第四章图形的相似综述

果 AC BC ，则称线段AB被点C黄金分
AB AC
割，点C叫做AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金
比，AC 5 1 0.618. 注意：一条线段有两个黄金分割 点．AB 2
1.已知AB=10cm，点P和点Q是线段AB的两个黄金分割点， 则PQ=_____。
五.相似多边形
各角分别相等，各边成比例的两个多边形叫做相似 多边相似.
知识点
一.比例线段
1、四条线段a,b,c,d中，如果它们满足关系式 _______________，那么四条线段a,b,c,d叫做成比例线 段，简称比例线段。
例：已知线段a、b、c、d是成比例线段，其中a=2cm， b=5cm，c=4cm，那么d=_____cm.
二、比例的性质：
1.比例的基本性质： 2.合比性质： 3、等比性质
比为4∶9，那么它们对应边的
比_________。
B
F
C
1、 定义： 三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相 似三角形 .
2.相似比：
相似三角形的对应边的比，叫做相似三角形的相似比。
（1）相似三角形判定定理1：两个角分别相等的两个三 角形相似.
（2）相似三角形判定定理2：两边成比例且夹角相等的 两个三角形相似.
相似多边形的性质: （1）相似多边形对应角相等,对应边的比相等. （2）相似多边形周长的比等于相似比. （3）相似多边形面积的比等于相似比的平方.
P174.8.沿一张矩形纸较长两边的中点将纸一分为二， 所得的两张矩形纸的边缘形状仍然与原来的矩形相似， 那么这张矩形纸的长、宽之比是多少？
A
E
D
2、如果两个相似多边形面积的
A'
A
灯泡
三角尺
投影
（3）相似三角形判定定理3：三边成比例的两个三角形 相似.
1、如图点P是△ABC的AB边上的一点,要使△APC∽△ACB,
则需补上哪一个条件?
∠ACP=∠B
P
或∠APC=∠ACB
B
A
2
或AP:AC=AC:AB
1
C
P176.24.如图，在△ABC中，AB>AC，过AC上一点D作 直线DE交AB于点E，使所得的三角形于原三角形相似， 这样的直线可以作多少条？
cm2 ，
D
C
F
A
E
B
八、 利用相似三角形的测高：
（1）测物高： ①利用阴影测物高。
物高 物影长 杆高 杆影长
②利用标杆测物高。
③利用平面镜测物高。
1、如图，教学楼旁边有一棵树，数学小组的同学们想利 用树影测量树高。课外活动时在阳光下他们测得一根长 为1米的竹杆的影长是0.9米，
当他们马上测量树的影子长时，
例：1.若a
2
b
3
c
4
，
则
a 2b c 3a 2b c
_______ .
2.如果
x y
2 3
，那么
x
y
y
______.
P176.23.已知线段a，b，c，d（b≠d）.如果
a b
c d
k
，
那么 a c a c 成立吗？为什么？
bd bd
三、平行线分线段成比例定理
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
发现树的影子不全落在地面上，
于是他们测得落在地面上的影子
长2.7米，落在墙壁上的影长1.2米， 求树的高度.
1.2m 2Байду номын сангаас7m
1、 两个多边形不仅 相似，而且对应顶点 的连线相交于一点， 这样的相似叫做位似, 点O叫做位似中心．
2、利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小
（1）如何作位似图形(放大).
A’
A
B
B’
C’ C
E
D D’
E’
七、相似三角形的性质：
（1） 相似三角形的对应角相等，对应边成比例.
（2 ）相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应 角平分线的比都等于相似比.
（3 ）相似三角形周长的比等于相似比.
（4） 相似三角形面积比等于相似比的平方.
P174.9.如图，已知AD=acm，AC=bcm，2BC=3AC，∠B=36°
∠D=117°，△ABC∽△DAC.
（1）求AB的长；（2）求DC的长；
（3）求∠BAD的度数.
A
D
117°
36°
B
C
1积.是如8图，，则在△△AABBCC的中面，积D为E∥__B_C_，_BD_C_E.
2 3
，△ADE的面
2.在平行四边形ABCD中,AE:BE=1:2.
若S△AEF=6cm2,则S△CDF = S △ADF=____cm2
D
C
E
B
CA
B
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应 线段成比例
1.如图.DE//BC，则下列不成立的是（ ）
A. AD AE BD EC
B.
AB AC AD AE
AD DE C. BD BC
D.
AC AB
EC DB
A
D
E
B
C
四、黄金分割
A
C
B
如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，AC>BC，如
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位 似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的 比等于k或－k.
1.如图，△DEF是由△ABC经过位似变换得到的，点 O是位似中心，D，E，F分别是OA，OB，OC的中心， 则△DEF与△ABC的周长比是_____.
A
D
O
B
E
F
C
2.三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成影子（如图所 示）.现测得OA=20cm，AA´=50cm，这个三角尺的周长 与它在墙上形成的影子的周长的比是_____.
A
D
B
C
P174.10.如图，∠CAB=∠CBD，AB=4，BC=5，AC=6， BD=7.5，求CD的长.
D
A
B
C
11.在△ABC中，已知∠B=25°，AD是BC边上的高，并 且AD²=BD∙DC，求∠ACB的度数.
A A
B
DCB
CD
一、基本图形(A型)
A
D
E
A
B
CD
D B
A E C
B
C
二、基本图形（X型）
A
B
P G ●
CF
E′
D′
A′
A
B′ C′
G′B
G
F′ C F
P●
F′
C′
G′
B′
DE
DE
A′
D′ E′
（2）如何作位似图形(缩小).
（3）体会位似图形何时为正像何时为倒像.
3 、位似变换的性质：
位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上, 它们到位似中心的距离之比等于相似比.
4、位似变换中对应点的坐标变化规律: