第五章 平面图形几何性质

bh
zc
h/2 z h/2
2
dy y O
Iz

A
y dA
2
3
h 2 2
h
2 y bdy
bh
3
12
Iz
1 bh

bh
3
2 12
24
2h bh 3 2
3 3
2
I z1 I zc
z1
I z I zc
h h bh 2 3 2
四 转轴定理
第五章 平面图形的几何性质/四 转轴定理
所谓转轴定理是研究坐标轴绕原点转
动时，图形对这些坐标轴的惯性矩和惯 性积的变化规律。
第五章 平面图形的几何性质/四 转轴定理
y
已知： Iy、Iz、Iyz、
z z1

求： Iy1、Iz1、Iy1z1
dA
y y1
O

z
I y1 I z1

d
zc
3 2
I zc
2 2 2 2 4 4 d d 3 d d 3 11d 4 2 d d 64 4 6 4 3 64 64
第五章 平面图形的几何性质
zdA
A
A
已知静矩可以确定图形的形心坐标 已知图形的形心坐标可以确定静矩
第五章 平面图形的几何性质/一 静矩、形心及相互关系
组合图形的静矩与形心计算
S z A1 yC1 A2 yC 2 An yCn Ai yCi
i 1 n n
S y A1 zC1 A2 zC 2 An zCn Ai zCi
sin2 I yz cos2
第五章 平面图形的几何性质/四 转轴定理
I y1 I z1 I y I z y z dA dA I P
2 2 2 A A


图形对一对垂直轴的惯性矩之和与转轴时 的角度无关，即在轴转动时，其和保持不变。
第五章 平面图形的几何性质/四 转轴定理

A
z1 dA y1 dA
A 2
2
O

z
Iy Iz 2 Iy Iz 2
A
I y1 I z1
Iy Iz 2 Iy Iz 2
I y1 z 1
cos2 I yz sin2 cos2 I yz sin2

y1 z1dA
I y1z1
Iy Iz 2
y
0
z z0
dA
y
y0
I y1z1
Iy Iz 2
sin2 I yz cos2
O
0
z
I y0z0
tan2 0 2 I yz
Iy Iz 2
sin2 0 I yz cos2 0＝0
Iy Iz
y0、z0－通过O点的主轴
第五章 平面图形的几何性质/四 转轴定理
z
IP I y Iz
第五章 平面图形的几何性质/二 惯性矩、惯性积、极惯性矩与惯性半径
性
质：
1、惯性矩和惯性积是对一定轴而定义的，而极惯 矩，是对点定义的。 2、任何平面图形对于通过其形心的对称轴和与此对 称轴垂直的轴的惯性积为零。 3、对于面积相等的截面，截面相对于坐标轴分布的 越远，其惯性矩越大。
I P dA
2 A
－图形对 O 点的极惯性矩
第五章 平面图形的几何性质/二 惯性矩、惯性积、极惯性矩与惯性半径
定义：
y
z
iy
dA
y
Iy A
－图形对 y 轴的惯性半径
O
z
iz
Iz A
－图形对 z 轴的惯性半径
第五章 平面图形的几何性质/二 惯性矩、惯性积、极惯性矩与惯性半径
计算：
I
y
I z 4I
2
2 yz
第五章 平面图形的几何性质/四 转轴定理
对于任意一点（图形内或图形外）都有主轴， 而通过形心的主轴称为形心主轴，图形对形心 主轴的Iy惯性矩称为形心主惯性矩，简称形心 主矩。工程计算中有意义的是形心主轴与形心 主矩。
第五章 平面图形的几何性质
五 形心主轴、形心主矩
例题 矩形截面惯性矩的计算
b
I z y dA h y bdy
2
2
A
2
b
y
3

h 2 h 2

bh
3
h
o
z
3
12
y
同理： I y
z dA b z hdz h
2 2 A 2
b 2
z
3

b 2 b 2

hb
3
3
12
dy
h 2
y
第五章 平面图形的几何性质/二 惯性矩、惯性积、极惯性矩与惯性半径
i 1
yC
Sz A
Ay
i
n
Ci

i 1
Ai
i 1
n
zC
Sy A
Az
i
n
Ci

i 1 n
A
i 1
i
第五章 平面图形的几何性质/一 静矩、形心及相互关系
性质:
①静矩是对某一坐标轴定义的,静矩与坐标轴有关
②截面对某一轴的静矩等于零,则该轴必通过形心。 ③截面对通过形心轴的静矩恒等于零。即:
第五章 平面图形的几何性质
一 静矩、形心及相互关系
第五章 平面图形的几何性质/一 静矩、形心及相互关系
定义
y
z
Sy
zdA
A
图形对于 y 轴的静矩
dA
Sz

ydA
A
O
y
z
图形对于 z 轴的静矩
第五章 平面图形的几何性质/一 静矩、形心及相互关系 y y
z zC
计算
dA
y
C A
z
yC
O
2
I zc
2bh h bh I x1 9 36 24 6 36 2
bh
3
2

bh 4
3
例题 图示为三个等直径圆相切的组合问 题,求对形心轴zc的惯性矩.
O2、O3到zc轴的距离
O1
1 3 d 3 6 d 3 3 d 3 2
O1到zc轴的距离
O2 O3
2
3
第五章 平面图形的几何性质/一 静矩、形心及相互关系
决定因素: 数值范围:
截面形状、尺寸、轴的位置。 惯性矩、极惯性矩和惯性半径恒为 正; 惯性积可以为正、为负、为零。
单
位:
惯性矩、极惯性矩和惯性积的单位相
同,均为mm4 、cm4 、m4
惯性半径: mm 、cm 、m
第五章 平面图形的几何性质/一 静矩、形心及相互关系
2
Iz 2 2 a A I zc
2
2
zc dA

yc
A
yc dA IAyc I yc b A y
b
C
a
zc
I zy I zcyc abA
在所有相互平行的坐标轴中， 图形对形心轴的惯性矩为最 小，但图形对形心轴的惯性 积不一定是最小
O
z
第五章 平面图形的几何性质/三 平行移轴定理
第五章 平面图形的几何性质/五 形心主轴、形心主矩
1 主惯性轴、主惯性矩
对于任何形状的截面,总可以找到一对特殊的直角 坐标,使截面对于这一对坐标轴的惯性积等于零。惯性 积等于零的一对坐标轴就称为该截面的主惯性轴,而截 面对于主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩。
第五章 平面图形的几何性质/五 形心主轴、形心主矩
移轴定理是指图形对于互相平行轴的惯性矩、
惯性积之间的关系。即通过已知图形对于一对坐标
的惯性矩、惯性积，求图形对另一对坐标的惯性矩 与惯性积。
第五章 平面图形的几何性质/三 平行移轴定理
I z y dA yC a dA
2 2 A A
y
I zc A yc A yc dA 2a A yc dA a aAdA
2 形心主惯性轴、形心主惯性矩
当一对主惯性轴的交点与截面的形心重合时,他 们就被称为该截面的形心主惯性轴。而截面对于形心 主惯性轴的惯性矩就称为形心主惯性矩。
第五章 平面图形的几何性质/五 形心主轴、形心主矩 观察法确定形心主轴的位置:
(1) 如果平面图形有一条对称轴,则此轴必定是形心
S zc 0
S yc 0
第五章 平面图形的几何性质/一 静矩、形心及相互关系
决定因素: 数值范围: 单 位:
静矩与截面尺寸、形状、轴的位置有关。 可以为正、或负、或等于零。
mm3 、cm3 、m3
第五章 平面图形的几何性质/一 静矩、形心及相互关系 例题 试确定图示梯形面积的形心位置，及其对底边的静矩。 解： 图形对底边的静矩 S z A1 yc1 A2 yc 2
y b C1
1 2 1 h bh h ah 2 3 2 3
h
2
h
a 2b
xc 0
6
C2
O a z
形心位置
h
2
yc 6 h A
2
Sz
a 2b a b
h a 2b 3 ab
y
z
Iy
z dA
2 A
dA
y
Iz

y dA
2
A
O
z
I yz

yzd A
A
I P dA
2 A
第五章 平面图形的几何性质/二 惯性矩、惯性积、极惯性矩与惯性半径
惯性矩与极惯性矩之间的关系：
y
z
Iy
z dA
2 A
Iz
2 A

y dA
2
A
A
O

dA
y
I P dA
应用平行移轴定理应注意的问题 两平行轴中，必须有一轴为形心轴,截面对任意两平 行轴的惯性矩间的关系,应通过平行的形心轴惯性矩来换算。
例题 试求图示三角形：（1）对z轴静矩； （2）对z轴的惯性矩；（3）对z1轴的惯性矩。
b/2
y b/2
bh h h S z Ayc 12 2 2 3
例题 y
dA
圆截面惯性矩、极惯性矩计算
dA 2πd

C
d
Iy Iz
IP 2
2

1 2
d

2
dA
2
0
z

1 2
d

2
0
2π d
πd
4
πd
4
64
d
I p Iy Iz
32
第五章 平面图形的几何性质
三 平行移轴定理
第五章 平面图形的几何性质/三 平行移轴定理
O
z
分力之矩之和
Sy
Sz
合力之矩
S y Az C
S z AyC
zdA
A

ydA
A
第五章 平面图形的几何性质/一 静矩、形心及相互关系
静矩与形心坐标之间的关系
Sy
Sz
yC
zdA
A
S y Az C

ydA
S z AyC
ydA A
A
Sz A

A
zC
Sy A
第五章 平面图形的几何性质
二 惯性矩、惯性积、极惯性矩与惯性半径
第五章 平面图形的几何性质/二 惯性矩、惯性积、极惯性矩与惯性半径
定义：
y
z
Iy
z dA
2 A
－图形对 y 轴的惯性矩
Iz
dA
y

y dA
－图形对 z轴的惯性矩
2
A
A
O

z
I yz

yzd A
Aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
－图形对 y z 轴的惯性积
第五章 平面图形的几何性质
课堂小实验 相同的材料、相同的截面积,截面的几何形
状不同,承载能力差异很大。
第五章 平面图形的几何性质
研究平面图形几何性质的方法 : 化特殊为一般 实际杆件的横截面
第五章 平面图形的几何性质
平面图形的几何性质包括:
形心、静矩、惯性矩、惯性半径 、极惯性矩、惯
性积、主惯性轴、主惯性矩等
A
z1 dA y1 dA
A 2
2
A
I y1 z 1

y1 z1dA
z1 zcos ysin y1 ycos zsin
第五章 平面图形的几何性质/四 转轴定理
y
z1 zcos ysin
z z1

y1 ycos zsin
dA
y
y1
I y1 I z1
y
0
z z0
dA
y
y0
dI y1
O
0
d
z
0，
dI z1 d
0
当 改变时，Iyl、 Izl的数值也发生变化， 而当=0时，二者分别为极大值和极小值。
Iy0、 Iz0－主惯性矩
第五章 平面图形的几何性质/四 转轴定理
主惯性矩：
I y 0 I max I z 0 I min Iy Iz 2 1 2
第五章 平面图形的几何性质
一 静矩、形心及相互关系 二 惯性矩、惯性积、极惯性矩与惯性半径
三 平行移轴定理
四 转轴定理 五 形心主轴、形心主矩
第五章 平面图形的几何性质
为什么要研究平面图形的几何性质 材料力学的研究对象为杆件,杆件的横截面是具有
一定几何形状的平面图形。
杆件的承载能力,不仅与截面大小有关,而且与截面 的几何形状有关。
材料力学
讲授:顾志荣
材料力学
2009版
第五章 平面图形的几何性质
同济大学航空航天与力学学院 顾志荣
第五章 平面图形的几何性质
基本内容与学习要求 掌握平面图形的形心、静矩、惯性矩、极惯性矩 和平行移轴公式的应用；了解转轴公式；掌握平面图形 的形心主惯性轴、形心主惯性平面和形心主惯性矩的概 念。 知识要点与重点难点 静矩与形心；惯性矩、极惯性矩、惯性积；平行 移轴公式；移轴公式；主惯性轴的概念；形心主惯性轴、 形心主惯性平面与形心主惯性矩的概念；形心主惯性轴 确定、形心主惯性矩计算。