知能巩固提升(二) 课后巩固作业(二) 1.1.3

人教A选修2-2 1..1.3课后巩固作业(二)
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分，共16分)
1.函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)的几何意义是( )
(A)在点x=x0处的函数值
(B)在点(x0,f(x0))处的切线与x轴所夹锐角的正切值
(C)曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率
(D)点(x0,f(x0))与点(0，0)连线的斜率
2.(2012·无锡模拟)曲线y=x3+ax+1的一条切线方程为y=2x+1，则实数a=( )
(A)1 (B)3 (C)2 (D)4
3.若曲线y=2x2-4x+a与直线y=1相切，则a＝( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
4.(2011·山东高考)曲线y=x3+11在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( )
(A)-9 (B)-3 (C)9 (D)15
二、填空题(每小题4分，共8分)
5.(2012·沈阳高二检测)如图，函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是
y=-x+8，则f(5)+f′(5)=_____.
6.已知函数y=ax 2+b 在点(1,3)处的切线斜率为2，则a b
＝______. 三、解答题(每小题8分，共16分) 7.已知抛物线y=x 2+4与直线y=x+10，求： (1)它们的交点；
(2)抛物线在交点处的切线方程.
8.(易错题)已知曲线f(x)=x 2+1与g(x)=x 3+1在x=x 0处的切线互相垂直，求x 0的值. 【挑战能力】
(10分)已知曲线y=x 2+1，则是否存在实数a ，使得经过点(1,a)能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由.
答案解析
1.【解析】选C.根据导数的几何意义可知选项C 正确.
2.【解析】选C.设切点为(x 0,y 0)， 则f ′(x 0)=
()330000x 0(x x)a(x x)1x ax 1lim x
∆→+∆++∆+-++∆［］ =222000x 0
lim(x 3x x 3x a)3x a ∆→∆+∆++=+, ∴2
03x +a=2 ①
又∵切点既在曲线上，又在切线上，
∴30x +ax 0+1=2x 0+1 ②
由①②得0x 0a 2.=⎧⎨
=⎩
，
【变式训练】已知曲线y=x 3上过点(2，8)的切线方程为12x-ay-16=0，则实数a 的值为( )
(A)-1 (B)1 (C)-2 (D)2
【解析】选B.∵y ′=33
x 0(x x)x lim x
∆→+∆-∆ =22x 0
lim(x 3x x 3x )∆→∆+∆+=3x 2
， ∴k=3×22=12，即
12
a
=12，得a=1. 3.【解析】选C.设切点坐标为(x 0,1)，则f ′(x 0)=
()22
0000x 02(x x)4(x x)a 2x 4x a lim x
∆→+∆-+∆+--+∆［］ =0x 0
lim(4x 2x 4)∆
→+∆-=4x 0-4=0， ∴x 0=1.即切点坐标为(1,1).∴2-4+a=1，即a=3.
4.【解题指南】解答本题先求导，再由导数意义求切线方程，最后求切线与y 轴交点的纵坐标. 【解析】选C.因为 y ′=()
3322x 0
x 0
(x x)11x 11lim
lim(x 3x x 3x )x
∆→∆→+∆+-+=∆+∆+∆=3x 2
，所以切线的斜率k=
f ′(1)=3,又因为切点为P(1，12)，故切线方程为3x-y+9=0，令x=0,得y=9. 【变式训练】函数f(x)=x 3+4x+5的图象在x=1处的切线在x 轴上的截距为_____. 【解析】f ′(x)=
()33x 0(x x)4(x x)5x 4x 5lim x ∆→+∆++∆+-++∆［］ =223x 03x x 3x (x)(x)4x lim x
∆→⋅∆+⋅∆+∆+∆∆
=22x 0
lim 3x 3x x (x)4∆→+⋅∆+∆+［］=3x 2
+4 f ′(1)=7,f(1)=10，函数的图象在x=1处的切线方程为y-10=7(x-1)，即7x-y+3=0.当y=0时，x=37
-. 答案：3
7
-
5.【解析】f(5)+f ′(5)=(-5+8)+(-1)=2. 答案：2
6.【解析】由题意知，
()2x 0x 0a(1x)b a b lim lim(a x 2a)x
∆→∆→+∆+-+=∆+∆＝2a=2， ∴a=1,又3=a ×12+b ，∴b=2,即a 1b 2
=. 答案：12
7.【解析】(1)由2y x 4,
y x 10⎧=+⎨=+⎩，
得x 2+4=x+10，
即x 2-x-6=0，
∴x=-2或x=3.代入直线的方程得y=8或y=13. ∴抛物线与直线的交点坐标为(-2,8)或(3,13). (2)∵y=x 2+4， ∴y ′=()
22x 0
(x x)4x 4lim
x
∆→+∆+-+∆
=x 0
lim(2x x)∆→+∆=2x. ∴y ′|x=-2=-4，y ′|x=3=6.
即在点(-2,8)处的切线斜率为-4，在点(3,13)处的切线斜率为6. ∴在点(-2,8)处的切线方程为4x+y=0； 在点(3,13)处的切线方程为6x-y-5=0.
【方法技巧】利用导数研究曲线切线的关键点
在应用导数的几何意义研究曲线的相关问题时，要紧紧把握住切点所具备的三个条件：
(1)切点在切线上，即切点满足切线方程； (2)切点在曲线上，即切点满足曲线方程； (3)切点处的导数值是切线的斜率.
利用这三个条件，设切点、找等量关系、构造函数、不等式来解决问题. 8.【解析】∵f ′(x)=()
22x 0
(x x)1x 1lim
x
∆→+∆+-+∆
=x 0
lim(x 2x)∆→∆+=2x ， g ′(x)=()
33x 0
(x x)1x 1lim
x
∆→+∆+-+∆=22x 0
lim(x 3x x 3x )∆→∆+∆+=3x 2
， ∴k 1=2x 0，k 2=2
03x ，∴k 1k 2=-1，
即3
6x =-1，解得x 0
=6
. 【挑战能力】
【解题指南】设出切点，求导写出切线方程，因为切线过点(1,a)，且y 0=2
0x +1
可以得到关于x 0的方程，切线有两条即方程有两个不等的实数根，所以判别式大于0，得到关于a 的不等式，解集非空即存在.
【解析】∵22y (x x)1x 1x x ∆+∆+--=∆∆=2x+Δx,
∴y ′=x 0
x 0
y
lim lim(2x x)x ∆
→∆→∆=+∆∆=2x. 设切点为P(x 0,y 0)，则切线的斜率为k=0
x x y |='=2x 0，由点斜式可得所求切线方程为y-y 0=2x 0(x-x 0).
又∵切线过点(1,a)，且y0=2
x+1，
∴a-(2
x+1)=2x0(1-x0)，
即2
x-2x0+a-1=0.∵切线有两条，
∴Δ=(-2)2-4(a-1)>0,解得a<2.
故存在实数a，使得经过点(1,a)能够作出该曲线的两条切线，a的取值范围是{a|a<2}.。