北京大学 真题量子力学

北京大学2003——2012学年

量子力学 考研真题 与原子物理试题答案

可能会有用的公式：

薛定谔方程：

ˆH

i t

ψψ∂=∂ 一维定态薛定谔方程：()()()2

2

2

2d V x x E x m dx ψψ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭

动量算符：

ˆp

i x

∂=∂

高斯积分：

2

x e dx α∞

--∞

=

⎰

一。[30分]一维无限深方势阱： 质量为

m 的粒子在一维无限深方势阱中运动，势阱可表示为：

()()0;0,;0,x a V x x x a

∈⎧⎪=⎨∞<>⎪⎩ 1。[10分]求解能量本征值

n E 和归一化的本征函数()n x ψ；

2。[5分]若已知

0t =时，该粒子状态为：())

12,0()()x x x ψψψ=

+，求t 时刻该粒子的波函数； 3。[5分]求

t 时刻测量到粒子的能量分别为1E 和2E 的几率是多少？ 4。[10分]求t 时刻粒子的平均能量E 和平均位置x 。

解：1）[10分]

222

22n n n x a n E ma πψπ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩

2）[5

分]

()(),n iE t

n n x t x e

ψψ-

=

时刻的波函数：()1212,()()iE t iE t

x t x e x e ψψψ--⎛

⎫=+⎪⎭

3）[5分]

t 时刻测量到粒子的能量为1E 的几率是：()()

2

11

,,2

x t x t ψψ=

时刻测量到粒子的能量为2E 的几率是：()()

2

21,,2

x t x t ψψ=

4）[10分]

平均能量：()()()()22122

5ˆ,,,,24E E E x t E x t x t i

x t t ma πψψψψ+∂====∂

平均位置：

()()()12216,,cos 29E E t a a

x x t x x t ψψπ-⎛⎫==

- ⎪⎝⎭

二。[30分]一维线性谐振子：

质量为m 的粒子在一维线性谐振子势：22

()2

m x V x ω=

中运动。按占有数表象，哈密顿可写为：

(

)

†

12

H a a ω=+。这里

ˆa

是湮灭算符，

†ˆa

是产生算符： †22m i a x p m m i a x p m ωωωω⎧⎛⎫=+⎪

⎪⎪

⎝⎭⎨

⎛⎫

⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩

已知一维线性谐振子基态波函数为：

1。[10分]利用产生算符性质：

()()†01ˆa

x x ψψ=，求线性谐振子第一激发态在坐标表象下的波函数：()1x ψ；（

()124

2

0m x m x e ωωψπ-

⎛⎫

=

⎪⎝⎭

）

2。[10分]假设粒子处在基态()0x ψ，突然改变一维线性谐振子的“振动频率”为2ωω'=，粒子新的基态能是多少？新的基态波函数是

什么？

3。[10分]假设这时粒子波函数仍然保持不变（()1

2

42

m x

m x e

ωωψπ-⎛⎫= ⎪⎝⎭

），此时测量粒子能量，发现粒子能量取新的基态能的几率是多

少？

解：1）[10分]

()()1

2

4†2

102

m x

m i m x a x x p e m ωω

ωψψωπ-⎛

⎫⎛⎫==

- ⎪⎪⎝

⎭⎝⎭

利用：,d

x x p i dx ==，(

)220

2x x αψ⎡⎤=-⎢⎥⎣

⎦，其中：

m ω

α=

()(

))22†

101/42221/4

22223/222222

3/2

1/4

exp 21exp 222exp 22ex i d x x a x x m i dx d x x dx x x x x x x α

αψψωπααπαααααπ⎡⎤⎫==--⎪⎢⎥⎭⎣⎦

⎡⎤⎫=--

⎪⎢⎥

⎭⎣⎦

⎡

⎤⎡⎤=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤=-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=

()220p 2x x x αψ⎡⎤

-=⎢⎥⎣

⎦

2）[10分]

新基态能：

2

E ωω'

'==

新基态波函数：()1

1

2

2

4

42

02m x m x m m x e

e

ωωωωψππ'-

-'⎛⎫

⎛⎫'== ⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭

3）[10分]

测量粒子能量取新基态能的几率：

()2

2

1/0

20.94283w x ψψ⎛'==== ⎝

三。[40分]两电子波函数：

考虑两个电子组成的系统。它们空间部分波函数在交换电子空间部分坐标时可以是对称的或是反对称的。由于电子是费米子，整体波函数在交换全部坐标变量（包括空间部分和自旋部分）时必须是反对称的。

1。[15分]假设空间部分波函数是反对称的，求对应自旋部分波函数。总自旋算符定义为：

12S s s =+。求：2S 和z S 的本征值；

2。[15分]假设空间部分波函数是对称的，求对应自旋部分波函数，

2S 和z S 的本征值；

3。[10分]假设两电子系统哈密顿量为：12H Js s =⋅，分别针对（1）（2）两种情形，求系统的能量。