数学期望在生活中的运用

数学期望的性质及其在实际生活中的应用

●数学期望的概念：

在概率论和统计学中，数学期望(mean)（或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和。是最基本的数学特征之一，它反映随机变量平均取值的大小。

●数学期望的定义

E(X) = X1*p(X1) + X2*p(X2) + …… + Xn*p(Xn) X1,X2,X3,……,Xn为这几个数据，p(X1),p(X2),p(X3),……p(Xn)为这几个数据的概率函数。在随机出现的几个数据中p(X1),p(X2),p(X3),……p(Xn)概率函数就理解为数据X1,X2,X3,……,Xn出现的频率f(Xi).

则：

E(X) = X1*p(X1) + X2*p(X2) + …… + Xn*p(Xn) = X1*f1(X1) + X2*f2(X2) + …… + Xn*fn(Xn)

E(X)对于这几个数据来说就是他们的算术平均值。

●数学期望的应用：

例一、某一彩票中心发行彩票10万张，每张2元。设头等奖1个，奖金1万元，二等奖2个，奖金各5千元；三等奖10个，奖金各1千元；四等奖100个，奖金各100元；

五等奖1000个，奖金各10元。每张彩票的成本费为0.3元，请计算彩票发行单位的创收利润。

E（X）＝10000×＋5000×＋ 0

＝0.5（元）

每张彩票平均可赚

2－0.5－0.3＝1.2（元），

因此彩票发行单位发行10万张彩票的创收利润为

100000×1.2＝120000（元）

小结：通过计算期望，我们可以得到单张彩票的平均利润，从而得出总共的创收利润。

例二、某投资者有10万元资金，现有两种投资方案供选择：一是购买股票;二是存人银行。买股票的收益主要取决于经济形势，假设经济形势分为三种状态：形势好、形势中等、形势不好。在股市投资10万元，以一年计算，若形势好可获利40 000元;若形势中等可获利10 000元;若形势不好则会损失20 000元。如果存人银行，假设年利率为8%，即一年可得利息8 000元。又设年经济形势好、中等、不好的概率分别为30%、50%和20%。试问该投资者想获得最高收益期望应选择哪种投资方案?

分析：

购买股票的收益与经济形势有关，存入银行的收益与经济形势无关。购买股票在经济形势好和中等的情况下是合算的，但是如果经济形势不好，则采取存人银行的方案比较好。因此，要辨别哪一种方案更优，就必须计算购买股票的收益期望，然后与存入银行的收益进行比较来判断。

如果购买股票，其收益的期望值E=40000×0.3+10000×0.5+(-20000)×0.2=13000(元);如

果存人银行，其收益的期望值恒为8000元。因此，购买股票的收益期望值比存入银行的大，按期望收益最大原则，应选择购买股票。该例是按风险决策中期望收益最大原则选择方案，这种作法有一定风险。

小结：数学期望具有广泛的应用价值。时间证明当风险决策问题较为复杂是，决策者在保持自身判断的条件下处理大量信息的能力将减弱，在这种情况下，风险决策的分析方法可为决策者提供强有力的科学工具，以帮助决策者做出决策，但不能代替决策者进行决策。

例三、设想某人在求职过程中得到了两个公司的面试通知，假定每个公司有三种不同的职位:极好的,工资4万;好的,工资3万;一般的,工资2.5万。估计能得到这些职位的概率为0.2、0.3、0.4，有0.1的可能得不到任何职位。由于每家公司都要求在面试时表态接受或拒绝所提供职位，那么，应遵循什么策略应答呢？

极端的情况是很好处理的，如提供极好的职位或没工作，当然不用做决定了。对于其他情况，我们的方案是，采取期望受益最大的原则。先考虑现在进行的是最后一次面试，工资的数学期望值为: E（A1）=4×0.2+3×0.3+2.5×0.4+0×0.1=2.7万。

那么在进行第一次面试时，我们可以认为，如果接受一般的值位，期望工资为2.5万，但若放弃(可到下一家公司碰运气），期望工资为2.7万，因此可选择只接受极好的和好的职位。这一策略下工资总的期望如果此人接到了三份这样的面试通知,又应如何决策呢?

最后一次面试,工资的期望值仍为2.7万。第二次面试的期望值可由下列数据求知:极好的职位，工资4万;好的，工资3万；一般的，工资2.5万;没工作(接受第三次面试），2.7万。期望值为:E（A2）=4×0.2+3×0.3+2.5×0.4+2.7×0.1=3.05万。

这样，对于三次面试应采取的行动是：第一次只接受极好的职位，否则进行第二次面试；第二次面试可接受极好的和好的职位，否则进行第三次面试；第三次面试则接受任何可能提供的职位。这一策略下工资总的期望值为4×0.2+3.05×0.8=3.24万。故此在求职时收到多份面试通知时，应用期望受益最大的原则不仅提高就业机会，同时可提高工资的期望值。

参考文献

[1]林侗芸;利用数学期望求解经济决策问题[J];龙岩学院学报;2006年06期

[2]赵艳侠;数学期望在经济问题中的应用[J];吉林师范大学学报(自然科学版);2005年02期

[3]董斌斌;数学期望与方差在实际生产中的应用[J];科技信息;2011年01期