用傅里叶变换解偏微分方程(仅供借鉴)
微分,积分方程的傅里叶变换解法
微分,积分方程的傅里叶变换解法
《微分、积分方程的傅里叶变换解法》
一、什么是傅里叶变换解法
傅里叶变换解法是一种用于求解常微分方程组给出的正弦型初值问题的计算机算法。
它利用傅里叶变换技术来将原来求解的微分方程组换为一组更容易求解的积分方程组，从而节省求解时间，提高求解精度。
二、傅里叶变换的原理
傅里叶变换解法的基本原理是利用傅里叶变换把微分方程组转换为积分方程组，然后再用某种适当的数值积分方法（如Runge-Kutta 法）求解积分方程组。
微分方程组可以用通常的傅里叶变换形式来表示：
dX（t）/dt=A(t)X(t)+B(t)
其中，X(t)为待求的函数，A(t)和B(t)为任意可微函数。
使用傅里叶变换，可将上述方程组转换为如下积分方程：
X(t)=∫A(τ)X(τ)+B(τ)dτ
傅里叶变换解法主要用于求解给定的正弦型初值问题，即在一定时间段内的所有正弦波的和的初值问题。
三、傅里叶变换解法的应用
傅里叶变换可以用于求解微分方程组。
它能够有效地把常微分方程组转换为积分方程组，从而简化计算，提高计算精度。
傅里叶变换解法广泛应用于力学、电磁学和热学等领域，可以解
决许多非线性、非稳定系统的微分方程组。
它可以同时处理多元非线性微分方程，使解的精度显著提高。
第四章.积分变换法-求解偏微分方程
17
再将上式代入傅里叶逆变换，有
∫ ∫ δ (x − x ') = 1 ∞ f (k)eikxdk = 1 ∞ e−ikx e' ikxdk
2π −∞
2π −∞
∫ = 1 ∞ eik (x−x')dk
2π −∞
利用欧拉公式及奇函数的积分性质，可得
∫ ∫ δ (x − x ') = 1
2π
⎡ ⎢⎣
∞
∞
狄利克莱条件，且绝对可积（ ∫| f (x) |dx 有界），则在 −∞
f(x)的连续点处，傅里叶积分存在：
∫ ∫ f
(x) =
1
2π
∞ ⎡∞ ⎢f
⎣ −∞ −∞
(ξ
)e
−ikξ
dξ
⎤ ⎥
eikx
dk
⎦
在f(x)的第一类间断点处，积分等于
1[ 2
f
(x
+ 0) +
f
(x − 0)]
——傅里叶积分定理
记作：F[ f (x)] = f (k) ，即
∫ F[ f (x)] = f (k) = ∞ f (x) e−ikxdx −∞
f(x)：f (k) 的傅里叶逆变换 记作： f (x) = F −1[ f (k)] ，即
∫ F −1[ f (k)] = f (x) = 1 ∞ f (k) eikxdx
2l iπ (n − m) −l
=
1
eiπξ (n−m) / l
i2π (n − m)
l −l
=0
∫ ∴
1 2l
ξ δ e d = l i(kn −km )ξ
−l
nm
∞
∑ 对 f (x) = cneiknx 两边同乘以 e−ikmx，再对x从 − l到l积分得 n = −∞
偏微分方程的解法
偏微分方程的解法偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDEs）是数学中的一个重要分支，它描述了多变量函数的偏导数之间的关系。
这些方程在自然科学、工程应用和社会科学等领域都发挥着重要作用。
解决偏微分方程是一个复杂而有挑战性的过程，需要运用多种数学方法和工具来求解。
在本文中，我将为您介绍几种常见的偏微分方程的解法，并提供一些示例以帮助您更好地理解。
以下是本文的主要内容：1. 一阶线性偏微分方程的解法1.1 分离变量法1.2 特征线方法2. 二阶线性偏微分方程的解法2.1 分离变量法2.2 特征值法2.3 Green函数法3. 非线性偏微分方程的解法3.1 平移法3.2 线性叠加法3.3 变换法4. 数值方法解偏微分方程4.1 有限差分法4.2 有限元法4.3 谱方法5. 偏微分方程的应用领域5.1 热传导方程5.2 波动方程5.3 扩散方程在解一阶线性偏微分方程时，我们可以使用分离变量法或特征线方法。
分离变量法的基本思路是将方程中的变量分离，然后通过积分的方式求解每个分离后的常微分方程，最后再将结果合并。
特征线方法则是将方程中的变量替换为新的变量，使得方程中的导数项消失，从而简化求解过程。
对于二阶线性偏微分方程，分离变量法、特征值法和Green函数法是常用的解法。
分离变量法的核心思想与一阶线性偏微分方程相似，将方程中的变量分离并得到常微分方程，然后进行求解。
特征值法则利用特征值和特征函数的性质来求解方程，适用于带有齐次边界条件的问题。
Green函数法则通过引入Green函数来求解方程，其特点是适用于非齐次边界条件的情况。
非线性偏微分方程的解法则更加复杂，常用的方法有平移法、线性叠加法和变换法。
这些方法需要根据具体问题的特点选择合适的变换和求解技巧，具有一定的灵活性和创造性。
除了上述解析解法，数值方法也是解偏微分方程的重要手段。
常用的数值方法包括有限差分法、有限元法和谱方法等。
傅里叶变换及其应用TheFourierTransformandItsApplication(精)
1. 引言
L. kelvin 说：傅里叶理论不仅是现代分析中最美妙的结果之一，而且可以说，它为现代物理中每一 个深奥问题的处理提供了一件必不可少的工具。随着近代物理的飞速发展，越来越多的实际问题需要用 偏微分方程的理论来解决。如尖端的激光理论，生物数学和非线性科学中的许多问题等。为了求解这些 复杂的方程，得到它们解的表达式，傅里叶变换成了主要的工具，它在庞大的偏微分理论系统中闪耀着 光芒。傅里叶变换是一类重要的积分变换，而积分变换能够将分析运算转化为代数运算，正是由于积分 变换这一特性，在微分方程、偏微分方程的求解中成为重要的方法之一。用傅里叶变换求解偏微分方程 就如同用对数变换计算数量的乘积或商一样简便，在这种变换下，偏微分方程可以减少自变量的个数直 至变成常微分方程。
1 ，即： 2π
F [ f1 ⋅= f2 ]
1 F [ f1 ] × F [ f 2 ] 。 2π
5) 若 f ( x ) 及 xf ( x ) 都可以进行傅里叶变换，那么：
d F F( f )。 −ixf ( x ) = dλ
6) 平移性质 设 f ( x ) 的傅里叶变换为 e − iaλ F ( λ ) 。 证明：
Keywords
Fourier Transformation, Partial Differential Equation
傅里叶变换及其应用
曹瑞华
山西师范大学数学与计算机科学学院，临汾 Email: caoruihua0056@ 收稿日期：2014年6月14日；修回日期：2014年7月12日；录用日期：2014年7月19日
∂ 由问题的物理意义知 lim u ( x, t ) 0, lim u ( x, t ) 0 ，利用傅里叶变换的微分性质得 = = x →±∞ x →±∞ ∂x
数学物理方法(傅里叶变换法)
1
2a t
e
(
x ) 4a2t
2
d
0 2 ex2 /4a2t
高斯函数
2a t
8
右图描述了杂质浓度u(x,t)在硅片中
u( x, t )
硅1
的分布情况,曲线1对应于较早的时刻
片 表
2
2,3依次对应越来越晚的时刻,杂质浓 面
3
x
度趋于均匀,曲线下的面积为 0
r at
的面积元,此即泊松公式.
15
三维无界空间中的波动,只要知道初始状况,就可以用泊松公式
求以后任一时刻的状况,具体说,为求时刻t在r的u(r,t),应以r为
球心,以at为半径作球面
S
r at
然后拿初始扰动 (r), (r)
按泊松公式在球面
S
r at
上积分
,波动以速度a传播,只有跟点r
相距at的那些点的初始扰动恰好在时刻t传到r
这是第一类齐次边界条件,意味着奇延拓,即
wt a2wxx 0
w
|t
0
N0 N0
( (
x x
0) 0)
引用例2结果可得
w(x,t)
0
N0
1
2a t
e d
(
x ) 4a2t
2
0
N0
1
2a t
e d
(
x )2 4a2t
O平的,
即硅片表面的浓度梯度为零,表明没有新的杂质进入硅片.
例5 恒定表面浓度扩散 在恒定表面浓度扩散中,包围硅片气体 中含有大量的杂质原子,源源不断穿过硅片表面向内部扩散,由
数学物理方法傅里叶变换法
ut a2uxx 0
ux |x0 0
u |t0
0 0
( (
x x
0) 0)
(x (x
0) 0)
则 ut a2uxx 0
u |t0 20 (x)(- x )
u |t0 20 (x)
3
x
度趋于均匀,曲线下的面积为 0
O
即说明杂质总量不变,曲线跟纵轴相交处的切线都是水平的,
即硅片表面的浓度梯度为零,表明没有新的杂质进入硅片.
例5 恒定表面浓度扩散 在恒定表面浓度扩散中,包围硅片气体 中含有大量的杂质原子,源源不断穿过硅片表面向内部扩散,由
于杂质分子充足,硅片表面杂质浓度保持某个常数N0,这里所求 是半无界空间x>0中的定解问题
13
第一个积分中令 z (x ) / 2a t , dz d / 2a t
第二个积分中令 z ( x) / 2a t , dz d / 2a t
则有 w(x, t) N0 x/2a t ez2 dz N0
ez2 dz
x/2a t
e dk e e dk 2k2 k
2 4 2
2 (k 2 2 )2
2e e dk 2 4 2
2 (k 2 2 )2
0
2
2e 4 2
e d 2 2
0
2
2 e 4 2
ex2 dx
例6 泊松公式 求解三维无界空间中的波动问题
utt u |t
0
a23u 0
各类偏微分方程的解法
各类偏微分方程的解法偏微分方程是数学中的重要分支，广泛应用于物理学、工程学以及许多其他科学领域。
本文档将介绍几种常见的偏微分方程以及它们的解法。
1. 热传导方程热传导方程描述了物体内部的温度分布随时间的变化情况。
它的一般形式如下：$$\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \nabla^2 u$$其中，$u$ 是物体的温度分布，$t$ 是时间，$\alpha$ 是热传导系数。
常见的解法包括分离变量法、变换法和格林函数法。
这些方法可以用来求解不同边界条件下的热传导方程。
2. 波动方程波动方程描述了波的传播和振动现象，常用于描述声波、电磁波等。
它的一般形式如下：$$\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \nabla^2 u$$其中，$u$ 是波函数，$t$ 是时间，$c$ 是波速。
常用的解法包括分离变量法、变换法和傅里叶变换法。
这些方法可以求解不同边界条件下的波动方程。
3. 粒子扩散方程粒子扩散方程描述了物质粒子的扩散过程。
它的一般形式如下：$$\frac{\partial u}{\partial t} = D \nabla^2 u$$其中，$u$ 是物质浓度分布，$t$ 是时间，$D$ 是扩散系数。
常见的解法包括分离变量法、变换法和格林函数法。
这些方法可以用来求解不同边界条件下的粒子扩散方程。
4. 薛定谔方程薛定谔方程描述了量子力学系统中粒子的行为。
它的一般形式如下：$$i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \Psi + V\Psi$$其中，$\Psi$ 是波函数，$t$ 是时间，$\hbar$ 是约化普朗克常数，$m$ 是质量，$V$ 是势能。
求解薛定谔方程涉及到一些特殊的数学技巧，如变换方法和定态解法。
偏微分方程的解法
偏微分方程的解法偏微分方程（Partial Differential Equations, PDEs）是数学中的重要分支，在科学和工程领域具有广泛的应用。
解决偏微分方程的问题，可帮助我们理解自然界中的各种现象，如电磁场的传播、流体运动等。
本文将介绍几种常见的偏微分方程的解法。
一、分离变量法分离变量法是解偏微分方程最常见的方法之一。
我们以二阶线性偏微分方程为例，假设其形式为：A(x,y)u_{xx} + B(x,y)u_{xy} + C(x,y)u_{yy} + D(x,y,u,u_x,u_y) = 0其中u表示未知函数，A、B、C、D为已知函数。
为了使用分离变量法，我们假设解可以表示为两个函数的乘积形式：u(x,y) = X(x)Y(y)将上述形式代入方程，利用变量分离的性质，可将原方程化简为两个常微分方程。
解决这两个常微分方程，即可得到偏微分方程的解。
二、特征线法特征线法适用于一类特殊的偏微分方程，其中包含一阶偏导数和高阶偏导数的混合项。
我们以一维波动方程为例，其形式为：u_{tt} - c^2 u_{xx} = 0其中c表示波速。
特征线法的思想是引入新的变量，使得原方程可以转化为一组常微分方程。
对于波动方程，我们引入变量ξ和η，定义如下：ξ = x + ctη = x - ct通过做变量替换后，原方程可以转化为常微分方程：u_{ξη} = 0这样，我们可以通过求解常微分方程得到偏微分方程的解。
三、变换方法变换方法包括拉普拉斯变换、傅里叶变换等，通过引入新的变量，将原偏微分方程转化为代数方程，然后利用代数方程的解法解出未知函数。
变换方法的优势在于可以将一些常见的偏微分方程转化为代数方程，从而简化解法的步骤。
四、数值解法对于复杂的偏微分方程，解析解可能难以求得或不存在。
此时，数值解法就变得非常重要。
常用的数值解法包括差分法、有限元法、有限差分法等。
这些方法将连续的偏微分方程离散化，将其转化为差分方程或代数方程，然后使用计算机进行求解。
数学物理方法(傅里叶变换法)
uut|x0a2uNxx0 0
u |t0 0
9
解 首先把非齐次边界条件化为齐次边界条件,令 u(x,t) N0 w(x,t)
则化为关于w的定解问题:
wt w |
a2 x0
wxx u |x
0
0 N0
0
w |t0 u |t0 N0 N0
x at
( )d
达朗贝尔公式
2
2a xat
例2 求解无限长细杆的热传导问题
uut|t0a2ux(xx) 0( x )
解： 作傅里叶变换，定解问题变为：
U k 2a2U 0
U |t0 (k) 此常微分方程的初始问题的解为 U(t, k) (k)ek2a2t
dV
1
4a
(r)
14
1 r
(r
at
)eik
(
r
r
)
dk1dk2
dk3
dV
应用延迟定理
U (r,t)
1
4a
t
(r) (| r r | at)dV
| r r |
1
4a
(r) (| r r | at)dV
其中 (x)，(x) 分别是 (x), (x) 的傅里叶变换，这样原来
的定解问题变成了常微分方程及初值条件，通解为：
U (t, k) A(k)eikat B(k)eikat
代入初始条件可得：A(k) 1 (k) 1 1 (k)
求解非线性偏微分方程的傅里叶变换方法
２ 数值 模 拟
，
设 试探 解为 高斯 函数 Ｕ — Ｎｅ 。 首先模 拟 Ｎ ＝ １的解 ， 一 ． 即基本 空间 光孤 子解 ． ） 一 １ ２ 图 １ ｚ ｅｈ ｘ ， ／． 为解析 解 和数值 解 的对 照 图 ， 图上可 以明显看 出两 条 曲线完 全重 合 ， 从 即数值 解 为 正确 的解 （ 数值 模 拟程 序见 附 录） ．
性 质 ， 得 可
Ｎ。 （ 己 ｅ ｘ Ｉ １，ｆ － ｕ） ｄ
Ｆ（Ｕ ｃ）一 —— 兰————Ｔ———— 一 ， （） ５
卢＋
２
ｂ（ ）一
ｕｌ ）ｉｘ 专 （ ］ ｄ ｕｅｚ ～ Ｆ ） ｃ －ｄ ￣ ｅ ｕ
（ ６ ）
其 中 Ｆ（ ）为 己（ ）的傅 立 叶变换 ， （ ）是 Ｕ（ ）在横 向上 各点 的传 播常 数． ，． ｚ ６ｚ ｚ 因为傅 立 叶变换 默认 的边
个非 常好 的迭 代方 法 ， 易于 被学生 掌握 和应 用． 这种 迭 代 方法 能 应用 在 ｍａｌ ｔ ｂ程 序设 计 、 值 分析 、 算 机 ａ 数 计
辅助 教学 等课 程教 学 中．
１ 方 法 原 理
傅立 叶变 换可 将平 方可 积 的函数 表示成 复指 数 函数 的积分 或级数 形 式 ：
五 譬 一 磐 ＋ｉ Ｉ ， 十 ｚ Ｉ “
、
（ ３ ）
（３）
其 中 表示 波 函数 ， 为传 输方 向 、 ｚ为横 向坐标 ． 界条件 是 （ ） 无穷远 处 为零． 设其 解 的形式 为 边 ｚ 在 假
收 稿 日期 ： Ｏ ０ １ － ６ ２ ｌ－２２
作 者 简介 ： 华 刚 ， ， 北 昊 桥 人 ， 东 第二 师 范 学 院物 理 系讲 师 李 男 河 广
傅里叶变换在求解微分方程中的应用
傅里叶变换在求解微分方程中的应用
1概述
傅里叶变换（Fourier Transformation）是一种广泛应用于数学、物理和工程领域的数学方法。
它一般用来求解微分方程，用于表示变量的连续变化，分析不同存在形式的时变信号或者将时变信号变换为连续时变函数。
2原理
傅里叶变换（Fourier Transformation）被用来分析复杂信号，它可以将一个复杂的函数表示为一个由正弦或余弦项组成的函数。
它利用了正弦和余弦函数和双调函数的性质，使复杂函数表示成多个正弦和余弦函数之和。
每一个正弦函数对应一个有响应频率的正弦函数，称其为振幅，同时通过加减表示波形的情况，使得函数的形状能够被描述出来。
另外，还可以用来分析多维信号，比如图像，数据等。
3应用
傅里叶变换的应用可以说是非常广泛的，比如它可以用来分析任何周期性的信号。
它可以用来分析复杂的波形以及改变此信号的频率，从而实现定制时域信号。
同时，傅立叶变换也可以用来求解微分方程，它是可以帮助解决物理问题和理论问题的一种重要技术，所以它在物理研究中非常重
要。
如通过变换，可以将时变信号分解成一系列正弦或余弦函数，对这些正弦或余弦函数进行积分，可以求出一个复合函数，用它来求解具有时变的微分方程系统。
4结论
傅里叶变换是一种非常强大的变换工具，可以应用于几乎所有的数学和物理问题。
傅里叶变换在求解微分方程中也有着不可抹灭的作用，可以帮助我们求解物理问题，也可以用于复杂信号的分析。
数学物理方程期末考试题及答案
数学物理方程期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 以下哪一项不是数学物理方程的特点？A. 连续性B. 离散性C. 线性D. 非线性答案：B2. 波方程是描述什么的方程？A. 热传导B. 电磁波C. 机械波D. 流体动力学答案：C3. 拉普拉斯方程通常出现在哪种物理现象中？A. 热传导B. 流体流动C. 电磁场D. 弹性力学答案：C4. 以下哪个不是偏微分方程的解的性质？A. 唯一性B. 线性C. 稳定性D. 离散性答案：D5. 波动方程的解通常表示什么？A. 温度分布B. 电荷分布C. 压力分布D. 位移分布答案：D二、填空题（每空2分，共20分）6. 波动方程的基本形式是 _______。
答案：\( \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 u \)7. 热传导方程，也称为________方程。
答案：傅里叶8. 拉普拉斯方程 \( \nabla^2 \phi = 0 \) 在静电学中描述的是________。
答案：电势9. 边界条件通常分为________和________。
答案：狄利克雷边界条件；诺伊曼边界条件10. 波动方程的一般解可以表示为________和________的叠加。
答案：基频解；高阶谐波三、简答题（每题10分，共30分）11. 解释什么是边界层的概念，并给出一个实际应用的例子。
答案：边界层是流体力学中的一个概念，指的是流体靠近物体表面处的一层非常薄的流体，其中速度梯度很大。
在边界层内，流体的速度从物体表面的零速度逐渐增加到与外部流体速度相匹配。
一个实际应用的例子是飞机的机翼，边界层的厚度和特性对飞机的升力和阻力有重要影响。
12. 描述什么是格林函数，并解释它在解决偏微分方程中的作用。
答案：格林函数是一种数学工具，用于解决线性偏微分方程。
它是一个特定的函数，当它与方程的算子相乘时，结果是一个狄利克雷问题，其解是原始方程的一个解。
傅里叶变换求解偏微分方程
Chapter 7The Finite Fourier Transform (FFT) Method7.1 Introduction The FFT method is one of many analytical or numerical techniques in which exact or approximate solutions to partial differential equations are found by expanding the solution in terms of a set of known functions, called basis functions , and then determining the unknown coefficients in the expansion. Applying the FFT method to partial differential equations liketu ∂∂= c 2(22x u ∂∂ + 22y u ∂∂)+ E (x , y )reduces the number of spatial variables until only a two-point boundary-value problem or initial-value problem remains, which is solved by standard methods. The FFT method is basically equivalent to the technique of separation of variables , however the FFT method is more flexible and permits a more direct attack on many problems. The FFT method is applicable to linear boundary-value problems in domains where at least one of the spatial dimensions is finite. Let Θ = Θ(r , t ) be the field variable (e.g., temperature or concentration), and let L be a differential operator which contains one or more spatial derivatives and perhaps also a time derivative. Then, a wide variety of partial differential equations can be represented as L Θ = S (r )where S (r ) is a specified function of position. The differential operator is said to be linear if L (a 1Θ1 + a 2Θ2) = a 1L Θ1 + a 2L Θ2where a 1 and a 2 are any constants and Θ1(r , t ) and Θ2(r , t ) are any functions [not necessarily solutions of L Θ = S (r )]. Aside from the requirement of linearity, the other restriction of the FFT method is that the boundaries must correspond to constant values of the coordinates, or coordinate surfaces . Consider the following PDE22x ∂Θ∂+ 22y ∂Θ∂= 0with the boundary conditions Θ(0, y ) = 0, Θ (1, y ) = 0Θ(x , 0) = f 0(x ), Θ (x , 1) = f 1(x )The solution can be written in a series expansion asΘ(x , y ) = ∑∞=Φ1)()(n n n x y C ,In this equation Φn (x ) are given by: Φn (x ) = 2sin(n πx ), n = 1, 2, …Table 7-1. Basis Functions for Certain Eigenvalue Problems in RectangularThe functions Φn (x ) are called the basis functions. The factor 2 has the effect of normalizing the basis functions. For rectangular coordinates the basis functions are given in Table 7-1. Set of functions that can be used as basis functions in the FFT method are the eigenfunctions. In terms of the independent variable x , the eigenfunctions are solutions to the differential equation22dxd Φ= - λ2Φ (7.1-4) The boundary conditions for eigenvalue problems must be of certain type. Thus, the boundary conditions for Eq. (7.1-4) are usually some combination of Φ= 0, (7.1-5a) Φ’ = 0, (7.1-5b) Φ’ + A Φ=0, (7.1-5b)where primes are used to denote differentiation with respect to x and A is a constant.Eq. (7.1-4) is a Sturm-Liouville equationdxd ⎥⎦⎤⎢⎣⎡dx dy x p )( + [q (x ) + βr (x )]y = 0with p (x ) = 1, q (x ) = 0, and r (x ) = 1, and β = λ2 . Sturm-Liouville equation with real eigenvalues yields solutions that are orthogonal functions with the weighting function r (x ). The basis functions Φn (r) in cylindrical coordinates are Bessel functions that are solutions of⎪⎭⎫ ⎝⎛Φdr d r dr d r 1= - λ2Φ(7.1-6)Eq. (7.1-6) is a Sturm-Liouville equation with p (x ) = r (x ) = r and q (x ) = 0. For problems involving annular regions, such that a ≤ r ≤ b , orthogonal functions results when any of the three types of boundary conditions from Eq. (7.1-5) are applied at r = a and r = b . For domains containing the origin, all that is required at r = 0 is that Φ and Φ’ be finite. The basis functions Φn (r) in spherical coordinates are solutions of⎪⎭⎫ ⎝⎛Φdr d r dr d r 221= - λ2Φ (7.1-7)This is Sturm-Liouville equation with p (x ) = r (x ) = r 2 and q (x ) = 0. The solution to Eq. (7.1-7) is expressible asΦ(r ) = a r rλsin + b rr λcos ,where a and b are constants. The basis functions Φn (η) in spherical coordinates can also be solutions of()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ-ηηηd d d d 21= - λ2Φ (7.1-8)This is Legendre’s equation which is also a Sturm -Liouville equation with p (x ) = (1 - η2), r (x ) = 1 and q (x ) = 0. Eq. (7.1-8) has only one solution which is bounded at η = ± 1, namely Φn (η) = a n P n (η)where the function P n (η) are Legendre polynomials. The eigenvalues must be given by λn 2 = n (n + 1) (7.1-9)The other linearly independent solution of Eq. (7.1-8), which is not bounded at η = ± 1, involves what are called Legendre polynomials of the second kind; that solution is of no physical interest and will be disregarded. The Legendre polynomials P n (x ) are orthogonal on the interval [-1, 1] with respect to the weighting function r (x ) = 1. The first two Legendre polynomials are P 0(x ) = 1 and P 1(x ) = x , and the remaining members of this orthogonal sequence can be generated using the recursion relation,P n+1(x ) = ()1)()12(1+-+-n x nP x P n n nWe will show an introductory FFT example to illustrate the mechanics of the method. Many other important considerations relating to how and why the method works will be discussed in later sections.Example 7.1-1. ----------------------------------------------------------------------------------Solve the Laplace’s equation ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂2222y u x u = 0with the following boundary conditions u (0,y ) = 0, u (1,y ) = 0,0 < y < 1u (x,0) = f 0(x ),u (x,1) = f 1(x ), 0 < x < 1u=0Solution ------------------------------------------------------------------------------------------Assume that the solution can be written in a series expansion as u (x,y ) = ∑∞=Φ1)()(n n n x y C(7.1-10)In this equation, Φn (x ) are the basis functions that can be obtained from Table 7-1 Φn (x ) = 2sin(n πx ) , n = 1, 2, …Each term in equation (7.1-10) is a product of two functions, each involving only one spatial variable. This feature is similar to the method of separation of variables. The basis functions Φn (x ) are chosen so that the boundary conditions at x = 0 and x = 1 are satisfied. The factor 2 has the effect of normalizing the basis functions; the advantage of doing this will be clear once the final solutions are obtained. We now need to determine the coefficients C n (y ) that multiply the basis functions. For this problem, the finite Fourier transform (FFT) of the temperature is defined asΘn (y ) = ⎰Φ10)(x n u (x,y )dx(7.1-11)In this equation Θn (y ) is defined as the transformed temperature . It is an integral transform in which the original function is multiplied by a kernel or basis function, and the result integrated over the finite interval 0 ≤ x ≤ 1. The limits of integration correspond to the range of x in the problem; these limits will be modified for different boundary conditions of x . It will be shown that Θn (y ) is identical to the expansion coefficient C n (y ), so that knowing Θn (y ) for all n is sufficient to solve the problem.The function Θn (y ) may be obtained by applying the FFT to both sides of the Laplace equation⎰Φ10)(x n ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂2222y u x u dx = 0(7.1-12)The second term on the left side of this equation is written as⎰Φ10)(x n 22y u ∂∂dx = 22dy d ⎰Φ10)(x n u (x,y )dx = 22dy d n Θ (7.1-13)The first term on the left side of equation (7.1-12) is rearranged using integration by parts d (wv ) = wdv + vdw ⎰wdv = ⎰)(wv d - ⎰vdw ⇒ ⎰wdv = wv - ⎰vdw Let w = Φn (x ) ⇒dx dw= dxd n Φ dv = 22x u ∂∂dx ⇒ v = xu∂∂⎰Φ10)(x n 22x u ∂∂dx = Φn (x ) 10x u ∂∂ - ⎰Φ10dx d n x u ∂∂dxApplying the integration by parts again yields⎰Φ10)(x n 22x u ∂∂dx = Φn (x ) 10x u∂∂ - 10u dx d n Φ + ⎰Φ1022dx d n udxFrom the boundary conditions Φn (x = 0) = Φn (x = 1) = 0 and u (0,y ) = u (1,y ) = 0Therefore Φn (x ) 10x u∂∂ = 0 and 1u dx d n Φ = 0. From the basis functionsΦn (x ) = 2sin(n πx ) ,dxd n Φ = n π2cos(n πx ) ⇒ 22dx d n Φ = - (n π)22 sin(n πx ) = - (n π)2Φn (x )The first term on the left side of equation (7.1-12) becomes⎰Φ10)(x n 22x u ∂∂dx = ⎰Φ1022dx d n udx = - (n π)2⎰Φ10)(x n u (x,y )dx⎰Φ10)(x n 22x u ∂∂dx = - (n π)2Θn (y ) (7.1-14)Substituting equations (7.1-13) and (7.1-14) into equation (7.1-12) gives⎰Φ10)(x n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂2222y u x u dx = ⎰Φ10)(x n 22y u ∂∂dx + ⎰Φ10)(x n 22x u∂∂dx = 022dyd n Θ- (n π)2Θn (y ) = 0 (7.1-15)The above equation requires two boundary conditions, which are obtained by transforming the original boundary conditions involving y . From the definition of the FFTΘn (y ) = ⎰Φ1)(x n u (x,y )dxWe haveΘn (0) = ⎰Φ10)(x n u (x,0)dx = ⎰Φ1)(x n f 0(x )dx = A nΘn (1) = ⎰Φ10)(x n u (x,1)dx = ⎰Φ1)(x n f 1(x )dx = B nThe solution of the equation (7.1-15) is expressed in terms of the hyperbolic functions since the domain of y is finite Θn (y ) = D 1cosh(n πy ) + D 2sinh(n πy )The two constants of integration D 1 and D 2 are obtained from the boundary conditions y = 0, Θn (0) = D 1 = A ny = 0, Θn (1) = B n = A n cosh(n π) + D 2sinh(n π) D 2 =)sinh()cosh(ππn n A B n n -Θn (y ) = A n cosh(n πy ) +)sinh()cosh(ππn n A B n n -sinh(n πy )Θn (y ) =)sinh()sinh()]sinh()cosh()sinh()[cosh(πππρππn y n B y n n n y n A n n +-Θn (y ) =)sinh()sinh()]1(sinh[πππn y n B y n A n n +-We now need to show that the expansion coefficient C n (y ) is just the finite Fourier transformed of the temperature Θn (y ). From the assume expansionu (x,y ) = ∑∞=Φ1)()(n n n x y CWe can take the FFT of this equationΘm (y ) = ⎰Φ1)(x m u (x,y )dx = ∑⎰∞=ΦΦ11)()()(n n m n x x y C dxThe integral involving the product of the basis functions can be evaluatedLet I = )()(10x x n m ΦΦ⎰dx = 2)sin()sin(1x n x m ππ⎰dxFrom the trigonometric identity: sin x sin y = 21[- cos(x+y ) + cos(x -y )], we haveI = ]})[((cos ])cos[({1x n m x n m ππ-++-⎰dxTherefore I = 0 when m ≠ n and I = 1 when m = n . The relation can be written as I = δmnThe Kronecker delta δmn is defined as δmn = ⎩⎨⎧=≠nm when nm when 10Hence Θn (y ) = C n (y ) and the final solution is u (x,y ) = ∑∞=Φ1)()(n n n x y Cu (x,y ) = 2∑∞=1n )sinh()sinh()]1(sinh[πππn y n B y n A n n +- sin(n πx )Notice that the 2 factor included in the basis function Φn (x ) was needed to make Θm (y ) and C n (y ) identical. If the basis functions has not been normalized in this manner we would obtain the relation Θn (y ) = 0.5 C n (y ).SummaryThe FFT method first transforms the PDE into an ODE using the definitionΘn (y ) = ⎰Φ10)(x n u (x,y )dxThe ODE was solved using elementary method to obtain Θn (y ), which is the same as C n (y ).The solution is thenu (x,y ) = ∑∞=Φ1)()(n n n x y CIn this equation Φn (x ) is the known basic function.For a numerical example, let u (x,0) = f 0(x ) = sin(πx ), and u (x,1) = f 1(x ) = sin(πx ). The solution isu (x,y ) = 2∑∞=1n )sinh()sinh()]1(sinh[πππn y n B y n A n n +- sin(n πx )The coefficients are given byA n = ⎰Φ10)(x n u (x,0)dx = ⎰Φ1)(x n f 0(x )dxB n = ⎰Φ10)(x n u (x,1)dx = ⎰Φ1)(x n f 1(x )dxHence A n = B n = ⎰1)sin(2x n πsin(πx )dx =22⎰+--1])1cos()1[cos(dx x n x n ππA n = 221)1sin(11)1sin(11⎥⎦⎤⎢⎣⎡++---x n n x n n ππ= 0 for n > 1For n = 1, A 1 = ⎰1)sin(2x πsin(πx )dx = ⎰12)(sin 2x πdxA 1 =22])2cos(1[1⎰-x πdx =22The solution for this particular case is simplyu (x,y ) = )sinh()sinh()]1(sinh[πππy y +- sin(πx ) (7.1-16)The solution surface is plotted in Figure 7.1-1 using the following Matlab statements.--------------------------------------- % Example 7.1-1 %[X,Y]=meshgrid(0:.02:1); n1=length(X);uxy=(sinh(pi*(1-Y))+sinh(pi*Y)).*sin(pi*X)/sinh(pi); mesh(X,Y,uxy)---------------------------------------Figure 7.1-2 shows the results obtained from Matlab pdetool.Figure 7.1-1 Solution surface for equation 7.1-16 (example 7.1-1).0.10.20.30.40.50.60.70.80.9Color: u Height: uFigure 7.1-2 Solution surface for equation 7.1-16 using pdetool .7-11。
用傅里叶变换解偏微分方程(仅供借鉴)
由傅里叶级数推导出傅里叶积分，再推导出傅里叶
变换，过程如下
一类参考
7
傅里叶变换
f (x) a0
2
n1
an
cos(
n
l
x
)
bn
sin(
n
l
x
)
an
1 l
l l
f (x) cos( n x )dx
l
bn
1 l
l l
f (x) sin( n x)dx
l
将上两式代入前式，并利用三角恒等式：
cos(a b) cos a cosb sin a sin b
可以得到
f (x) 1
l
f (w)dw
1
l
f (w) cos n (x w) dw
2l l
l l
n1
l
一类参考
8
傅里叶变换
现在假定 f (x) 在 (−∞,+∞) 内绝对可积，那么当 l →
bk
sin(kx)
a0
1
2
f (x)dx
an
1
f (x) cos(nx)dx
bn
1
f (x)sin(nx)dx
an和bn称为f(x)的傅里叶系数
一类参考
3
傅里叶级数
一般意义下：
假设 f (x) 是定义在 (-∞,+∞) 内的实函数，它
在任一有限区间[−l,+l]内是分段光滑的 ,则 f (x) 可
2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
进一步，如果 f (x), f (x),......, f (m) (x) 满足
傅里叶变换条件，就有：
F[ f (m) (x)] (iw)m F[ f (x)]
一类参考
13
二、偏微分方程
• 1.什么是偏微分方程 • 2.定解条件与定解问题 • 3.二阶线性偏微分
用傅里叶变换解偏微分方程
一、傅里叶变换 二、偏微分方程 三、方程的求解
一类参考
1
一、傅里叶变换
• 1.傅里叶级数 • 2.积分变换 • 3.傅里叶变换 • 4.离散傅里叶变换 • 5.快速傅里叶变换（FFT）
一类参考
2
傅里叶级数
傅里叶级数形式
f (x) a0
k 1
ak
cos(kx)
2
由傅里叶级数推导出傅里叶积分，再推导出傅里叶
变换，过程如下
一类参考
7
傅里叶变换
f (x) a0
2
n1
an
cos(
n
l
x
)
bn
sin(
n
l
x
)
an
1 l
l l
f (x) cos( n x )dx
l
bn
1 l
l l
f (x) sin( n x)dx
以展开为傅里叶级数：
f (x) a0
2
n1
an
cos(
n
l
x
)
bn
sin(
n
l
x
)
an
1 l
l l
f (x) cos(n x)dx
l
1l
n x
bn l
f (x)sin(
l
)dx l一类参考
4
积分变换
• 对于一般的积分变换，我们有如下定义：令 I 为一实数集， K(s,w)是定义在 I ×[a,b]上的函数，如果函数 f (w) 满足： (1)在[a,b]上有定义；
者象函数。积分变换是作用是把初始函数
变成另一类比较容易求解的象函数，因此 用积分变换求解偏微分方程的方法与我们
采用对数来计算数的乘、除、乘方和开方 的技巧是完全类似的。
一类参考
6
傅里叶变换
傅里叶变换
F[ f (x)] F (w) f (x)eiwxdx
傅里叶逆变换
F 1[F (w)] f (x) 1 F (w)eiwxdx
0
A() 1
f (w) cos wdw
B() 1
f (w)sin wdw
另一种是
f (x) 1
d f (w)[cos (x w) i sin (x w)]dw
2
1
d
f (w)ei(xw)dw
(2)对每个s∈I, K(s,w)f(w)作为w∈[a,b]的函数是可积的。
则带有参变量的积分
就定义了
a
一个“从 f (w) 到 F(s)F”(的s)变换。K这(s,种w通) f 过(w积)d分w 运算把一
个函数变为另一个函数的方法b称为积分变换。
一类参考
5
积分变换
• 每给定一个函数 K(s, w) 就确定了一个积分 变换，因此积分变换是由函数 K(s, w) 生成 的。通常称 K(s, w) 为（积分变换的）核函 数，称参与变换的 f (w) 为初始函数或者原 象函数，把变换成的 F(s) 称为变换函数或
2
一类参考
10
傅里叶变换
引进新函数：
F () f (w)eiwdw
便可以得出：
f (x) 1 F()eixd
2
一类参考
11
傅里叶变换
(1)线性性质。假定 a 、b为任意两个实数,函数 f1(x) 、f 2 (x) 满足傅里叶变换条件，则有：
bk
sin(kx)
a0
1
2
f (x)dx
an
1
f (x) cos(nx)dx
bn
1
f (x)sin(nx)dx
an和bn称为f(x)的傅里叶系数
一类参考
3
傅里叶级数
一般意义下：
假设 f (x) 是定义在 (-∞,+∞) 内的实函数，它
在任一有限区间[−l,+l]内是分段光滑的 ,则 f (x) 可
l
将上两式代入前式，并利用三角恒等式：
cos(a b) cos a cosb sin a sin b
可以得到
f (x) 1
l
f (w)dw
1
l
f (w) cos n (x w) dw
2l l
l l
n1
l
一类参考
8
傅里叶变换
现在假定 f (x) 在 (−∞,+∞) 内绝对可积，那么当 l →
+∞
时，就有：
f (x) lim
1
l
n (x w)
f (w)cos
dw
l l n1 l
l
令1 / l, 2 2 / l,......, n n / l, 以及 n1 n / l
当l 时，上述积分的极限为：
f (x) lim 1
n 0
n
n1
l l
f (w) cos n (x w)dw
1
d
f (w) cos (x w)dw
0
我们把上述积分表达式称之为傅里叶积分。
一类参考
9
傅里叶变换
傅里叶积分的两种形式：
一种是
f (x)
[ A() cos x B() sin x]d
F ( f1 * f2 ) F ( f1)F ( f2 )
f1 * f2 F 1[F ( f1)Ff ( f2 )]
1
Байду номын сангаас
F ( f1 f2 )
2
F ( f1) * F( f2 ) 一类参考
12
傅里叶变换
(3)微商性质。如果 f (x)和f (x)均满足傅里叶变 换条件，而且当|x|→+∞时f(x)→0，那么：
一类参考
14
偏微分方程的概念
• 偏微分方程是指含有未知函数以及未知函 数的某些偏导数的等式。
F (af1 bf2 ) aF ( f1) bF ( f2 )
(2)卷积性质。假定函数 f1(x) 、f 2 (x) 满足傅里 叶变换条件，则称函数
f1(x) f2 (x) f1(x t) f2 (t)dt
称为 f1(x) 和 f 2 (x) 卷积
如果 f1(x) 、f 2 (x) 和 f1 * f 2 均满足傅里叶变换条件，那么就有：