顾客进入
et 1 t o(t)
Pr(t,内t 新进t) 入一名顾客
tet t o(t)
（一）标准模型
即为M／M／1／∞排队系统。所谓标准模型， 就是顾客的输入流是参数为λ的Poisson流，每个 顾客的服务时间是相互独立的且服从参数为μ的负 指数分布，单个服务台且系统的容量无限(排队模 型分类第四个表示系统中允许的最大顾客数)。
1.系统的Markov特性
考虑随机过程 x(t) :t， 其0 中 为时x刻(t) 时排队系t 统
的长度(tn1,tn )，即
tn tn1
Pr x(tn ) in x(t1) i1, x(t2 ) i2,, x(tn1) in1
Pr x(tn ) in x(tn1) in1
直观地说，如果知道现在时刻 tn时1 系统的顾客数
状况，那么从概率意义上来说，将来时刻 时系tn 统的
L
npn
n
n
1
n0
n0
(1 )( n )
n0
1
稳定状态下系统中等待服务顾客数的数学期望，
简称平均等待队长。
2
Lq
(n 1) pn
n0
npn
n0
pn n0
1
可以证明，顾客在系统中逗留时间服从参数为μλ的负指数分布。
(2)顾客在系统中的平均逗留时间 则顾客在系统中的平均等待时间
发生的时间间隔记为 n tn tn1(n，1其,2,中) 。 t0 0
定理2 事件流 x(t) :为t P0oisson流的充要条件是
x(t) :t的 0流 发生时间间隔 相互 n独 立，且服从相同的
负指数分布，即
Pr n
t
1 0
et
t0 t0
3.负指数分布的Markov特性
定理3设T为连续型随机变量，且T≥0，那么，T服从 负指数分布的充要条件是：对任何 t1 t0， 都0 有